В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Х1г. Скалярные и еекторные поля 416 Примеры решения задач 1. Доказать, что поток постоянного векторного поля а через любую замкнутую кусочно гладкую поверхность равен нулю. г1 Пусть Ф замкнутая кусочно гладкая поверхность, ограничивающая область С. Согласно формуле Остроградского — Гаусса имеем 0 (ап) г13 = ~~~ Жт а Лг = О, так как дивергенцин постоянного поля а равна нулю. Следовательно, поток постоянного векторного поля через любую замкнутую поверхность равен нулю: 01ап) Н5 = О. А Ф 2.
Найти поток радиуса-вектора г = х1+ рЗ -Ь як через произвольную замкнутую кусочно гладкую поверхность Ф, ограничивающую область С объема 1'. Ь Сначала найдем дивергенцию данного поля; гйи г = 1+ 1+ 1 = 3. Далее, используя формулу Остроградского-Гаусса,. имеем 0(гп) д5 = Ц~ 61т г гПг = ЗЯг11' = ЗРЗ Полученный результат дает формулу для вычисления объема области С с помощью поверхностного интеграла Ь' = -01гп) гго', ф или, в прямоугольных координатах, 1г = — д (х сов гл+ рсовД 4- з соа1) г15, 1 гг -За где и = 1созо,созД,соз-Г) — .
единичный вектор внешней нормали к поверхности Ф. Эта формула была приведена в 3 5 из гл. Х1У. д 3. Вычислить поток электрического поля Е точечного заряда е, помещенного в начале координат, через произвольную замкнутую кусочно гладкую поверхность, не проходящую через начало координат. Ь Векторное поле Е точечного заряда е, находящегося в начале коорЙе динат, имеет вид Е(ЛХ) = — г, где г = Од, ~г~ = ~0Л1~. По определению, векторное поле Е является соленоидальным в любой области С, где г1гиЕ = О. В и.
6 из З 1 было показано, что где 611и~ — г) = О при г ~ О. Поэтому поле Е1Л1) соленоидально в любой области и, це содержащей начала координат. Однако, как было отмечено в и. 3, величина потока соленоидального векторного поля через замкнутую поверхность Ф, расположенную в области С, существенно 43.
Характеристики векторных полей 417 О~(Еп) НЯ + Д (Еп) сИ = 0 (Щ ф фз Вычислим поток поля Е через сферу Ф1; О 1Еп) д5 = — 4кйс Фз (см. с. 408). Знак минус означает, что внешняя к области С1 нормаль на поверхности Ф1 направлена к центру сферы Ф1 (к началу координат) и, следовательно, противоположна вектору г. Отметим, что поток Е через сферу Ф1 не зависит от ее радиуса, т. е. иь|еет одно и то же значение для сферы любого радиуса. Возвращаясь к соотношени1о (11), находим поток поля Е через поверхность Ф; О(Кп) с18' = — О (Кп) с73 = 4к/се. Итак, поток электрического поля К через поверхность Ф равен либо нулю, либо 4кйе., в зависимости от того, лежит точка, где помешеп заряд, вне или внутри области, ограниченной поверхностью Ф, я 4. Вычислить поток векторного поля а = ха 1 -~- рз.) -~- ха 14 через боковую поверхность Ф1 конуса ~(х,у,х): ха + ра < Ьз, „lхр + уа < < х < 6) в сторону внешней нормали.
7л 1 способ. Поток О (ап) ЫЯ поля а через поверхность Ф1 можно фз 14 В.Ф. Бутузов н др. связана со свойством объемной односвязности области С. Рассмотрим два случая. 1. Пусть замкнутая кусочно гладкая поверхность Ф представляет собой границу объемно односвязной области С, не содерясашей начала координат.
Тогда условие с)11у Е = 0 выполняется но всех точках объемно односвязной области С, и в силу свойства солено1идального поля поток вектора К через поверхность Ф равен нулю. 2. Пусть замкнутая кусочно гладкая поверхность Ф представляет собой границу области С, содержащей ннутри себн начало координат. Тогда поле Е не является соленоидальным в области С, так как в начале координат гйу Е = сю.
Если же выбросить из области С начало координат, то оставшаяся область не будет объемно односвязпой. Для нычисления потока Е через поверхность Ф введем сферу Ф1 достаточно малого радиуса с центром в начале координат, целиком расположенную внутри С, и рассмотрим область С1 между поверхностями Ф1 и Ф. Условие с11уЕ = 0 выполнено для всех точек области С1. Применим к этой области формулу Остроградского — Гаусса. Тройной интеграл от дивергенции К по области С1 равен нулю.
Следовательно, равен нулю и полный поток поля Е через поверхности Ф и Фа1 Гл. ХК Скалярные и нектарные поля вычислить по формуле (2), не пользуясь формулой Остроградского- Гаусса. Этот способ применялся ранее (см. пример 3 из 2 3 гл. Х1Ц. Здесь мы так делать не будем. 11 способ. Чтобы сделать возможным применение форьчулы Ост- роградского Гаусса для вычисления искомого потока, дополним за- данную поверхность Ф1 (боковую поверхность конуса) до заьчкнутой кусочно гладкой поверхности Ф основанием конуса кругом Фз: 2+ 2 12 Применим теперь формулу Остроградского — Гаусса к области С, ограниченной замкнутой поверхностью Ф; Ц (ап) е1Я+ Ц (ап) еьз = 2(0(х+ у+ л) е1хйре1з.
(12) Ф1 Ф а На круге Фз имеем а = ха 1+ рз)+ 6~ 1с, п = 1с; поэтому 0 (ап) ~Б = Ц 6-'е13 = 6зЯ(Фз) = 6~ х1Р = я6~. аа Фе Для вычисления тройного интеграла перейдем к цилиндрическим координатам: х = рсозуо, р = рзшуо, з = з. Уравнение конической поверхности примет вид з = р.
Таким образом, з ь ь 2~0 (х + й + з) с2х ~Ь ца = ~ебр~р еер~ р(с»' "'Р + ч12' Ф) + 4 Нз = О о е л зя = 2~гбр~~р(6 — р)(соя д+ зшф + — — — ~ рдр = — 6' 2 2) 2 е е Из формулы (12) следует, что искомый интеграл по боковой поверхности Ф1 конуса равен разности тройного интеграла и поверхностного интеграла по кругу Фз: 0 (ап) е1Я = — х6 ае Рассмотренный пример показывает, что применение формулы Остроградского Гаусса для вычисления потока векторного поля через замкнуту|о поверхность удобно в тех случаях, когда достаточно просто вычисляются поверхностный интеграл по поверхности, дополняющей данную поверхность до замкнутой поверхности Ф, и тройной интеграл от дивергенции векторного поля по области, ограниченной поверхностью Ф.
а 5. Вывести формулу Грина как частный случай формулы Стокса для поля а = (Р(х, у), С)(х, у)) на плоскости. лз Рассмотрим векторное поле а = (Р(х, р), 1)(х, р)) как частный случай поля а = (Р, 12, Л) при Л = О. Пусть поле а = (Р, О, 0) задано в плоской области С с границей Л, лежащей в плоскости Охр. Единичная нормаль к области С совпадает с базисным вектором 1» оси Ож Г о'.
Характеристики векторных полей 419 Поэтому, применяя формулу Стокса С9) к полю а в области С, получим ~Сайг) = О Стаса 1с) ЙЯ. 113) С и Формула С13) является векторной формой форлсулы Грина. Вычислим ротор полн а: 1 3 д д да: дл Р коСа = Учитывая также запись циркуляции в прямоугольных координатах, получаем уже знакомый вид формулы Грина х+С' р .О(а д ) ь и 1с д д д дх дп де — у х 0 соса = Далее, используя формулу Стокса и учитывая, что для области Ф и = 1с, находим ~( г) = ф3 й 1) дЯ = > О' йя = 3~.
ь Ф Ф Полученный результат дает формулу для вычисления площади 14" Отметим, что по-прежнему условие гос а = 0 (т. е. в данном случае дс„1 дР— — — = О) обеспечивает потенциальность поля а лишь в поверхдх дл постно односвязной области. Такую область на плоскости мы назвали односвязной Ссм. ~ 3 из гл. Х111). Л 6. Доказать, что циркуляция постоянного векторного поля а вдоль любого замкнутого кусочно гладкого контура равна нулю. сл Пусть А замкнутый кусочно гладкий контур, Ф кусочно гладкая поверхность, натянутая на Л.
Согласно формуле Стокса С9) имеем )ССааг) = Д Стаса и) ССЯ = О, так как ротор постоянного пот, Ф ля а равен нулю. Следовательно, циркуляция постоянного векторного поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю: ~(ас)г) = О. А Ь Т. Найти циркуляцию плоского векторного поля а = — д1+х3 вдоль произвольного кусочно гладкого контура 1, лежащего в плоскости Оху и ограничивающего область Ф площади Я. Ь Сначала вычислим ротор данного поля: Гл. ХК Скалярные и оекторные поля 420 плоской фигуры с помощью криволинейного интеграла: 5 = — )11ае1г), ь или, в прямоугольных координатах, 1 Я=-ухну-уд .
Друггой вывод этой формулы был получен в 2 3 из гл. Х111. а 8. С помощью формулы Стокса найти циркуляцию векторного по- ля а = — у1+ х1+ л1с вдоль замкнутого контура Ь, состоящего из отрезка винтовой линии г11) = асоз1 1+ аяп1 1+ Ь11с (О < 1 < 2х) и отрезка прямой, соединяющего точки В(а, О, 2яЬ) и А(а, .О, 0), причем обход контура совершается так, что по отрезку прямой движение происходит от точки В к точке А.
2Л Находим 1 1 д д д: ду — у х — = 21с. д де соса = х ( — аяп1 1+ асоа1.2+ Ь1с)г11 = 2яа + 2я2Ь . 11 способ. Чтобы сделать возможным применение формулы Стокса для вычисления искомого интеграла, дополним заданный отрезок Вг винтовой линии до замкнутой кусочно гладкой кривой В отрезком Е прямой, соединяющим точки В(а,0,2яЬ) и А(а,0,0). Пусть поверхность Ф, натянутая на контур А, состоит из части Фг цилиндрической поверхности тл + уз = ал и круга Фз: хз + уз < аз, л = 2хЬ (рис. 77).
На цилиндрической поверхности Фс имеем гога 4 п, и поэтому (гога п) = О. На поверхности Фа имеем п = 1с, и поэтому гос а . и = 2 1с 1с = 2. Прилсеняя к полю а формулу Стокса, получаем ~(аг1г) = ~~(гоСа п) г1Я= / + 1 — 0+ 2 Ц дя — 25(Ф ) =2яа2. а ь Ф Ф1 Фе Фе О. Найти работу силового поля г = — у1+ х1+ е1с вдоль отрезка Лг винтовой линии г(1) = асоз1 1+ аяп1.4+ Ь11с (О < 1 < 2я) от точки Л(а,0,0) до точки В(а,0,2яЬ). ~."л 1 способ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
