В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 86
Текст из файла (страница 86)
25. а) 1/2 + о(1); б) 1/(Зт) + о(1/х); н) 5/2 + о(1); г) 1/ъгхг ж о(1/гз/тг), 1/3 хо -1- о(1/ъ хг); д) 1 — 1/(2хг) -Ь о(1/хг); е) 1-р + (1и 5) /х + о(1/х); ж) — 4/за + ~(1/хо): 4/хг + о(1/аз) ! ) 1/т/х + ~(1/т/х). 26. а) 1/3 -!- о(1); б) (1/п) !п 14+ о(1/п); н) 1/ггги + о(1/.,/п). 27. а) 4; б) 1/ь'3; в) 2/.г; г) и/га — гЗ/П! д) 1; е) — 1/12; ж) 1/а; з) 1/2, 1/2/3, 1; и) 0; к) О, если а < Ь; +ос, если а > Ь; е 'г~, если а = Ь:, л) 1; м) 1; н) г/Ь.
28. а) сг/пг+ Д/гц б) — 19/3; в) 1/324; г) — 4/9: д) 3; е) Рва; гк) е; з) 0; и) 0; к) 0; л) е * г~; м) е '. 29. а) — 2; б) а" 1п(са); в) 2а/Ь; г) о,' 1пг а; д) — 2; е) ег; ж) — ггг/4; з) е' ', и) 0; к) 1и 2. 30. а) 2; б) 4/3:, в) 7/4; г) — !и 2; д) а" !п(а/е); е) 1поп ж) 2; з) 45/91; и) е г "; к) с; л) е; м) 1/2; н) 1/2. Глава 1Ъ' а) гзу = агсз!г'(2+ г~х) ь 2 ~ <~х <~ к! н) гзу = !и(1 ь 2 ) — 2 < гЗх < -!-оо. 2.
а) 1; б) 2хо! в) у'(4) = 1пп г" + * г = —; г) 0; а -го ~х 4' д) 1/2. 3. а) /'(о); б) 2/'(а); в) — 2/'(а); г) 1 й(й 4-1)/'(о,). 4. а) ы > ог при 0 ( Г < 1/2, од = ог при Г = 1/2, ог < ог при ! > 1/2; на [О, 1] игор — — ог,р — — 1, на [1,2] егор —— 1 <3=егор, б) ог — — ог =О при!=0, ог >ог при 0<!<2/3, о1 = 'ог — 4,'3 при 1 = 2,'3, ог < ог при Г > 2/3; на [О, Ц ьмр = озер — 1, нн [1, 2] омр — — 3<7=о,р! е) ог >ог при!(1<4, ° г — — ог=1/4при1=4,ог <ог при Г > 4: на [1,4] егор — — (1/3) !и4 > 1/3 = егор, на [1, 25] о~оп — — (1/24) 1п25 < <1/6=егор.
5.а) у=х; б) У=2х — 1: н) х=О; г) у=зхж4 — 2. гх -!- г, у = ! х -!- 1. 8. а) / (-!-0) = 1, / ( — 0) = — 1; б) / (1 -!- 0) = / (1— — О) = /'(ц = 1; в) /'(40) = /'(-О) = /'(О) = О; г) /'(-ЬО) = 1, /'(-О) = -1; д) /'(+0) = /'( — 0) = /'(0) = 0; е) /'(гг/2 + 0) = /'(гг/2 — 0) = /'(гг/2) = 0; ж) /'(1 -1- 0) = е, /'(1 — 0) = — е. 9. а) 2х; б) (х > 0); в) — — ~т (х ф 0); ж) соьх -1- ьшх, у'(0) = 1, у'(л/4) =,/2; з) 1/(ь!п'сон х) (х ~ лп/2, п Е .'о)! и) 0 (агсь!их -!- нгссоьх = л/2 = свинг); к) 0 (асс!8 х + агссьбх = л/2 = = сопьг).
10. * Представьте [и(х)]"ЦМ н виде е'М! '"Мо и воспользуйтесь формулой для производной слогкной функции. 11. а) -а— — Ст, 440 Ответпи и указания (х > 0) — япхв!п(2 сов х) — сов»як(2яз(х); а) сов(в!п(в!ах)) сов(якх) совх; " '-' — ",~а(*зт," »Ь --" ° (--"-') ( з!. г 4-кп( и Е У)( г) е*(в!)зх-Ь сов»); 2е* (х сов 2х — яп2х); е'(е' -';х' (!)»х4- ° !)) (* ).)*(ь*+)) (* г): звча(,„,„(* ): < — а, х > а): е) — (х ~ 0);,; с!ах (2)гп < х < з + 2»гп, »( б Л)( х ъ х--Х-а" ж) — сов(1п») (х > 0);,, ( — а < х < а); — г — — т, з) — — т (х ф Ц; 331 — ь' ( — 3 4 и), (х< — 1, х>1); 1 — х вцп сов » (х ~ — + кп, и Е У)( 1 (х ф — + кп, и, б У)( к) 1 ( — 1 < х < 1); 1; г ) и — (* - ): — (- * ); )-'"""' е )г) )): (» -'; е,)(х -(- Ь ) / г )з ( )' ) ((! .
г)з ( )' )! ч г* ) 2(1 .ь хз) (вшх)"'* '(сов» х — япзх!пяпх) (2лп<х < + 2кп., пЕ у)( — (+() (х~ сов х ф в + лп, и Е У)( — — ф"-* — —; н) ссЪ х (х > 0); 1Ьх/!п10; 1/с!) 2х; — 1/в))х (* О).. ) зз — ( ( з' з О) ) гг м:-~--™; ) 2 )'( )— гяг + у)г ' зал!и р — — 2з-/'(х г) (х ~ 0); г) /'(/(х))/'(х). 13.
а) лЩО/ — ( — ")-( б) /(О)//'(0). 14. а) е~ )')(~(')( б) е ч ~ (")(~("(. 15. а) а" / (а) — па" /(а); б) д(а)/ (а)— — /(а)д'(а); в) ((!па)/'(а) — (1/о)/(а))/д'(а). 18. а) Нет, (ию)'~ = 0; б) да, (ии)'~, = —; н) да, (ии)'(, = сов 1; г) нет, (ии)'~ = 0: д) нет, (ио)'~ = 0; е) нет, (ио)'! = 0; ж) нет, (ии)'! = О. 19. 1. а) Да; б) нет. Н. а) Нет; б) нет.
20. а) В точках х таких, что /(х) = 0 и /'(х) ф 0; б) в точках х таких, что /(т) = д(х) и /'(х) ф д'(х); в) н точках х та- ких, что /(х) = гаах/(!) и /'(») ф-О. 21. Нет. 22. * Длн Р„(х) рассмотрите ! ж) (х 4- х» 4- ... -!- х")'. 23. а) — сс < ! < сс, /'(х) = 21/1~ = 2»,, /(х) = хг ( — ж < х < оо); б) 0 < ! < к/2, /)(х) = (в!пг!) /(сов»!)~, = — 1 (ео,(а , ) г (0« 1) /( ) 1 (0<в<1) „)О<!< /)(,) усов( — — — — ( — а < х < а), /(х) = — ь(аг — т» ( — а < х < а); касательнан: х = а, нормальа у = 0; г) 0 < ! < со, /~(х) = — (х > а), /(:с) = — ь(хг — аз (х > а); касательная: ус!) г ь ав!)С е<(< а з(хг — а~ а, х = а.
нормален у = 0; е) — оо < 1 < со, /'(х) = — еп — — 2», /(х) = хг е Глава Л' 441 ж) (1 4- 2х)ел*бах; з)х сов х »(х. 32. в) г(у~ = дх,»1у) , = 4х; б) йу) = йх, ду! = — дх; н) уу! = »)х, Иу! = е»)х; г)»)у! = л»)х, Иу( = 0; д) г)У( о — — О, с(У! = — те(х, 34. Равенстве б) и в). 35. в) — 0,8747; б) 0.,5121 рвд, или 29'20'; в) 1,04; г) 1,0033; д) 0,83 рвд, или 47'33'; е) 1,2. 36. в) 2,08; б) 3,9961; в) 2,0045. 37. /'(а)/2. 38. в) (12х — 8тз)е ': б) — а,' вшах; в) л" е"* г) 12х/а(х ) 4- 8хз/»а(х ) д) е*/'(е') -~- ез'/а(е'); е) 7»а'(х) х /'((.))+3 '(*)ЧЗ')»"( С.З+ "(*)/"'((')):.»-",' - в (в ) 0); з) = — "т (х ф 1); и) 2»в(хз Яп 2х — 20х сов 2х — 95 вш 2х); к) 5'» (5х (х — 1) — 12бх) вш 5х — 3 5'з(75хз — 182) сов бх; л) — — ' — 'я (х ф — 1); м) —, (х -~- 1) ' 2 30! х х ~ — — зт 4- — — зг] (х ~ х1); и) бш(бх 4- 11)еш: о) — — гв (х ) О).
( — Ц" 1(2п — 3 о(а/2)в (» в)»з — 1 2 (ох ха" +»1ф 0); в) — 2" сов(2х+ ил; г) 2" сов 2х+из; д) — в1п х+из 2/' — — вш(Зх + и- ); е) — сов(х + п-~ + — сов(Зх + и-~; ж) — (а — Д х (а †,д)х -~-г»~ — †(а 4- /))" сов (а 4- 8)х -В и†" 2] 2 2 (а —,1)х+ пл1 -~- —,(а+,3)" сов ~(а+ Б~х-В пК 2 з) —,(а — /))" х и) а"' ~ах яп (ах+ х сов х сов ) ( )] ~ ( ) ( +пт +пяп ах+(п — Цз; к) а" з а х сов ах+ил +2пахсов а,х+ 2 2 2 +(и — 1) — ")+ и(п — 1) сов/ал:+ (и — 2)~ »]; л) М" ее~*((ах»+ ух+ с)Из+ 2/ 2/ +(2ах+Ь)гй+п(п — 1)а); м) ( — 1)~ 'а"(и — Ц!~ (О < х < оо). 27. в) ~ч~ = ч'Г8, совХ = совУ = 1/ч»Г8, совЯ = 4/Я8; б) ~ч~ = ч»Л~ + Оз, совХ = О, сов 1' = — Л~/Й~ + Ьз, совЕ = Ь/ /К~ 4- 5»; в) (ч( = Л44, сов Х = 1/ч/Г4, сов У = 2/чт144, сов# = 3/чг144; г) )ч! = 2,9, сов Х = 2/29, сов 1' = 25/29, сов Х = 10ч»2/29.
28. в)»5у = ~ьх я а~ »з х) Ьх, при»5х 7» О, где а(»Зх) = ах 1 х ' ' б)»зу = а(»зх)»зх, где а(»Зх) = (», »*=»; т »+ * — Р )ь =» (»)» Р)= 0 при Ьх=О; »» .Ьх " т ' 29. Ьу = Ьх + 2(Ьх)з + (Ьх)з; »)у = Ьх; '( Ю ри Ь = О. в)»зу = 0,010201, »(у = 0,01:, б)»зу = 0,121, уу = 0,1:, в)»)»у = 4, »)у = 1; г) Ьу = 48, »(у = 3. 30. Ьв = 5»51+ 2Ь1~, »(в = 5»лт: в)»Зл = 0,52, г)л = = 0,5; б)»Зв = 1,08, »(в = 1: в)»зв = 7, »)в = 5. 31. в), х (х ) 0); б) — -"ф (х ~ О); в) ~ ; ) , х (.
~ ~1); д) 3' , ( — < . < а); е) --т— Ответи и указания 442 > 0); н) хсЬх+ ивЬх, если и нечетное, хяЬх+исЬх, если и чет("" ах — б ное; о) х вЬх+ 2ихейх+ и(и, — Ц яЬх, если и нечетное, хг сЬх+ 2их х х зЬх+ и(и — Ц сЬх, если и четное; и) аои!. 41. а) /" (х) = 2; /н'(х) = / (г) / (х) 0 н) / (х) 3 г / (х) г г з) / (х) — - ~.г ,г~з7г / (х) — (.г .г~з~» л) / (х) — ~-.;~; ( / ) ("'з)=-Фза —,- = -'(') "-- з --"з.--г= 4а юп (г/2) ' = а(à — яшс) (! ф 2ки, и Е Я)( е) /" (х) = 2, /н'(х) = О. 42. (/ '(д))' = -г[-1, ((-'(„))" = ),,(З, О-'(„))" = г) а(з:а)(е)пе.
з.,) ),"())) =), сов Х = сов 1' = О, соз У = 1; б) [гн(г()[ = 1, соя Х = 1, сов 1' = сов У = 0; н) [гн(Ц[ = 2игГО, сов Х = О, соз Г = 1/з/ГО, сов У = 3/з/ГО( г) [гн(2.,зг)[ = = з/641/25, соя Х = — 4/з/641, сов1' = 25/ъ 641, сон У = О. 44. а) б((хз; !бааз ) . ( )), ')- ( 0) )(~0.. — з Н*'. з. ) )г (. П'' х ((х", если и нечетное; вЬхе)х", если и четное; б) а" вЬ(ох) ()х", если и нечетное; а" сб(ах)((х", если а четное; в) ( — Ц" '2 (и — 3)!-~~~. (х > О, и 3 3). 47. у)(ха) и!. Глава Ъ' 1.
2з/х -1- 1п [х[, 2. (1/12)(хз + Ц~. 3. 2з/3 агссб (х/з/3) — х. 4. 27т— — 9хз + 9х /б — хг/7. 5. ( — 1/57)(Зх+ 2) 'з 6. 15'/!п 15. 7. 4(хе + 7)/(7 з/х). 8. !и [х[ — 1/(4х~). 9. х+ 2!п ~. 10. — ссбх — х. 11. Зх/2 — (5/4) !и [х+ -!-3/2[. 12. — = [ [) + „! 2 ( —,). 13. х — ГЬх. 14. О,5гЬ2х. 15.
0,5яб (2х !- -1-3). 16. — -1-2 — -!- —. 17. агссбпх -1- !п(х -!- з/Г~- х'). 18. (1/22)(2х— — 3)". 19. ( — соя х -Ь сйп х) вбп(саят. -Ь сйпх). 20. ( — 2/5)~/2 — ох21. — х ' з)б х агсгб(х. )3/2). 22. (1/з/3) !п[хз/3-Ь иЗзг — 2[. 23. ( — 1/2) сгб(2х-як/4). 24.
Ьб (х/2). 25. 58(х/2 — и/4). 26. (1/4)(1+ хз)~(~. 27. — О, б сов(2х -(-3). 28. (1/4) агс!8(х /2). 29. 2 асс!8 з/х. * ВоспользУйтесь текб что ()х/з/х = 2(1(з/х). 30. 1,5(1+2х)' . 31. — агсз!п(1/[х[). 32. 2збпх !п()/[х[ + т зе/[х — 1[), х(х — Ц > О. 33. 2з/!их, 34. ( — 1/2)е ' . 35. (1/3) !пз х. 36. !и [2 Ь !ах[. 37.
(1/30)(1-Ь 27х)'~(~. 38. 07о(!пх)~(~. 39. (1/б) зшз х. 40. (3/2) К1 — в)п2т,. 41. ( — 1/з/2) !и [з/2совт, -!- ° /соь(2х)[. 42. !и [ Гб(х/2)[. бб г 43. 1п[СЬ(х/2)[. 44. О 5(агсхбх)г. 45. — !пг ~~. 46. — г„:0„х 1 — 5хз ". 47 ! (8 ! 4хг+Зхз)Д г 48 (2 4 .;пг. у ' з!пзз)) /з! з 49. — х — 2е ')'+ 2 1п(1+ с'( ). 50. х — 2!п(1+ з/1+ е'). 51. (ага!8,/х)~. 52. 0,5[хз/аг — хг + аг агся!п(х/а)].
53. — з/аг — хг -!- а агсвш(х/а). 54. 0,5 х х [х~Га~ + хг — а' 1п(з+ з/а' + хг)). 55. з/хг — аг — 2а)п(з/х — а+,/х+ а), Глава 1' 443 если х ) а; — у'ха — ав + 2а 1п(,/ — х + а + г/ — х — а), если х < — а. 56. 1п ]х 4- + ъ/хг -! ав]. 57. 1п ]х 4- г/хв — ав].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
