В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Х1К Поверхностные интегралы .( "(г) ~( (мг ~м)) и, мг =й . А ,г+ гн ггг Задачи н упражнения для самостоятельной работы Пользуясь формулой Стокса, вычислите криволинейный интеграл: а) ( у 3х + г Ну + х Нг, где А виток винтовой линии х = соа й у = ь = ейная, г = й 0 < 1 < 2гб пробегаемый в направлении от точки (1,0, 0) до точки (1, О, 2л); б) у(у — г) г(х ф (г — х) Иу 4- (х — у) Нг, где 1 -" окружность хг Ч- у + + гг = ог, у = хсб о, 0 < а < лгг2, обход которой совершается против хода часовой стрелки, если смотреть из точки (2а, О, 0); в) ~ус(х ф гг(у Ч-хг(г, где Ь окружность х Ч-у -~- г = а, х фу-~- т ф г = О, пробегаемая против часовой стрелки, если смотреть из точки (а,0,0); г) ~(у — г)г(х+(г — х)Пун-(х — у)с(г, гле Е -- эллипс х +у = а, — * -~- —" = 1 (а > О, 7г > 0), пробегаемый против часовой стрелки, если а К смотреть из точки (2о, О, 0); д) ~(у -~- хг) г(х Ч- (х ф гг) Ну -~- (хг ф уг) Иг, где А кривая, по кол торой пересекаютсн верхняя полусфера х -~- уг ф г = 2Лх (г > 0) с цилинлром х ф у = 2гх, где 0 < г < П.
Еривая 1 пробегается против хода часовой стрелки, если смотреть из точки (0,0,2Я); е) ~(уг — гг) 4х+ (гг — хг) Ну+ (хг — уг) г(г, где А — грааица сечения ь куба 0 < х < а, 0 < у < а, 0 < г < а плоскостью х ф у+ -=3а7'2, пробе- гаемая против хода часовой стрелки, если смотреть из точки (2а,0,0); ж) ~(уг — гг) 4х + (гг — х ) Ну + (хг — уг)г(г, где А контур, огра- 1 ничиваюгций часть сферы хг + у ф гг = 1 при х > О, у > О, г > О. Направление обхода кривой Л берется против хода часовой стрелки, если смотреть из точки (2,0,0). Покажите, что подынтегральнае выражение является полным диффе- ренциалом и вычислите криволинейные интегралы: а) / хг(х Ч-у г(у — геогг, где А(1,1,1), В(2,3, — 4):, лв б) / уг3х+ хгду Ч-хуг(г, где Л(1,2,3), В(6,1, Ц; лв 6 5.
Формула Остроградского — Гаусса 377 Х вЂ” "",- ~-'-*-,'-*,-.--. югч. *и- -- г + уз+ гг = аг, а точка ЛХг(хг,уг,гг) - . на сфере ха+уз+ г = Ь- и 0 < а, < Ь. *. в -. « ---ы -*- Ху(,йоту'ттчпз* з хй га ,'- г д ) через определенный интеграл, где Х(1) непрерывная функция и Лдз = М1(хиуи 1), Мг = ЛХг(хг,уг,гз). 21. Найдите функцию и(х,у, г), если: а) ди = (х — 2уг) дх + (у — 2хг) ду + (гг — 2ху) дг; б) ди = (ухе* ч- ге" + ус ) дх ч- (хгс" -~-ге' ф хе"') дул- (хне* ч- ус* ч+ хе") дг., в) ди = (2хуг-~-узг+ угг) дх-~- (2хуг-~-х г -~-хгг) ду-~- (2хуг-~-х у-~- -'; туз) дг. 22. Найдите работу, производимую силой тяжести, когда материальная точка массы пг перемещается из точки ЛХ~(хм ум гз) в точку ЛХг(хг, уг, гг) (ось Ог ваправлена вертикальво вверх). 23.
Вычислите работу сипы х вдоль замкнутого контура Хч пробегаемого против хода часовой стрелки, если смотреть нз точки М: а) е = г = (х,у,г), Х, — окружность, по которой плоскость х = 2у пересекает сферу хг -~- уг ф г = Ггз. М = (2Й,О, 0); 6) х = (уг,гх,ху), Х --. эллипс, по которому плоскость 2г — Зх = 6 пересекает цилиндр хг ф уз = 1, ЛХ = (2,0,0). '0 5. Формула Остроградского — Гаусса Основные понятия и теоремы Пусть функции гз (х, у) и гг(х, у) определены и непрерывны в ограниченной замкнутой области Р и г1 (х, у) < з(х, у).
Область С = ((х, у, г): (х,у) е Р, гз(х,у) ( г ( хз(х,у)) называется г-цилиндрической (рис. 73). Аналогично определяются х-цилиндрическая и у-цилиндрическая области. о Область С назывветсн простой, если г7- й(х,у) сс можно разбить на конечное чис- 1 1 ло как х-цилиндрических, так и у-ци- 0 у линдрических и г-цилиндрических об- 1~ .! хз пастей. Теорема 5. Пусть функции Р(х, у г), Ю(х., у, г), П(х, у, г) и их частные произеодньзе —, —, — непрерывны е простой замкнутой облас- дР дсг дХХ Пх ау а. ти С, ограниченной кусочно гладкой поверхностью Ф. Гл.
ХГг'. Поверхностные интегралы 378 Тогда справедлива формула И( -) д О ф где поверхностный интеграл берется по внешней стороне поверхности. Формула 1Ц называется формулой Остроградского-Гаусса. Следствие. Если функции Р, Ь,), В таковы, что — + — нг + — = дх ду дг = 1, то интеграл е левой части равенства 1Ц равен объему области С, т.
е. )'О дхг)уй» = )г(С), и из формулы 1Ц получается формула а для вычисления объема области С с помощью интеграла по ее поверхности 'г'1С) = ЦР дуй»+ Г1 й»йх+ Лйхду. 12) 3 а м е ч а в и е. Формула Остроградского — Гаусса остаетсн справедливой длн любой ограниченной области С, граница которой состоит из конечного числа кусочно гладких поверхностей.
Контрольные вопросы и задания 1. Лайте определение: а) »-цилиндрической области; б) у-цилиндрической области; в) х-цилиндрической области. 2. Какая область называется простой? 3. Является ли простой областью: а) шар хг -~- уг + »' ( а'; б) параллелепипед О ( х ( о, О ( у ( Ь, О ( » ( с; в) тетраэдр х + у -~- г ( 1, х ) О, у ) О, » ) О? Ответы обоснуйте. 4.
Напишите формулу Остроградского-Г'аусса и сформулируйте условия, при которых эта формула справедлива. 5. Пусть »-цилиндрическая область С ограничена кусочно гладкой поверхностью Ф и пусть функция П1»чу., ») и ее частная производнан —, недй дг прерывны в области С. Сводя тройной интеграл к повторному, докагките, что О) — дх дуй» = О 7тдхду, где поверхностный интеграл гггуй Ю а. ь берется по енешаей стороне Ф. 6. Пользуясь формулой Остроградского.Гаусса, покажите, что обьем области С, ограниченной кусочно гладкой поверхностью Ф, можно вычислить по формуле 1 гг 1'1С) = — ) ) х дуй» -Ь удгдх ф»дх ду, 3 Ф где интеграл берется по внешней стороне Ф. 7. С помощью формулы Остроградского.
Гаусса вычислите интеграл / х Йу д» + у' д» Йх -~- » дх Й у. е где Ф внешняя сторона поверхности тетраэдра заданного неравенствами х+у+»(1, х)0, у)0, г)0. у 5. Форлгула Остроградского — Гаусса 379 Примеры решения задач 1. Пользуясь формулой Остроградского — Гаусса, вычислить интеграл П = 0х~ сбудх+ у 4х0х+ гг сбхс1у (см, пример 3 из 3 3), где Ф Ф г г внешняя сторона сферы (х — а)г + (у — Ь)' + (г — с)г = Лх 11 По формуле Остроградского- Гаусса имеем П = ~0 (2х+ 2у+ 2х) Йхс1уйх, где С вЂ” шар (х — а)а + (у — 6)а + (х — с)а ( Лг.
Для вычисления интеграла перейдем к сферическим координатам х = а+тсозряпд, у = Ь+ тяпсояпО, г = с+тсозО, д<р<2л, О<О< Якобиан перехода равен тз зшд. Уравнение границы области С имеет вид т = Л. Следовательно, ал г и П = 2/ сбр ~япддд/т~ [а+ 6+ с+ т1соз ряпО+ ашрз1пд+ о о о + соз О)) с1т = — л(а + 6+ с) Л . А 8 3 3 2. Вычислить интеграл Гаусса 1(~, у, С) = Ц"',Р дд., Ф где Ф поверхность, ограничивающая простую замкнутую область С; Лг((,г1,Ч) фиксированная точка вне области С; ЛХ(х,у, ) Е Ф; г = 1х — с, у — г7, — (), т = ~г~; и = 1созо, сов д, соз",~) -- внешняя единичная нормаль к поверхности Ф в точке ЛХ; р . угол между векторами г и и. гз Выразим соа р через координаты векторов г и п: (п.
г) (х — С) соьо+ (у — 71) созд+ (г — Ь) созт созуг = )пйг! т Поверхностный интеграл 1 запишется н виде ггтх-б у — о г — 'ь 1 = д ~ — ", созп+ — саад+ — соз 7) с15. Д тг тг Так как точка Дг(~,г1, Ч) лежит вне области С, то т ф 0 и, следова- С тельно, функции Р = —, 6,1 = —, Л = непрерывны вместе тг ' тг ' тг с их частными производными первого порядка в области С. Находим дР 1 3(х — Р)г д(2 1 3117 — о)г дЛ, 1 3(г — Ог дх тг „" ' ду тг тг ' дг „г дР дЦ дЛ 3 Зт' — + — + — '= — — — а=О. д.
ду дг 380 Гл. Х1К Поверхностные интегралы Применяя формулу Остроградского-Гаусса, получаем 1(с, П, () = ~Ц ( — + — + — ) сЬ с1д йх = О. а а 3. Вычислить интеграл Гаусса 1(0, О, 0) (см. предыдущий пример), если Ф сфера тз + у~ + х~ = а'. Ь Формулу Остроградского -Гаусса применять нельзя, так как функ- ции Р, (1, В не являются непрерывными в точке йс(0,0, 0) Е С.
Так как (=П=(=0, п=~~,",~1 и г=а, то са а аз — — — т — сова+ — 'совд+ — сов у = гз т' охг ах 1(0,0,0) = —,, О аЯ =, = 4л., Ф т. е. интеграл Гаусса 1(0,0,0) не зависит от радиуса а сферы. а 4. Пусть Ф вЂ”.. гладкая поверхность, ограничивающая простую замкнутую область С, функции и(х,д,х) имеет непрерывные част- ные производные второго порядка в области С, — производная ди ' дп функции и(х, у, х) по направлению внешней нормали к поверхности Ф. Доказать, что ди ~~ — г15 = Я Ь и Йх Йу сЬ, где схи = — г+ .
+— д и дои д и дх ду дх гл Пусть п = (сова,совд,сову) --- единичный вектор внешней нор- мали к поверхности Ф. Тогда ди ди ди ди — = — сов а + — сов д + — сов у дп. дх ' ду ' дх ггди и поверхностный интеграл д — Нв запишетсн в виде дп О'( )'(ди ди ди I ( — сова+ — сов Гг + — сов у) сГ5. 1 Хдх: ду дх Применяя формулу Остроградского Гаусса, получим 11 дп Ц1 (дхе дух дхе ) 01 д 5. Вычислить интеграл 1 = Охзссдссх+узггхссх+хег1хссу, где а Ф нижняя сторона части параболоида х = хз + дз, отсекаеман плоскостью х = 2х. гл Дополним поверхность Ф до замкнутой частью плоскости х = 2х.
Обозначим плоскую часть через Фг и выберем ее верхнюю сторону. 45. Форлсула Остроградского — Гаусса 381 Длп вычисления интеграла по замкнутой кусочно гладкой поверхности Ф + Ф1 применим формулу Остроградского -Гаусса. Тогда для интеграла 1 получим Г = //Ц13хг+ Зуз+ 22) йхйу йг — Цаз йуйг+ узйг йх+ 22 йхйу С Ф2 где С вЂ” тело, ограниченное поверхностяыи 2 = ха+ уг, 2 = 2х. Вычислим тройной интеграл с помощью повторных интегралов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
