В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 79
Текст из файла (страница 79)
39. Покажите, что функция и = 1п —, где г = „~ ха + уз, удовлетворяет при 1 даи сни г ф О уравнению Лапласа на плоскости: Лги = — + —, = О. лс дха дуа 40. Покажите, что электрическое поле Е = — г точечного заряда с, нагл годящегося в начале координат, удовлетворяет при г ~ О уравнению Лапласа гХЕ = О. 41. Покажите, что при р = г = 1 магнитное поле Н удовлетворяет теле- дН даН графному уравнению г1Н = и†+ дг дьа 42. Разложите следующие векторные поля на сумму потенциального и соленоидального полей: а) аг = (х + у) 1 + (х — у)Л + (с + 1) 1г; б) аз = — (х~1ч-гз~З+ с~1г); в) аз = х1+ у) — 2с1г. 2 3 3.
Интегральные характеристики векторных полей Основные понятия и формулы 1. Поток векторного поля. Рассмотрим векторное поле а(ЛЛ), определенное в пространственной ооласти С, и некоторую кусочно гладкую ориентированную поверхность Ф с С. Пусть п(ЛХ) -- поле единичных нормалей на выбранной стороне поверхности Ф. Как было отмечено в 2 3 из гл. Х11', поверхностный интеграл 0(а )ПЯ = Ца„а~ Ж называется потоком векторного поля а(Лз") через поверхность Ф е сторону, определяельую вектором и (говорят также: поток через выбранную сторону поверхности Ф).
Если взять другую сторону поверхности (изменить ориентацию), то вектор и изменит направление на противоположное; поэтому скалярное произведение (ап), а значит, и поток (поверхностный интеграл (1)) изменит знак. Если а =ч "- скорость движущейся жидкости, то фип)сьев пред- Гл. Х1г. Скалярные и еенторные поля 408 Подынтегральная функция в тройном интеграле есть г114 а, а поверхностный интеграл представляет собой поток векторного поля а через поверхность Ф.
Поэтому формулу (3) могкно записать в векторной форме; Ц~бг:аж< = Ц<а )дя (4) ставляет собой количество 1объеьг) жидкости, протекающей через по- верхность Ф в заданную сторону в единицу времени. Эта величи- на называется в физике (гидродинамике) потоком лгидкости через поверхность Ф. Поэтому и в случае произвольного векторного поля а(ЛХ) интеграл 11) называется потоком векторного поля через поверх- ность Ф.
Рассмотрим электрическое поле Е точечного заряда е, помещен- ного в точку № Найдем поток векторного поля Е через внешнюю сторону сферы Ф радиуса г с центром в точке № Пусть г = №14 (ЛХ вЂ” точка на сфере Ф); тогда ~Р7Л1~ = г, Е(ЛХ) = — г, п(ЛХ) = — , де Йе з ке (Еп) = — (гг) = — г' = —,. Поэтому 74 г4 гл' ~~(Еп)гХЯ = —,~~г1Я = — 4лг з = 4лЛе = -', Ф Ф 1 где е -- диэлектрическая проницаемость среды, Й = — . 4яе Если в системе координат Ол1гз а = ХР, йХ, Л), а п = 1соео, сов гг4, сов "Д, то выражение 11) для потока векторного поля а(ЛХ) можно за- писать в виде ~(Рсоао+ О сов,З+ Лсоз у)гЮ = ОРг1уагз+ Оагзагт+ айдиду. (2) Ф Каждое слагаемое в правой части равенства (2) зависит от выбора системы координат, однако их сумма, т.
е. поток Д(ап)ггпу, очевидно, не зависит от выоора системы координат. Ф 2. Формула Остроградского — Гаусса в векторной форме. Пусть в области С определено векторное поле а = ~Р,Я,В); Ф замкнутая поверхность, ограничивающая область С; п(ЛХ) = 1созо, соз,З,соз Д единичный вектор внешней нормали к поверхности Ф в точке М.
Пусть, далее, для векторного поля а (т. е. для функций Р,Я, В) и поверхности Ф выполнены условия теоремы 5 из гл. Х1Л'. Тогда справедлива формула Остроградского Гаусса ба. Характеристики векторных полей 409 Физический смысл формулы Остроградского-Гаусса: поток векторного поля а через замкнутую поверхность в сторону внешней нормали равен тройному интегралу по области, ограниченной этой поверхностью, от дивергенции векторного поля а. Чтобы поток был отличен от нуля, внутри области С должны быть источники (или стоки) поля. Из формулы Остроградского Гаусса следует, что тогда и йг а будет отлична от нуля.
Таким образом, ей а характеризует источники поля. Само векторное поле как бы расходится от источников. Отсюда и происходит название ирасходимостье или 'дивергенция". 3. Свойства соленондального поля. Как известно, векторное поле а(ЛХ), удовлетворяющее в области С условию йка = О, называется солсноидальным в этой области.
Пусть область И является объемно односвязной. Это означает, что если кусочно гладкая замкнутая поверхность Ф лежит в области С, то и область, ограниченная поверхностью Ф, целиком принадлежит области С. Примерами объемно одпосвязцых областей являются шар, параллелепипед, тор. Отметим, что тор не является поверхностно односвязной областью.
Область, заключенная между двумя сферами, не является объемно односвязной (но нвляется поверхностно односвязной; см. п. 3 9 4 из гл. Х1Ъ'). Из формулы Остроградского — Гаусса следует, что соленоидальное поло в объемно одцосвязной области обладает следующим свойством: поток соленоидальквго поля через 2гюбую замкнутую поверхность, расположенную в этой области, равен нулю. Иногда это свойство принимагот за определение соленоидального поля. Отметим, что если область не является объемно односвязной, то поток соленоидального (в этой области) полн через замкнутую поверхность, расположенцуго в области, может быть отличен от нули. Так, электрическое поле Е(ЛХ) точечного зарида2 помещенного в точку гч", ивляется солепоидальным в шаре с выброшенным центром Хч' (йч Е(М) = О при ЛХ ф Х). Шар с выброшенным центром не является объемно односвязной областью, и, как мы установили в и.
1, поток поля Е(ЛХ) через сферу с центром в точке ЛХ отличен от нуля. Слово "соленоидальное" означает "трубчатое". Для соленоидального полн имеет кгесто закон сохранения интенсивности векторной трубки. и а Он состоит в следующем.
и, г Пусть а1ЛХ) соленоидальное поле. и и и тиг Рассмотрим отрезок "векторной трубки", т. е. область, ограниченную двумя сечениями, Фг и Фг, и боковой поверх- г2 Фз, состоящей из векторггых линий (рис. 76). Применим к такой Рис. 70 области формулу Остроградского Гаусса (4).
Так как в солепоидальпом поле йта = О, то поток векторного поля а(М) через поверхность области равен нулю: О (ап) йЯ = О ьг'г'г'2г фз 410 Гл. ХК Скалярные и векторные поля (п .— единичный вектор внешней нормали). На боковой поверхности Фз имеем а 4 п, поэтому Д (ап)дЯ = О. Значит, фз О <. )д5 = Ц < )д5 + О (. )45 = О. ф1ффз ф~ фз Изменим на сечении Ф~ направление нормали п на противоположное (п1 -- внутренняя нормаль к Ф1). Тогда получим Ц (ап~)65 = О (апз)дЯ, ф~ ф2 где оба потока через сечения Ф4 и Фз вычисляются в направлении векторных линий. Таким образом, в солвноидальнол~ (трубчатом) векторном но- ле а лоток через любое сечение векторной трубки имеет одно и то лсе значение. Это и есть закон сохранения интенсивности векторной трубки. 4.
Инвариантное определение днвергенцни. Пусть в облас- ти С, ограниченной поверхностью Ф, определено векторное поле а(ЛХ). Запишем формулу (4) для векторного поля а в области С. При- меняя к левой части этой формулы теорему о среднем, получим 41ча(ЛХ ) Р (С) = О(ап) ЙЯ, ф Д (ап) дЯ Р(С) где 1'(С) объем области С, а М* — некоторая точка области С. Зафиксируем точку ЛХ б С и будем стягивать область С к точ- ке ЛХ так, чтобы ЛХ оставалась внутренней точкой области С. Тогда Р(С) 4 О, а М* будет стремиться к ЛХ. В силу непрерывности дй а значение 41ч а(ЛХУ) будет стремиться к д|ч а(ЛХ).
Таким образом, по- лучаем 0 (ап)дЬ' (М) Р lзф ьцсй- о ЪчС) Лз Ео В правую часть формулы (5) входят величины, инвариантные от- носительно выбора системы координат (поток векторного поля через поверхность и объем области). Поэтому формула (5) дает инвариант- ное определение дивергениии векторного поля. Итак, дивергенция век- торного полн зависит только от самого полн и не зависит от выбора системы координат. 5.
Циркулнцнн векторного полн. Рассмотрим векторное поле а(ЛХ), определенное в пространственной области С, и некоторую ку- сочно гладкую кривую Х, Е С, на которой указано направление обхо- да (выбор направления обхода называют также ориентацией кривой). уЯ. Характеристики векторных полей 411 Пусть т(М) --- единичный касательный вектор к кривой 1 в точке И, направленный в сторону обхода кривой. Криволинейный интеграл ~(ат) й1 = /а,с11 (6) А ь называется циркуляцией векторного поля а вдоль кривой 1, в заданнолс направлении. Если взять другое направление обхода кривой (изменить ориентацию), то вектор т изменит направление на противоположное, поэтому скалярное произведение (ат), а значит, и циркуляция (криволинейный интеграл (6)) изменит знак.
Если а = Е - силовое векторное поле, т. е. Е "- вектор силы, то циркуляция ~(Ет) ау представляет собой работу силового векторного ь поля вдоль кривой Е в заданном направлении. Если в прнмоутольной системе координат Оху а = (Р, С,17), а т = (совсс,сов1сд,сов7), то выражение (6) для циркуляции векторного поля а можно записать в виде / (Р сов сс + С сов й + Л сов 7) й1 = ~Р йх + С йу + В йх. (7) 1 ь Каждое слагаемое в правой части (7) зависит от выбора системы координат, однако их сумма, т. е. циркуляцин /(ат) й1, очевидно, не зависит от выбора системы координат. ь Если ввести вектор йг = (йх, йу, йг), то циркуляцию можно записать в виде /(айг) (сравните с правой частью равенства (7)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
