В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Используя формулу [1б) прн а = ч и формулу [27) при а = Ъ = ч, выведите формулу дч дч /чтв — = — + бгас11С вЂ” ) + [гас ч ъ]. си дт 2 3 2. Повторные дифференциальные операции в скалярных и векторных полях Основные понятия и формулы 1. Дифференциальные операции второго порядка. Пу.сть в области С заданы скалнрное поле и[ЛХ) и векторное поле а[ЛХ) = = 1Р,44, В), причем функции и, Р,44, Л имеют в области С непрерывные частные производные второго порядка. Тогда ягас[и[ЛХ) и тот а[ЛХ) являются дифференцируемыми векторными полями, а йс а[ЛХ) лифференцируемым скалярным полем. К векторным палим пгас[и[ЛХ) и гоу а[ЛХ) можно применить операции вычисления дивергопции и ротора, а к скалярному полю йс а[ЛХ) операцию вычисления градиента.
Таким образом, получаем повторные операции: йчпгас[и, тот атас[и, йт гота, тот гота, пгас[ йч а. Операцию йт ягас[ называют операптором Лапласа и обозначают также символом ес йчйгас) и, = схи. С помощью оператора Гамильтона оператор Лапласа записывается в ниде с.'си = йчя ас1и = [чт [ссги)) = ч и. учитывая, что 2 х. д . д дт де д д 22 Х1 + ° +1 с + [ д,. ду дл( д- ду д.' получаем д и д и д и гзи = 'чт и = — + — + —. дев дуе длг' Функция и, удовлетворяющая в некоторой области уравнению Лапласа схи = О, называется гармонической в этой области. Например, линейная функция и = ах+ Ьу -~-сз является гармонической в любой области. Оператор Лапласа щироко используется в уравнениях математической физики.
Отметим, в частности, .что потенциал 42. Повторные дифференциальные операции 403 электрического поля точечного заряда или поля тнготения точечной ысассы, имеюший вид и = — (й = сснсз1, г = а-+ уз+ за), при г ~ О й г удовлетворяет уравнению Лапласа. Как было отмечено в 0 1, гоьйгас) и = (17 17и) = О (потенциальное векторное поле Кгас1и является безвихревым) н йггота = (ут(у7.
а]) = О (векторное поле гога является соленоидальным). Две остальные повторные операции го1го1а и Кгас1с!1ха связаны соотношением (см. пример 3 на с. 404) гол той а = Ксас1с1Ь а — Ьа, (1) где сла = сл(Р1+ Я + В1с) = схР1+ ЬЯЛ+ схг 14 вектор функция, координатами которой являютсн результаты применении оператора Лапласа к функциям Р, Я, П.
2. Разложение векторного поля на сумму потенциального н соленоидального полей. Произвольное непрерывно дифференцируемое векторное поле а(ЛХ) может быть представлено в виде а(ЛХ) = ас(ЛХ) + аз(ЛХ), (2) где ас(ЛХ) — потенциальное поле,аа(ЛХ) — — соленоидальное поле. Действительно, по определению потенциальное векторное поле ас(ЛХ) есть градиент некоторого скалярного поля и(ЛХ): ас(ЛХ) = = пгас1и(ЛХ). Поэтому для вектора аз(ЛХ) из равенства (2) имеем аа(Л|) = а(ЛХ) — Кгас!и(ЛХ). (3) Чтобы векторное поле аз(ЛХ) было солсноидальным, оно должно удовлетворять условию йтаз(ЛХ) = О, откуда, учитывая равенство (3), находим йгаз(М) = йз а(М) — йч рас1и(ЛХ) = йга(ЛХ) — сзи(ЛХ) = О. Таким образом, длн скалярного потенциала полн а,(ЛХ) получаем уравнение сли = йг а, (4) где с11оа известная функция данного поля а(ЛХ).
Итак, если функция и есть решение уравнения (4), то, полагая ас(ЛХ) = Кгас1 и(М), аз(ЛХ) = а(ЛХ) — игас1 и(ЛХ), получасмс представление поля а(ЛХ) в виде (2), где а1(ЛХ) — потенциальное, аа(М)— соленоидальное поле. Уравнение (4) неоднородное уравнение в частных производных второго порядка, называемое уравяениелс Пуассона: дои д'и дои сли гв —, + —, + — = Х, Х = йеа. дз' ду' де' Гл.
Хг'. Скалярные и аектарные поля 404 Отметим, что это уравнение имеет (бесконечное) множество решений, поэтому представление поля а(М) в виде (2) не единственно. Контрольные вопросы и задания В Перечислите повторные дифференциальные операции н скалярных и векторных полях. 2. Результаты каких повторных дифференциальных операции та кдественно равны нулю'? 3. Что такое оператор Лапласа и как ан связан с операторам 7'! 4. Приведите примеры функций, удовлетворнющих уравнению Лапласа сли = О. Пак называются такие функции? 5.
Объясните., как представить произвольное веьтараае поле в виде суммы патенциальнага и саленоидальнага полей. 6. Вычислите ейгас? Й~ г и Йсгкйгас? г, где г = и!+ ил+ ли, г = ~г~. Примеры решения задач 1. Доказать справедливость формулы Йг(идгас10) = (йгас?и дгас)а) + илло, где и и а .-- скалярные поля. ?т Используя оператор Гамильтона, получаем Йт(идгаа 0) = (~7. (ичуи)) = (г'и. г'а) + и'7 а = = (дгас) и дгас1 а) + сс лзш А 2. Доказать справедлиность формулы сл?иа) = осли+ 2(дгас)и.
Вгаоо) + илло, (б) где и и и --- скалярные поля. Используя формулы лги = ('г' 'ги), т7?ии) = иХ7и+и ти и ('7 а Х?и) =~,с?и х?0) + о 'а'зи, находим сз?иа) = (T . ъс?иа)) = (7 ~ити+ис70)) =~?'7 ахи) + (T ига) = (470 т?чл) + с, ъто + (~сс ъ'а) + и ~, зи = а тли 4- 2'~и г'а 4- и Tза = а х?и 4- 2(йгас? и . уас? а) + и сла. д Отметим, что формулу (6) с помощью оператора Гамильтона можно записать в виде Я ?,ии) = и ~ахи -|- 2(~"и с70) + и х?~и аналогично формуле второй производной произведения двух функций (ии)п = ион + 2и'и' -~- иап.
3. Доказать, что длн векторного поля а справедлива формула гог тот а = рас?с?ге а — лга. рх. Повторные дифференциальные операции 405 госгоса = [и['ста[) = хв(ста) — ввв а = 8гас1с11иа — сла. я в.в. ° ° вЯ, ° . ° =,авввзвл,в — .в. вз.. /1 в паса. дс1в 1 дг 1х св Учитывая равенство — (-) = — — — = — —, — и аналогичные ра- дх (,т! тз дх тв г венства для — Н и — ( -), полу сеем дн~т дз в '(-',) = — ",'6 — '„'6 Б(-',) = з ву — Зг — у с ' з зз г — Зг з зх, — Зг — х Зг — Зт — =0 при тф-О.
1 Итак, функция и = — является гармонической в любой области, г где т ~ О. я 5. Доказать, что электрическое поле Е(81,1) при 44 = е = 1 удовлетворяет телеграфному уравнению дЕ двЕ 11Е = ст — + дг дсз (7) в области, где плотность зарядов равна нулю (р = 0). св Рассмотрим систему уравнений Максвелла при 14 = е = 1, р = 0 (см. и. 9 из З 1); госН=З+ —, госЕ= — —, с1Ь Н=О, с11с Е=О, З=стЕ.
(8) дЕ дН Дифференцируя первое из уравнений (8) по времени и учитывая по- следнее уравнение, находим дН дЕ даЕ гос — = в — + дс дз дз2 (9) Вычисляя ротор от обеих частей второго из уравнений (8), поличаем дН гос тот Е = — гос —. дс В силу тождества гоггоСЕ = 8гас1с11хŠ— йЕ имеем (10) и уравнения с11и Е = 0 (11) гог гос Е = — глЕ.
сУ Используя формулу для двойного векторного произведения [а[Ьс)) = = Ь(ас) — (аЬ)с и полагая в ней а = Ь = 17, получаем Гл. ХГ'. Скалярные и векторные поля 406 дл1 Поэтому гог — = ЬЕ, и следовательно из (9) получаем уравнедг ние (7). а Если ток проводимости отсутствует (и = О), то для электрического поля Е получается волновое уравнение ,с Е деЕ дсе ' Для стационарного электрического поля Е(М) оно переходит в урав- нение Лапласа (12) с1Е = О.
Уравнение (12) означает, что каждая координата вектора Е является гармонической функцией в рассматриваемой области. О. Разложить векторное поле а = (х — у) 1+ (х + у) 3+ (е + 2) 1с на сумму потенциального и соленоидального полей. с'.с Как показано в и. 2, векторное поле а представимо в виде а = = ас + аз, где ас — — Кгас1и . " потенциальное поле, ае = а — йгас1и--- соленоидальное поле, причем и -- решение уравнения Пуассона лги = с11га.
Для данного поля с1Ь а = — (х — у) + — (х + у) + — (х + 2) = 3. д д д дх ду дл Уравнение с'.си = 3 в прямоугольных координатах имеет вид ди да ди — + — + — = 3. д* ду д" Частным решением этого уравнения является, например, функция 1 и = -(хе + уз + х~). Для этой функции 2 Кгас1 и = х 1+ у3 + х 1с = г. Следовательно, данное поле а представимо в виде суммы потенциального поля ас = Кгас1 и = х1 4- у3 4- х 1с = г и соленоидального поля ае = а — Кгас1 и = ((х — у) — х) 1+ [(х + у) — у) 3 + ((х + 2) — х) 1с = = — у 1 + х.1 + 2 1с. Непосредственно можно проверить, что векторное поле аз является соленоидальцым; с114 а = — ( — у) — — (х) + — (2) = О.
а д д д, дх ду дл уд. Характеристики векторных лелей 407 Задачи и упражнения для самостоятельной работы 36. Вычислите: а) йг(и дгас1 и); б) йг(8гаг1 Л(г)); в) гоь(и бгаг1 е); Ь векторные поля. 37. Для векторного поля а = х у г + у х Л + х х 1г вычислите гоьгоьа, 8гаг1 йга, Ьа и проверьте справедливость формулы (1). 38. Даны векторные поля аь = 1сх' Ч-Зс "Ч-1гсе', ал = 1с~ч+Лсь' ЧЧ-1гс~', аз = 1е~ ЧЗс~" + 1гс~ь (возможны любые комбинации знаков). Докажите, что: а) гог а~ = О, а поля аг и аз удовлетворяю г уравнению а+ гостй а = О, б) йгаа = О, йгаз = О, а поле аь удовлетворяет уравнению а— — 8габ г1Ь а = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
