В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Контур йм х -(- у ф г = 1, х = у яяляетсл границей полусферы, содержащей точку ЛХ(1,0.,0). Укажите на контуре Л положительное направление, согласааанное с ориентацией данной полусферы. 3. Дайте определение хуг-проектируемой поверхности. 4. Являстсн ли хуг-проектируемой часть плоскости х ф у ф г = 1 при х ) О, у ) О, ) О? Является ли эта поверхность гладкой? 5.
Является ли хуг-проектируемой сфера х + у -(- г = 1? Покажите, что г з г сфера допускает разбиение кусочно гладкими кривыми на конечное число гладких хуг-проектируемых частей. б. Покажите, что часть параболоида г = хг -(- у при 0 ( г ( й можно разбить на четыре гладкие хуг-проектируен|ые поверхности. 7. Напишите формулу Стокса и сформулируйте условия, при которых эта формула верна. 8. Пользуясь формулой Стокса, вычислите криволинейный интеграл второго Рода ~уг()х ф ггс)у Ч- хе Яг, где Л граница тела, заданного нег, равенствами х -Ь у+ г ( 1, х 3 О, у 3 О, г 3 О, причем контур Ь обходится против часовой стрелки, если смотреть из точки (2, О, 0).
9. Что означает утверждение: криволинейный интеграл / Р(1х+ 1„1()у- -лЬВ не зависит от пути интегрирования? АВ 10. Что означает утверя(денис: аыражсвие Р ~)х + 11 Ду + Л Иг является полным дифференциалом а области С? 11. Пусть функции Р(х, у, г), сз(х, у, г), П(х, у, г) непрерывны а области С. Сформулируйте два необходимых и достаточных условия незаяисимасти криволинейного интеграла / РНх -Ь сзс)у+ П.с)г от пути интегрироаания. ля 12. Дайте определение поверхностно односвнзной области в пространстве.
Явлнется ли поверхностно односвязной областью: все пространство; часть шара, отсекаомая плоскостью; шар с выброшенным центрам; тор? 13. Пусть функции Р(х, у, г), О(х, у, г), Гс(х, у, г) имеют непрерывные частные производные первого порядка в поверхностно односвлзной области я4. Фарнука Стокса 371 Примеры решения задач 1. Вычислить двумя способами (по формуле (6) из 2 2 гл.
ХП1 и по формуле Стокса) криволинейный интеграл 1 = ~ус(х + хз ду+ х- с(з, где контур Š— окружность., по которой пересекаются сфера хо + + уа + хт = 4 и плоскость х = АЗ, причем направление обхода контура 1 выбирается против хода часовой стрелки, если смотреть из точки (О, 0,2). В формуле Стокса в качестве ориентированной поверхности Ф, которую ограничивает окружность Та взять: а-р*а ° р р--..рр.*=рр — Х вЂ”:рл р" рзр*рр; б) верхнюю сторону части плоскости х = л73 при хт + уз < 1 (направление обхода контура согласовано с ориентацией поверхности).
Ь Уравнения окружности 1 можно записать в виде хо + уо = 1, х = АЗ. Вычислим криволинейный интеграл 1р перейдя к параметрическим уравнениям окружности т, = соя1, у = яш1, х = ./3, О < 1 < 2к. Тогда с(х = — гйп1Ф, с(у = соя?с(1, дг = О, и по формуле (6) из 2 2 гл. ХП1 получаем 1 = / ( — шп 1+ Зсоя1)г)1 = — х. а Перейдем теперь к вычислению интеграла 1 вторым свосабомс помощью форгиулы Стогса.
Поскольку Р = у, Я = хзр Л= хо, имеем дЯ дР— — — = — 1, дх ду дР дЛ вЂ” — — = — 2х, дх дх дЛ дч! — — — = — 2х, ду дх и поверхностный интеграл второго рода в формуле Стокса равен 1 = — О 2х с(у гЬ -|- 2х с(х с(х + с(х ду. Ф Пусть и = (сояо,соя(р,соя?) единичный вектор нормали верхней стороны поверхности Ф. С. Сформулируйте необходимое и достаточное условие независимости криволинейного интеграла ~ Рдх+ Г2р?у+ Лр1х ат пути интегриравалв ния, использующее производные первого ворндка. Как связана эта условие с условиями из задания 11? 14. Пусть ди(хр у, х) = Р(х, у, х) дх -Ь О(х, у, «) Иу Ч- Л(х, у, х) р?х в области С.
Напишите формулу для вычислении функции и(хр у, х). 15. Пусть Р = 2ху+ х, О = хз+ хлр Л = 2ух+х. Докажите, чта выражение Рдх -Ь Яду-Ь Лр?х является полным дифференциалом некоторой функции и(т,, у, х), и найдите эту функциро. Чему равен интеграл Р Йх -~- Я Ну + Л сЬ, где А( — 1, 1, Ц, Л(1, — 1, 1)? Гл.
Х1К Поверхностные интегралы Зтг а) Часть сферы те + да + х" = 4 при ъ»3 < х < 2 проектируетсн на координатные плоскости Одх, Охх, Охд соответственно в области С» — — )(д, х): — т»'4 — хз < р < ь»Г4 — хз, ъ»3 < х < 2), С»з = ~(х,х): ъ' 3 ( г ( 2, — т» 4 — хг < х ( т/4 в гз), Сз = ~(х,д): х + д < 1). Так как ва область С» проектируются две части поверхности чч =~4 — » —, ° .»й.г, которой сова < О, то длн поверхностного интеграла второго рода ,1» = — О 2хс~дсЬ получаем 1» = — ( О 2г дд с7х — О 2е с7д сЬ) = О.
О» Аналогично, '=-И2™М=-И1 * ° — д *'*)= Ф Ог Ог Учитывая, что сов 7 > О, и пользунсь формулой (8) из Л 3, находим "--П""д--П'"=-'~') =-. ф Ог Следовательно,,7 =,1» -~-,1» +,1з = -л = 1. Отметим, что второй способ вычисления криволинейного интег- рала 1 (с помощью формулы Стокса) нвляется более громоздким по сравнению с первым. Этот способ рассматривается здесь только с целью лучшего усвоении формулы Стокса. То же самое относится к примеру 2 и некоторым упражнениям для самостоятельной работы этого параграфа.
б) Для верхней части плоскости х = АЗ имеем ~Ь = О, п = = 70, О, Ц. Поэтому з = — Ц2хпдах+ 2хахдх+ ахсгд — О слл пу — / »ххпу Ф Ф хг.~ иг(» Таким образом, и в этом случае получили тот же результат. а 2. Пользуясь формулой Стокса, вычислить криволинейный ин- теграл 1= / дх»1х+Зхгслд+2хдс1х» где ОА кривая, х=тсоз~, ОА р = С з»п 7, х = с-'» 0 < й < 2к, О(0, О, О), А(2т», О, 4»сз), сл Незамкнутая кривая 0.4 лежит на поверхности г = ха + дг. Дейст- вительно, х-+д- = 7х(совет+ айнах) = Р, т.
е. хе+ да = х. Дополним кривую интегрирования ОА до замкнутого контура Ь дугой АО па- раболы х = х-', лежащей в плоскости Охх (отметим, что эта парабола лежит также на поверхности г = ха + да). Тогда 1 = ~рейх+ Зххйд+ 2хрПх — / реях+ Зххйр+ 2хрсЬ. ь АО ~1. Фора(ула Стокса 373 Учитыная, что вдоль кривой АО у = О, с1у = О, получим уз(1х+ Зхз(1у+ 2ху сЬ = О. АО Следовательно, 1 = ~ух(1х+ Зхз(1у+ 2хус13. ь Контур Л лежит на параболоиде з = тз + дз и обходится в направлении, указанном на рис.
70. Выберем на части параболоида, ограниченной контуром А, непрерывное векторное поле нормалей и1ЛХ) = 1сояи,соя д,соя у) так, чтобы обход 4к контура был положительным, т. е. выберем А верхнюю сторону параболоида. По формуле 11) из 3 3 находим Ы = 1 — 2х, — 2у,1). - и,'а Вычислим единичный нектар нормали и: ~1,,(з 4 з + ф а + 1 — 2х — 2у и— 1 Рис. 70 Для нахождения криволинейного интеграла по замкнутому контуру Т, применим формулу Стокса.
Так как Р=ух, О.=Зхак В=2ху, то дВ де1 др дЛ вЂ” — — =2х — Зх=-х, — — — =У вЂ” 2У=-У, ду дс ' дс дх дскб д1 — — — =3. — х=2х. дх ду По формуле Стокса находим У=)у*И.+ЗьЙу+2щН*=)1( ( — *)+ РФ а о + -2у ~ )+ 2х ~д 2~~ х -ьу ча О тг Ьккь Этот поверхностный интеграл первого рода вычислим по формуле 13) из 3 2.
В данном случае з =:гз + уз, за = 2т,, ха — — 2у, 1 + зз + зз = ()т4. +4у . ° у 2)( ~3=4Д(ау у')~*~у, где О область на плоскости Оту, ограниченная кривой 1: х Гл. ХХР. Поверхностные интегралы 374 = Мгоаг, д = гя1п1 (О < 8 < 2х) и отрезком ]0,2я] оси Ох (рис. 71). Для вычисления двойного интеграла по области С перейдем к поляр- ! 2 Рнс. 71 Рис.
72 ным координатам х = рсоа р, д = раш 1р, О < 1р < 2л. Подставляя эти выражения для х и д в уравнения кривой 1, получим рсоа 1р = гсоаг, рашсс = Хаий Отсюда, учитывая, что Х и сс изменяются в одних и тех же пределах от О до 2я, находим р = Х, 1р = го и, следовательно, уравнение кривой 1 в полярных координатах имеет вид р = х, О < < уг < 27 .
Таким образом, зг '='11]" ~) "='11""":=Ч" Р" =7.з" а о о 3. Доказать, .что подьштегральное выражение является полным дифференциалом и вычислить криволинейный интеграл / (1осхгд+ Згз) 11х+ (бхз 2дг) дд+16хг дз) де Ав где А(1, 2, 1), В(2, 3, 2). Ь Проверим выполнение условия 1Ъ' теоремы 4; Р = 15хзд+Зез, Я = 5хз — 2дгч В = бхе — у'; — = =- = 15хг,. — ' = — - = -2д, дР дтз 1 дП доз ду дх ' дд дг — = — = бг.
Следовательно, выражение РсХх+ Я1Ху+ В1Хг являет- дР дП дг дх ся полным дифференциалом, а криволинейный интеграл Х = / Р 11х+ + 0 дд + ВЖ не зависит от пути интегрирования. Ан Возьл1ем в качестве пути интегрирования ломаную АЛХКВ, где ЛХ(2,2,1), К(2,3,1) (рис. 72). Тогда АЛХ = 1(хо д, г): 1 < х < 2, д = 2, е = 1), ЛХК = )(х, д, г): х = 2, 2 < д < 3, г = 1), КВ=)(х,д,е); х=2, д=З, 1<с<3). ВдольотрезкаАЛХимеемд=2, с=1, 11д=сХ =О, 1<х< 2: 2 поэтому / Р1)х+ С1с)у+ Всбе = ~(ЗОхз+3) Нх = 73.
АМ 1 44. Формула Стокса 375 ВдольотрезкаМКимеемт=2, с=1, с1х=А1з=О, 2<у<3; поэтому / Рдх+Яду+ Х1сЬ = /(40 — 2у) ду = 35. мк з ВдольотрезкаКВимеемх=2, У=З, дх=гХУ=О, 1<о<3; поэтому интеграл вдоль этого отрезка равен /112з — 9) Аз = 30. 1 Искомый интеграл по ломаной АЛХКВ равен сумме вычисленных интегралов, т.
е. равен 138. й 4. Найти функцию и1х, у,з), если с1„= (1 1+ У) А + ('+ ' ))Х1у '~А зз Нетрудно убедиться, что для дифференциального выражения ди выполнены равенства 14) при уз ф О. Для вычисления функции и1х, у, з) воспользуемся формулой 15), считая, что уо, зо, у, з отличны от нуля. Получим « у и1х,у,з) = /(1 — — + — 'У )сзх+ /( — + —,)сзу — / —,аз+С= «о оо «о =(1 — — +У )х ч( — у — -)/ +'— У +С= Уо «о «о хо У оз ««о = х(1 — — — — ) — хо(1 — — — — ) + С. Следовательно, и1х,У,з) =х(1 — — + к) + Си где Сз — - пРоизволь- 1 цая постоянная и у«ф О.
й 5. Найти работу силы тяготения Р = — -~г 1г = 1х+ зу+ 1сз, й ° =«~+«з«"). «- ««"" -' . мещастся из точки ЛХз(хы уы гч) в точку ЛХз1хз, уз, зз). сз Работа А силы Р при перемещении материальной точки из точ- ки ЛХз в точкУ ЛХз вдоль кРивой ЛХзЛХз вычислЯетсЯ (аналогично плоскому случаю) по формуле, А = / Х'с1х+ Яду+ ХосЬ, где Р = ЕРЮ Ю м,м, Следовательно, А= / — —,,1хг1х+усХУ+зсХз). й м, лгз Показкем, что подынтегральное выразкение является полным диффе- ренциалом: — — 1хдх+ ус1у+ зох) = — — сДх + у + з ) = й , з 2 2 тз 2тз й з й й«2т 711 = — — с17т ) = — — 2тй. = — —, = й. А(-). 2тз 2тз тз т 376 Поэтому 18 19 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
