В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 83
Текст из файла (страница 83)
15. Пусть скалярные поля и и о заданы в области С, ограниченной кусочно гладкой поверхностью Ф. Доказать, что Гл. ХК Скалярные и еенторные поля 426 (первая фор лула Грина) и О (о — — и — ) гХЪ = Щ(сг сЛи — и Ххсг) аг1л (19) (вторая формула Грина). Хл Применим к векторному полю а = о8гас(и в области Хл формуди лу Остроградского Гаусса. Учитывая равенства (гг 8гал! гл и) = гг —, дп л()г(о 8гаг) и) = о л((и(8гас( и) + (8сах( и . 8тас1 и) (см. формулу (21) из 2 1) и с()у(игал(и) = ХЛи, получаем формулу (18). Вторан формула Грина выводится с помощью первой: нужно в (18) поменять и и о местами и вычесть полученное равенство из (18), й 3 а м е ч а н и е 1. Отметим, что первую и вторую формулы Грина на плоскости можно вывести аналогично (18) и (19), применив формулу (16) к векторным полям о(х, у) 8гал( и(х, у) и и(х, у) 8гал( а(х, у).
Эти формулы в коорлинатной форме были получены в З 3 из гл. ХП1. 3 а м е ч а н и е 2. Рассмотрим широко распространенный в математической физике оператор Х(а) =дй[й(М)Всади(ЛХ)) — у(ЛХ)и(ЛХ) (20) где й(ЛХ), д(ЛХ), и(ЛХ) скалярные функции (оператор Лапласа Ьи являетсп частным случаем Ци) при й(ЛХ) = 1, у(ЛХ) = О). Пусть векторное поле а = а(М) й(М) грас1 и (а(ЛХ) --- скалярное поле) задано в области С, ограниченной поверхностью Ф.
Применяя к векторному полю а в области С формулу Остроградского. Гаусса и учитывая равенство с(1г(аййгади) = ил(1т(ййтал1 и) -~- й(йгас1и 8гал1а) (см. формулу (21) из З Ц, получаем ~~~йгг — гХЯ = ~~~~ай(гл) -~- й(8гал1 и 8гал1 а) -~- угла] дг' (21) Ф сг (переая формула Грина для оператора Ци)). Меняя в формуле (21) и и о местами и вычитая полученное равенство из (21), приходим к формуле ~~й(и — — и — )ИЯ = ~~~(ггй(и) — иЦа)) ды (22) Ф б (вторая фарлгула Грина для оператора Х (и)). В случае полей и(ЛХ) и а(ЛХ), заданных в области Р с гранидей Ь на плоскости, применяя к полям гг йдгал1и и и ййгада формулу (16), для оператора А(и) получаем следующие формулы: /йе — д1 = (~((ггй(и) 4- й(йгади 8гас1а) + г1иа) дЯ, дп с о /й( а ид )81 ))1(гг~(и) и~(а))д~' О аналогичные формулам (21) и (22).
В случае полей и(х) и а(т), заданных ва отрезке 0 ( х (1, для оператора Ци) = — (й(х) ~ -~- д(х)и(х) 427 Годномерный вариант 120)) имеют место формулы 123) 124) В справедливости формул 123) и 124) можно убедиться непосредственно интегрированием по частям. 43. 44.
45. 47. 48. рЯ. Характеристики векторных полей йи 77 йи йи Ии — = р иб1и) -~- к — — ф аии~ йх, / ~ ' ах йх и ! йи ли 1 й(о — — и — ) = ~)еЦи) — иЦи)) йх. йх йху о Задачи и упражнения для самостоятельной работы Применян формулу Остроградского Гаусса, вычислите поток векторвого поля а = 1х — у) 1+ Гх — у) 3 + 1х — т) )с через: а) понерхность пирамиды, ограниченной плоскостями х -~- у ф з = 1, х = О, р = О, з = 0 в сторону внешней нормали: б) сферу хз ф р~ -~- хв = 1 в сторону внешней нормали. Применяя формулу Остроградского- Гаусса, вычислите поток векторного поля а=хсову 1 — сйпу 3+1з — 1) йчерезбоковую поверхность цилиндра, ограниченного поверхностями: а) ха+уз=1, з=О, з=2; б) хи Ч- у = 1, з = 2, х = 4 в сторону внутренней нормали. Вычислите поток нектарного поля а = 1х Ч- Ц к через: а) сферу х + у -~- х = 1 в сторону внешней нормали; б) полусферу хз -~- уз -1- з~ = 1, з ) 0 в сторону внешней нормали к сфере: в) полусферу хл + ул + хи = 1, з 3 0 в сторону внутренней норл1али к сфере; г) полусферу х~ фу -~- х~ = 1, х (0 в сторону внутренней нормали к сфере: д) полусферу х + у ф х = 1, р ) 0 в сторону внешней нормали к сфере.
Вычислите поток векторного поля а = 31+ хй+ х)с через круг, получающийся при пересечении шара х Ч- у Ч- - ( 1 и плоскости: л 3 з а) х + р -~- х = 0: б) х Ч- р Ч- х = 1; в) х — у + = 0; г)х — у + х = 1 в сторону той нормали к плоскости, которая образует острый угол с осью Оу. Примевяя формулу Остроградского — Гаусса, вычислите поток векторного поля а = р1+ х3 + хи через ьажлую из частей сферы х + р + + за = 1, получающихся при пересечении этой сферы плоскостью: а) х + у+ х = 0:, б) х -~- у -~- з = 1: в) х — у+ з = 0; г) х — р ф з = 1 в сторону внешней нормали к сфере.
Вычислите поток векторного поля а = у1+ «5 ч- хи через круг, полученный при пересечении шара х -1- уз + с (1 и плоскости и+ у+ в = = о в сторону той нормали к плоскости, которая образует острый угол с осью Ох. При каком значении о поток векторного полн а принимает наибольшее и наименьшее значения'? 428 Гл. Х1г. Скалярные и еекгпорные поля 49. Даны векторные поля: аг = зг1у, з) 1-Ь~з1з, г) з + геях., у) 1с; аз = х 1 + + уд + з й; аз = ~ — — ху)1+ '! — — 1?з) 1 + ~ — — хз) й; ач = х 1 + ,'- узз-~- зз к.
Вынсните, какие из вих нвлнются солсноидальными. Вычислите поток каждого из данных полей через сферу единичного радиуса с центром в начале координат в сторону внешней нормали. 50. Применяя формулу Стокса, нычислите циркуляцию векторного поля а = 1х — хз)1 + 1х — уз)1 Ч- 1у — х )1г вдоль: а) треугольного контура, образованного пересечением плоскости х-1- + у+ з = 1 с координатными плоскостями и пробегаемого по часовой стрелке, если смотреть из начала координат; б) треугольного контура, образованного отрезками прямых, соединяющими точки 10,0, 0), 1О, 1,0) и 10.,0., 1), и пробегаемого по часовой стрелке, если смотреть из точки 11,0, 0); в) треугольных контуров, лежащих в плоскостях Оху и Охз, аналогичных контуру из и.
б) и пробегаемых по часовой стрелке, если смотреть соответственно из точек 10,0, 1) и 10, 1, 0). 51. Применил формулу Стокса, вычислите циркуллцию векторного поля а = у1-1- зд-~ х !с вдоль окружности, получающейся при пересечении сферы хз -Ь уз + хз = 1 плоскостью: а) х -Ь у+ = 0; б) х+ у+ = 1; в) х — у Ф з = 0; г) х — у -~- з = — 1.
Контур пробегается против часовой стрелки, если смотреть из точки 10,2,0). 52. Применяя формулу Стокса, вычислите циркуляцию векторного поля а = гу — х) г+1з — у)1+ гх — з) 1с влоль окружности, получающейся при пересечении сферы хо+ у-+ х- = 1 и плоскости х+ у+ з = а. Окружность пробегается против часовой стрелки, если смотреть из точки 10, О, 2). При каком значении гг циркуляция векторного поля принимает наименьшее значение? 53. Примення формулу Стокса, вычислите циркуляцию векторного поля а =хсозу !+ вшу 1 Фанз — 1)з к вдоль отрезка винтовой линии гас) = = сонг 1-1- з1в1.1+ — рс а) от точки Л10,0, 0) до точки В10, О, 2) 10 ( 1 ( 2к); б) от точки В10,0,2) до точки С(0,0,4) 12к (1 ( 4к). 54.
Вершины Р, В, А' куба АВСРЛ'В'С'Р' находятся соответственно в точках 11,0, 0), 10, 1,0), 10,0, 1). Применяя формулу Стокса, вычислите циркуляцию векторного полл а = з г+ хз+ у к вдоль замкнутого контура: а) С'СВВ'Л'Р'С': б) РР'А'АВСР; в) С'Р'РЛВВ'С'. Используя полученные результаты, вычислите циркуляцию векторного поля а вдоль ломаной: г) С'СВВ'А'Р'; д) РР'Л'ЛВС: е) С'Р'РЛВВ'. 55. Докагките, что векторное поле а = у 1г) г, где г = х 1+ уз + з к, г = ~г~, является потенциальным, и найдите потенциал этого поля. 56.
Даны векторные поля: аг = 1у + з) 1+ 1з + х) 3 + 1х + у) 1г; аз = ?г гх) 1+ +Яу)1 з- ?з1з) й; аз = х 1+ уз -1- з й; аз = з 1+ хз Ф у 1г. Вынсните, какие из них являются потенциальными. Вычислите циркуляцию каждого из данных полей вдоль окружности х + з = 1, пробегаемой против часовой стрелки, если смотреть из точки 10, 1, 0). 57. Найдите потенциалы потенциальных полей предыдущей задачи 58. Докажите, что поток векторного полл а через поверхность Ф, заданную Г дг дг! уравнением г = г1гй о), 1гк о) Е д, в сторону нормали М = ~— "ди до рд. Характеристики векторных полей 429 может быть вычислен по формуле ~~(ап) ссБ = ~~ !а[ — — ] ~пи«со, е у 1Ч где и = — единичный вектор нормали к поверхности Ф.
1Ч) Вычислите по этой формуле поток векторного поля а = сову - ! + + жп х ! через ковическую поверхность Ф, заданную векторным ураввением г(г, с«) = гсозсо !+ ге!пуо 3+ гсоео 1с (О ( со ( 2к, 0 ( г ( ( Ц, где г, с« -- полярные координаты, о -. угол между образующей конуса и осью О . 1дг дг! 1дг дг! Какая из аормалей )Х1« = [ — — ~ и рч« = [ †. — ~ образует острый 1дг дь«! ~д(р д«1 угол с осью 0«2 69. В области С = Цх,р): 0 < х« -~-У' ( 1) задано векторное поле а = !+ . ' .
3. Докажите, что гаса = 0 в С. Объясните, почек у 4 У« му из условии гога = 0 не следует потенциальность поля а в области С. Задав произвольную замкнутую кривую Ь в области С в виде х = р(у«) сову«, у = р(2«) вш со, 0 ( р ( 2к, докажите, что цирнулнция поля а вдоль кривой Х равна нулю. Йайдите потенциал поля а. 60. Вычислите ротор векторного поля а и циркуляцию этого полн вдоль окружности Л, если: а)а=,, !4-,,!+«1с, Ь:х +у =1, «=«о; х« -~.
у«х« Ч- у« б) а=х1+, ', )4-, 1с, Е: У«4-« =1, «=хо; У«4 «2 У« 4. «3 в)а= ! — т+«)с, Ь: х +У =1, «=«о; х« -~- у« х« -~- у« г) а = х ! + , з' — , !с, Л: у + «з = 1, х = хо. У« 4 « У« 4 «2 Являются ли поля а) и в) потенциальными в шаре х -1- у ж - ( 1 с .« выброшенвым диаметром, лежащим на оси О«, а поля б) и г) потенциальными в шаре х« -1- у«ж ««( 1 с ныброшенным диаметром, лежащим на оси Охд — У .:«, «« 61. Дано нектарное поле на плоскостна= ., с+ е . 3; х фу «-0. «ж,««лу« 2 2 « Вычислите гога и циркуляцию поля а вдоль окружности х- -1- у = Я . Является ли поле а потенциальным: в области 0 < х' -1- у < 1; в области (х — 2)« + у« ( 12 62. Дано скалярное поле на плоскости и = агссов .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
