В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 75
Текст из файла (страница 75)
в направлед1 нии ягас1 и в данной точке. Иначе гоноря, вектор ягас1 и в данной точке указывает направление наибольшего роста поля и (функции и) в этой точке, а ~ ягас1и~ есть скорость роста функции и в этом направлении. Таким образом, вектор раб и не зависит от выбора системы координат, а его людуль и направление н каждой точке определяются самой функцией и(ЛХ). 5. Потенциальное поле.
Определение. Векторное поле а(ЛХ) называется потенциальным в области С, если его можно представить в этой области как градиент некоторого скалярного поля и(ЛХ): ГХ. Дифференциальные операции 387 Это также потенциальное поле. Его можно представить в ниде йе йе Е = — дга<1 —. Функции и(ЛХ) = — называетсн пвтенци лвл~ электг г ричесногв полл точечного заряда е. Поверхности уровня потенциала и(ЛХ) называютсл энвипвтенциальными повврхностлми. В рассмотренных примерах эквипотенциальными поверхностями являются сферы с центром в начале координат. 6.
Дивергенция. Определение. Дивергенцией векторного полл а = Р(х, у, г) ) + + Я(х, у, х) 3 + Е(х, у, з) 1с называетсн скалнрнан функция дР дО дй Йга = — + — -Ь вЂ”. дх ду д:' Слово "дивергенция" означает "расходимостьн ("расхождение"). Дивергенцин характеризует плотность источников данного векторного поля в рассматриваемой точке. Рассмотрим, например, электрическое поле точечного заряда е, помещенного в начале координат: йе йе Е = —, г = — (хз+ у3+ «1с), гз гз д17Е = йе~ — ( —,) + — ( ~ ) + — ( — "~)~. , 3 2 д,хх г — х 3 д гз 3х~'г гз 3хг Так как ( )— — — и, аналогичдх (,гз) 3«7 — 3(хг ж у ж лг) йнЕ = йе 1с д д д д ду д= гога = 73" (при г ~ 0).
Физически этот результат означает отсутствие источников поля в любой точке, кроме начала координат. В начале координат дЬ Е вЂ” оо (бесконечнан плотность заряда). 7. Ротор. Определение. Ротором (или вихрем) векторного поля а = = Р(х, у, з) 1+ Ц(х, у, х) 3+ Л(х, у, х) к называется вектор-функция Гл. ХК Скалярные и еекторные поля В частности, для плоского поля а = ) Р1х, у), Я1х, у), 0) имеем соса = 1с( — — — ). дО дР дх ду Ротор характеризует завихренность поля а в данной точке.
Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг оси Оз с постоянной угловой скоростью ы (рис. 74). Векторное поле скоростей ч(ЛХ) точек этого тела мо.кно представить в виде 1с г]ЛХ) = ]сог] = 0 0 ы = — ыу1+олх,ь х у Найдем ротор поля скоростей чГЛХ). 1 д дх — ы~у 1с д д ду дл ых 0 =1 О+д О+ 2ш1с = 2ол1с. гоги = Таким образом, гост является постоянным вектором, направленным вдоль оси вращения Оз, а его модуль равен удвоенной угловой скорости вращения тела; ]готы~] = 2ы. Рассмотрим потенциальное поле г = х1+ у3 и'- -1с. Его потенциал и = сл]2 = ]хе+у + + лз)/2. Вычислим ротор этого полн: дх ду х у Рас. 74 = 1 О+3 О+1с.
0 = О. Вообще, ротор любого потенциального поля равен пулю 1сьс. также Х 2). Поэтому говорят, что потенциальное поле является безвихрееым. 8. Солеиоидальное поле. Векторное поле а(ЛХ) ~сазывается солеяоидальным в области С7, если в этой области Жи а = О. '1'ак как гйха характеризует плотность источников поля а, то в той области, где поле а соленоидально, нет источников этого поля.
Например, электрическое поле Е точечного заряда соленоидально ]удовлетворяет условик> ей~ Е = 0) всюду вне точки, где находится заряд 1в этой точке с11е Е = оо). Векторные линии соленоидального поля не могут начинаться или заканчиваться внутри области соленоидальности, они либо начинаются н заканчиваются на границе области, либо являются замкнутыми кривыми. Примером соленоидального поля с замкнутыми векторными линиями является магнитное поле, создаваемое током в проводнике. рд дифференциальные операции Если векторное поле а(М) можно представить как ротор некоторого векторного поля Ь(М), т. е. а = го1 Ь., то вектор-функция Ь(ЛХ) называется венторныле потенциалоле поля а(Л1).
Можно проверить (см, подробнее ~ 2), что о|и гог Ь = О, т, е, поле а = тот Ь лвллетсн соленоидальным. Любое векторное поле можно представить в виде суммы потенциального и соленоидального полей (см. Ч 2). 9. Уравнения Максвелла. Уравнения Максвелла - фундаментальные уравнения классической электродинамики, описывающие электромагнитные явления в любой среде (и в вакууме). Они свнзывают величины, характеризующие электромагнитное поле, т. е.
напряженность электрического поля Е, электрическую индукцию В, напряженность магнитного поля Н и магпитну'ю индукцию В с источниками поля, т. с. с распределением в пространстве электрических зарядов и токов. В дифференциальной форме уравнения Максвелла записываются с помошью понятий дивергенции и ротора. В системе СИ эти уравнения имеют следуюший вид. дО 1. тот Н = 3 + —. дг Это уравнение лвлнетсн обобшением закона Био-Савара и выражает тот факт, что магнитное поле порождается токами проводимости д1л Д вЂ” — плотность тока) и токами смещения —.
дл 11. гоСЕ = — —. дВ дг Это уравнение выражает закон электромагнитной индукции Фарадея и показывает, что одним из источников электрического полн является изменлюшеесн во времени магнитное поле. И1. сЪ В = О. Это уравнение выражает факт отсутствии магнитных зарлдов (соленондальность магнитного поля). 1У.
йт 1Э = р. Это уравнение выражает закон Кулона и показывает, что вторым источником электрического поля лвлнютсн электрические заряды с плотностью р. К уравнениям Максвелла следует присоединить так называемые материальные уравнения поля. У. 1л = е Е. У1. В = рН. Ъ'11. ) = о.Е. Здесь е диэлектрическан проницаемость, р — магнитная проницаемостгп о удельная проводимость среды. д 10. Оператор Гамильтона. Напомним, что символ — называдх ется оператором частной производной по х. Под произведением этого Гл. ХК Скалярные и еекторные поля 390 1 Д д д ду Р С) д д. Н [ь7а) = = соса.
11. Правила вычислений с оператором T. а) Если оператор Х7 действует на линейную комбинацию ~ а;Рс, где Р, "" скалярные или векторные функции ас --- числа, то ~7(~,, асР,) = ~,а;~7Рп б) Если оператор T действует на произведение нескольких функций Р, С, Н [скалярных или векторных), то результат этого действия аналогичен результату дифференцирования произведения в том смысле, что оператор Х7 последовательно применяют к каждому сомножителю, отмеченному знаком С., а другие сомножители при этом считают фиксированными. Затем результаты складывают. Итак, К-[РСН) = Ст[РСН) + С7[РаН -ь С [Рай).
[1й) При этом следует иметь в виду, что слагаемые в правой части равенства [10) предварительно преобразуют по правилам векторной алгебры так, чтобы за оператором "7 стоял тот множитель, который отмечен знаком ).. После вычислений знаки [ опускают. Пользуясь этим правилом, докажем, что с11х [аЬ[ = [Ь гоь а) — [а гоь Ь) . [11) оператора на функцию и = [и, х, у, з) будем понимать частную проди д ди д д изводную —, т. е. — и = —. Аналогично, — и — операторы дх' ' ' д д ду де частных производных по у и по з.
Введем векторный оператор кнабла", или оператор Ролснльтона: .д .д д гд д д1 и =1 — +д — +1с —, = 1 —, дх ду де 1дх' ду' де.[' С помощью этого символического [операторного) "вектора" удобно записывать и выполнять операции векторного анализа. В результате умножения вектора ь7 на скалярную функцию и [х, у, е) получается ягас1 и: (. д . д д1 .ди .ди ди Tи = (1 — +з — + 1с — ) и = 1 — +з —, + 1с — = ягас1и. ~ дх ду де) дх ду де Скалярное произведение вектора ч на вектор-функцию а[х, у, з) = = Р1+ Яз'+ Л1с дает гйуа: [ь7а) = — Р+ — ~>+ — Л = с1гка. д д д дх ду д. Векторное произведение вектора "7 на нектор-функцию а[х, у,з) = Р1+ Щ+ Л1с дает го1а: 4 д Дифференциальные операции Учитывая., что й» [аЬ] = [17 . [аЬ]), по формуле [10) имеем [т7 [аЬ]) = [~ [аЬ]) + ['Р [аЬ]).
[12) Чтобы в первом из двух смешанных произведений [12) оператор гуе действовал на вектор а, воспользуемся свойством смешанного произ(хг [аЬ]) = ([гр а]Ь). Переставляя сомножители [~7а] и Ь в скалярном произведении и учитывая, что [~7а] = го1 а, получаем (~~ [аЬ]) = (Ь тот а). Во втором слагаемом [12) поменяем местами сомножители в векторном произведении: [T .[аЬ]) = — [~ [Ьа]). После этого находим [хг [аЬ]) = — (T [Ьа]) = — [аго1Ь). Складывая полученные результаты, получаем формулу (11).
Формулу [8) для производной по направлению с помощью оператора о можно записать в виде — ' = [Г7и). да С другой стороны — можно нычислить "умножая" скалярное д1 ) произведение векторов 1 и ~7 на скаляр и; [12) — = [1~7)и. д Символ — = (Г7) будем называть оператором производной по над1 правлению 1. В частном случае, когда вектор 1 сонаправлен с одной из координатных осей, например, с Ох [1 = 1), имеем — = [1~) = —, д . д 01 да' т. е.
оператор производной по направлению координатной оси это оператор соответствующей частной производной. Используя оператор производной по направлению, запишем с помощью оператора Гамильтона производную векторного поля а по направлению 1; — = [1~)а. [14) Формула [14) эквивалентна совокупности трех формул [13) для координат вектора а. Гл. ХЬ'. Скалярные и векторные поля 392 12.
Нестационарные поля. Пусть в области С определено не- стационарное скалярное поле и(х,у,х,1): величина и является функцией точки ЛХ(х,у,е) С С и времени й Физический пример такого поля — изменнющеесн со временем распределение температуры в какой-либо среде (например, в потоке жидкости). Рассмотрим движущуюся в области С точку (частицу жидкости) ЛХ(х(с), у(с), л(1)). Координаты точки (частицы) изменяются со временем по известному закону х = х(с), у = у(Х), х = е(1). Величина и в движущейся точке ЛХ является сложной функцией й и = и(х(1),у(1),з(1),1). Вычислим производную по с этой функции (она называется пол- ной производной).
По правилу дифференцирования сложной функции находим йи ди ди, йх ди ису ди йл — = — + — — + — — + — —. ей дС дх ил ду лХС дл лХС Гух 4у Не1 Введи в точке ЛХ вектор скорости и = (и, и и-) = с — — — ) '1 йС ' йС ' йь )' получаем ллсл ди ди ди ди, — = — + ол — + ои — + и- —, л11 дС лдх, иду еде' или иа да — = — + (ъ 'кл)а. М дс (15) ди да В формулах (15) и (1б) слагаемые — и — выражают скорости дс дс излсенения величин и и а со временем при фиксированных координатах, т. е. характеризуют локальное изменение этих величин, и поэтому называются локальными производными. Слагаемые (ии)и и (и12)а образуются за счет изменении координат точки, ее движении (конвекции). Поэтому эти слагаемые в выражениях полных производных называются конвективнылси производными. Локальные производные характеризуют нестационарность рассматриваемого физического поля в данной точке пространства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
