В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Вычислите ьУх«+ У« Кгас!и и циркуляцию векторного поля а = Кгас)и вдоль окружности х« + У« = Л~. Является ли векторное поле а потенциальным в области О < ха Ч уе < 12 63. Дано нектарное поле на плосности а=, «с+ . «2Д х ф У г-О. х ° у ° « .«+„« .«Ьуз Вычислите с)!г а и поток поля а через окружность х« -1- у« = 1 в сторону внешней нормали. Объясните, почему в данном случае из соленоидальности поля а не следует, что поток поля а через любую замкнутую кривую равен нулю. Гл. ХК Скалярные и оенторные поля 430 Ц~ив) 48 = ~Цг ва41 или Ц1 ) 4Я = ф ~~а) 414 (27) Ф а Эта формула аналогична формуле Остроградского-Гаусса: Ц(ла)бя = Яа1 я41л 64.
Дано векторное поле на плоскости а = , , 1 + Л, х + У у ° э,з з эз4 э язФуз ф- О. Докажите, что ейт а = 0 и поток полн а через любую замкнутую кривую, не проходящую через начало координат, равен нулю (кривая может обходить начало координат). 65. Пусть в односвязной плоской области С векторное позе а(х,у) удовлетворяет условиям соса = 0 и сйеа = О. Докажите, что поле а потенциально и его потенциал нвляетсн гармонической функцией в области С. Обьнсните, почему это утверждение неприменимо к полю — у .:г, е 2 а= ' 14, ':,Л вобласти 0<э ФУ <1, хотяусловиягоьа = ел 4 уз кэ 4 уз = 0 и 4)у а = 0 в этой области выполнены (см.
упр. 61 н 64). 66. Применяя формулу Остроградского — Гаусса к векторному полю и(ЛХ) П где и(М) скалярное поле в области С с границей Ф, докажите, что Цисоэаиэ = ~~~ — Л; Ф а где а — угол между внешней нормалью и к поверхности Ф и осью Ок. 67. Примення формулу Остроградского — Гаусса к нектарным полям и(ЛХ) 1, и(ЛХ)Л,и(ЛХ))с, где и(ЛХ) -" скалярное поле в области С, ограниченной поверхностью Ф, докажите, что Ц 4З=Ц ДЯ=Ц~С 41, (25) Ф Ф а где и -- единичный вектор внешней нормали к поверхности Ф.
(Эта формула аналогична формуле Остроградского-Гаусса, но вместо векторного поля здесь фигурирует скалнрное поле и(ЛХ).) 68. Используя формулу (2э), докажите, что Ц пни 8гад и(ЛХ) = 1пп (26) що~ е 1ПС) мео где Ъ'(С) — объем области С, ограниченной поверхностью Ф. (Эта формула дает инвариантное определение градиента скалярного поля, аналогичное инвариантным определениям дивергенции и ротора.) 69. Пусть векторное поле а = 1РХХеХ), Я(ЛХ),Гь(ЛХ)) задано в области С, ограниченной поверхностью Ф, а и = 1соео,соэ)3,соэ7) единичный вектор внешней нормали к поверхности Ф.
Примените в области С формулу Остроградского Гаусса к векторным полям ХХ1ЛХ) Л вЂ” 14(М) 1с, Х'1ЛХ) и — ХХ(ЛХ) 1 и ХХХМ) 1 — Х1ЛХ) Лд Умножая полученные равенства соответственно на 1, Л, 1с и складывая, докажите, что 93. Характеристики векторных полей 431 или ~~Ц(п ) 88 = Ц~(Ч ) а1. (28) (30) ~~(тп) я йЯ = ~~~(тЯ)а с(1', Ф а Ц( С) ая Ц й8 Я71 41, (34) (35) Ф а 70.
Используя формулу (27), докажите, что И'".)"' гос а(М) = 1йп (29) и<а> о Ъ'(С) МЕО где И(С) . объем области С, ограниченной поверхностью ч. (Формула (29) дает инвариантное определение ротора векторного поля, причем, в отличие от формулы (10), она выражает сам вектор го1 а, а не его проекцию на некоторое выбранное направление.) 71. В примере 4 из Л 5 гл.
Х11' для скалярного поля и была получена формула ~~ — ЙБ = Я сеи й(', Ф а которую с помощью оператора Гамильтона можно записать в виде О (пх)иди = ~~~Я ис(15 (31) Ф а Используя формулу (30), докажите, что гг ди Ф дп (32) м(с,> о Ы(С) МЕО где И(С) объем области С, ограниченной поверхностью Ф. (Формула 32) дает инвариантное определение оператора Лапласа.) Формулы (25), 27), (28), (ЗЦ можно рассматривать как частные случаи следующего операторного обобщения формулы Остроградского — Гаусса: ~~7 (и) е(Я = ~~~ Х,( т) Л', (33) Ф а где 7(Ь) некоторое линейное однородное выражение относительно вектора Ь (Ь вЂ” произвольный вектор, в частности вектор п или вектор 17 ).
Такими выражениями относительно вектора и в левых частнх формул (25), (27), (28), (31) являются пи, (па), (па), (п17). В правых частях указанных формул тройные интегралы берутся от тех же выражений, в которых вектор и заменен вектором 17. Поэтому формулы (5), (26), (29), (32) оказыва1отся частными случаями операторной формулы И,'")"' 7(1т)м = 1пп да1 о 1(С) ЛивО где 1'(С) объем области С, ограниченной поверхностью Ф и стягивающейсн к точке М. 72.
Примевня формулу (ЗЗ), докажите, что Гл. Х1г. Скалярные и векторные поля 432 где а векторное поле, заданное в области С с границей Ф; и единичный вектор внешней нормали к поверхности Ф; и — — постоянный вектор. Пронерьте справедливость этих формул, проделав все указанные операции в координатах. Используя формулы (34) и (35), докажите, что го а 11 (кп)ада У вЂ” 43 Гил')а1ЛХ) = !пп э глаГМ) = 11п1 и1а> а 1 (Г.") ' т 1а>-~о Н(И) мео мое' (эти формулы дают инвариаатные определенна операций Ги х )а и Ьа). 73. Пусть а постоянный вектор, г = х1+у1+гк.
Используя формулу (34), докажите, что Д(ан) тдо = ар, где 1' -- объем области, ограниченной понерхностью Ф. 74. Пусть а - постоянный вектор, г = х1+ ул+ гк. Использун формулу (34) и тождество (25) из з 1, локагките, что О1аг)пд5 = ар, где уг-- а объем области, ограниченной понерхностью Ф. 3 4. Основные дифференциальные операции векторного анализа в криволинейных ортогональных координатах Основные понятия и формулы 1. Криволинейные ортогональные координаты.
Пусть х, у, .. прямоугольные координаты точки ЛХ. Положение точки ЛХ, как было отмечено в гл. ХП, можно задать так.ке с помощью криволинейных кооРДинат. БУдем обозначать их Чы Чз, Чз, а фоРмУлы, свазывающие криволинейные координаты с прямоутольными, запишем в виде х = х(ЧыЧ2 Чз) У = У1Ч1 Чз Чз) г = г(Ч1 Чэ Чз) 11) При изменении Ч1 и фиксированных значениях Чэ и Чз точка с координатами х, у, г, определпемыми формулами (1), описывает в простРанстве некотоРУю кРивУю, называемУю кооРдинатной линией Чь Аналогично опРеделЯютсЯ кооРдинатные линии Чз и Чз.
КРиволинейные координаты называются ортогональныли., если в любой точке три координатные линии, проходящие через эту точку. попарно ортогональцы (т. е. попарно ортогональны касательные к координатным линиям в этой точке). Элемент Ж1 длины дуги координатной линии Ч1 выражается формулой й)~ = Н~ПЧы где Н, = Аналогично, дт. Криволинейные координаты 433 Жз = Нз»Х»42,.
сУз = Нз»1 уз, где Величины Н», Н2, Нз называются параметрами Ламэ или масштабнь ма коэффициентами кривол»инейных координат д», дз, дз. Они характеризуют в каждой точке пространства изменение а21 длины координатной линии в зависимости от изменения»1у, соответствующей криволинейной координаты д,.
2. Цилиндрические и сферические координаты. Примерами криволинейных ортогональных координат нвляются известные нам цилиндрические и сферические координаты. Цилиндрические координаты д» = р., дз = уо, »»з = з вводятся с помощью соотношений х = рсоа»р, у = рз»пио, р > О, 0 <»р < 2л, — оо < з < +со. (2) Параметры Памэ длн цилиндрических координат имеют вид Н» — — 1, Нз Р~ Нз =1.
Сферические координаты»»1 —— г, дз = й, дз = ьо вводятся с помощью соотношений а = т з»пдсозьо., у = гзшрзшр, з = » созе, 1 >О, 0<0<к, 0<уо<2х. (2) Параметры Памэ для сферических координат имеют вид Нз = ге»пд. Н, =1, Нз=г, 3. Операции ьта»1, сй»ц го»о»з в криволинейных ортогональных координатах. Пусть»»1, »»2, уз криволинейные ортогональцые координаты точки ЛХ. Введем в точке ЛХ ортогональный базис, состоящий из трех единичных векторов е», е2, ез, касательных к координатным лининм в точке ЛХ и направленных в сторону возрастания »Х», д», »12. Отметим, что при переходе от точки к точке направления векторов е», е», ез изменяются (в отличие от векторов», 2, 1»), т.
е. базис 1е», есэ ез) зависит от точки ЛХ (или, что то же самое, от У», »Хз В). Пусть н(ЛХ) и а(ЛХ) дифференцируемые скалярное и векторное поля. Вектор а(ЛХ) разложим по базису 1е»,ез,ез) в точке ЛХ: а = — а»е» 4 азез + азез ° Основные дифференциальные операпии векторного анализа в криволинейных ортогональных координатах имеют следующий вид: Гл.
Ху. Скалярные и оекторные ноля 434 1 ди 1 ди 1 ди Кгас) и = — — е~ + — — ег + — — ез, Нг ддг Нг ддг Нз ддз 14) 1 с д д д с1гиа = ( — 1асНгНз) + — 1агНзНг) + — сгазН~Нг)~, НгНгНз 1 ддс ' ддг ддз Н е. д азНз Нг ег д ддг аг Нг Нс ес д ддг а,Н, 1 Нс НгНз 1 д д 1 1 ( д — 1,азНз) — — гсагНг)1ес + ( — 1,асНс)— НгНг ддг ддз 1 НзНг 1 ддз .( — ) ( д 1 1 1 д д — — ?азНз)?ел+ ( — СгагНг) — — СагНс))ез, дд, 1' ' Н,Н; ).дд, ' '- д?, гзи = с)1в Кгас) и = с сх) Контрольные вопросы и задания 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
