В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Область С проектируется на плоскость Оху в область Р, границей которой является окружность 2х = хг + уг. Находиз1 Ц/13хз+ Зуз+22) йхйуйг = Цйхйу / ~3(ха+ уз) + 22] йг = о и , гл„г = Ц!бх)хг + уг) + 4хз — 4(ха + уз)2) йх йу. и Двойной интеграл вычислим, перейдя к полнрным координатам х = г соз р, д = г з1п р, О < зо < 2л. В полярных координатах уравнение окружности примет вид г = 2 сов ус, и поэтому двойной интеграл равен н72 2согк Жр / г [бгз спасо+ 4гзсозз со — 4г~) йг = — н72 е н!2 = / (=' совр+' соз'р Зг") — к72 нр2 к 72 = 16 ) ( — соз со+ соз уг — — соз ~р) сЬр = — ) соз со Жр = 712 о о 8 с 1, 176 Г н ) 15 ' ' 3' ) 15 ) — к72 — н72 17615 1 . 3 .
1, з 1~г 11 = — ~ о со+ — з1п2у2+ — зш4со — — зшз 2р~ = — л. 15 116 4 64 48 1 н72 3 Вычислим интеграл по верхней стороне области Ф1 па плоскости г = 2х, учитывая, что единичный вектор нормали п равен 1 — 2)ьг5, О, 12 зго52). Полу чаем Ц~хзйуй Ьузй:йх ! айхйу= Ц( ' ! г'),Ы Фг Фг Этот интеграл вычислим с помощью двойного интеграла по обласо. н. „= г,,„= н, 25 с., т., '=,а Ц ( — —,хз+ г )йз=Ц),— 2х" +4хг)йхйу. Фг и Переходя к поларным координатам, получим к72 зсонл йсо / 1 — 2гз созз уз+ 4гг созз уз)гйг = — н'2 О Гл. ХЛг.
Поверхностные интегралы 382 н,Г2 ( — — соа на+ 16соа ьз) гЬр = —, 64 я е 3 за 5 ') — я/2 Таким образом, данный интеграл 1 равен — — — = — '. Л 11я Зя 13 я 3 2 6 Задачи и упражнения для самостоятельной работы 24. Пользунсь формулой Остроградского — Гаусса, вычислите поверхностные интегралы по внешней стороне поверхности Ф гесли поверхность не замкнутал, дополните ее до замкнутой): а) ~~хг)ус)х -~- уагзагх ч- лг)хг)у, где Ф сфера хл Ч- ул -~- х~ = ал; Ф б) 0Гу — г) г)уг)х-~- Гз — х) аглг)х -~- Гх — у) г)хг)у, где Ф часть кони- Ф ческой поверхности х~ Ф уз = л~ при 0 ( з ( 5; в) ))~узг)уг)х Ф ххг)хг)х+ хуогхг)у, где Ф граница тела х -~- у (а, Ф О < з < 174 г) Охггуггх+ угьхг)х+ згГхгьу, где Ф - — часть поверхности х = !в ф — ЬГхефуа приО(х(1; д) )) уггуд)з Ч- хг)зг)х+ хг)хг)у, где Ф поверхность пирамиды, ограниченной плоскостями х -~- у+ х = а Га ) 0), х = О, у = О, х = 0; е) 0х г)уг)х Ф у даг)х Ч- х~ г)хг)у, где Ф сфера х + у Ч- х = х, е ж) )) хег)уг)с+ узг)хг)х+х~НхНу, где Ф.- поверхность куба 0(х ( (а,, 0(у(а, 0( (а; з) )) хе дуда-~-узг)хг)х Ч-гег)хду, где Ф сфера хз-~-уз -~-гз = аз; и) 01х — у -ь з) дуде +1у — з+ х) ахдх ч- гх — х+ у) г1хг)у, где Ф поверхность )х — у+ з!+ ~у — х+ х)+ ~х — х+ у) = 1.
26. Пусть Ф гладкая поверхность, ограничиваюшая область С, функции и(х, у, х) и о(х, у, х) имеют непрерывные частные производные второго порядка в замкнутой области С, — — производная по направлению ди да внешней нормали к поверхности Ф. Докажите справедливость формуго и ь и о б) 0 да, до дл = 0)' 3,3 г)хг)уг)з - вторая формула Грина.
ф' да д'п о ГЛАВА ХЪ' СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ з 1. Лифференциальные операции в скалярных и векторных полях Основные понятия и формулы 1. Скалярное поле. Пусть С область в трехмерном пространстве (или на плоскости). Говорит, что в области С задано скаллркое поле, если каждой точке ЛХ е С поставлено в соответствие некоторое число и(ЛХ). Физические примеры скалярных полей: поле температур какого- либо тела; поле плотности зарядов на какой-либо поверхности или в сплошной среде; поле плотности масс какого-либо тела.
Поверхность (линия), на которой функция и(ЛХ) принимает постоянное значение, называется поверхностью (линией) уровня скалярного поля (например, поверхность или линия постоянной теьзпературы). Придавал и(ЛХ) различные постоннные значения; и(ЛХ) = С, получаем семейство поверхностей (линий) уровни данного скалярного поля. Физические скалярные поля не зависят от выбора системы координат: величина и является функцией лишь точки ЛХ и, быть может, времени (нестационарные поля). Если в пространстве введена прямоугольная система координат Охуз, то скалярное поле описывается функцией трех переменных: и = и(х,у, з), (х,у,.з) с С. 2.
Векторное поле. Говорят, что в области С задано векторное поле, если каждой точке ЛХ Е С поставлен в соответствие некоторый вектор а(ЛХ). Физические примеры векторных полей: электрическое поле системы электрических зарядов, характеризуюшееся в каждой точке вектором напряженности Е; магнитное поле, создаваемое электрическим током и характеризующееся в каждой точке вектором магнитной индукции В; поле тяготения, создаваемое системой масс и характеризующееся в каждой точке вектором силы тяготения Е, действующей в этой точке на единичную массу; поле скоростей потока жидкости, описываемое в каждой точке вектором скорости ч. Удобной геометрической характеристикой векторного поля а(ЛХ) служат векторные линии кривые, в каждой точке ЛХ которых вектор а(ЛХ) направлен по касательной к кривой.
Векторные линии поля тяготения, электрического и магнитного полей называются силовыми линиями, а поля скоростей — линиями тока. Так, например, силовые Гл. Хе'. Скалярные и еектеряые поля 384 линии электрического поля двух разноименных зарядов представляют собой кривые, начинающиеся на одном заряде и заканчивающиеся на другом. Силовые линии магнитного поля тока являются замкнутыми кривыми. Пусть векторная линия, проходящая через точку ЛХо, описывается уравнением г = г(1), где 1 — параметр.
Условие коллинеарности вектора поля а и касательного вектора г(1) в произвольной точке этой линии имеет вид — = Ла, д1 (Х) где Л некоторое число. Условие (Ц можно записать также в виде ~ — а~ =О, (2) или, умножая на д1, в виде [е1га) = О. (3) Каждое из уравнений (Ц.-(3) является дифференциальным уравнением векторных линий в векторной форме и определяет множество векторных линий. Конкретная векторнал линия, проходящая через заданную точку ЛХо, определяется дополнительным условием г(1о) = га, (4) где го радиус-вектор точки М.
Физические векторные поля не зависят от выбора системы координат: в каждой точке ЛХ вектор а(ЛХ) полностью определяется своим модулем [а(ЛХ)[ и направлением. Если в пространстве введена прямоугольная система координат Охуз, то векторное поле а(ЛХ) описывается вектор-функдией трех переменных а(х,у,з) или тремя скалярными функциями — ее координатами: а(х,у,з) = (Р(х,у,э), О(х,у,э), Цх,у, )), (х,у,л) б С. дх ду (3) Р ХХ 11' а дополнительное векторное условие (4) эквивалентно следующим условиям; :(1о) = х, у(1о) = у, (6) где хо, уо, зо — координаты точки ЛХо 3.
Производная по направлению. Скалярное и векторное поля и(ЛХ) = и(х,у,з) и а(ЛХ) = (Р(х,у,з), Ц(х,у,е), Х1(х,у,э)) называются дифулеренпируемыми п раз, если функции и(х, у, л), Хл(х, у, э), з(1о) = зо Так как в прямоугольных координатах дг = (гХх, Иу, 0з), то векторное уравнение (3) для векторных линий эквивалентно системе дифферен- циальных уравнений Лй диффервициалвние операции 385 Г,)(х,у,г), Хг(х, у, г) дифференцируемы п раз. В дальнейшем, не оговаривая это особо, будем считать, что рассматриваемые полн дифференцируемы нужное нам число раз. Пусть и(Л~Х) скалярное поле, заданное в области С; 1 — единичный фиксированный вектор; ЛХ фиксированная точка; ЛХ' любая точка из С, отличная от ЛХ и такая, что вектор ЛХЛХ' коллинеарен 1.
Пусть, да.чее, ЛХЛХ' величина направленного отрезка ЛХЛХ' (она равна его длине ~ЛХЛХ'(, если векторы ЛХЛХ' и 1 сонаправлены, и равна †~ЛХЛХ (, если эти векторы противоположно направлены). и(ЛХ ) — и(ЛХ) Определение. Число 1пп, называется производм' — злу ЛХЛХ' ной скалярного полл и(ЛХ) (функции и(М)) в точке ЛХ по напрааледи нию 1 и обозначается символом — (ЛХ). д! ди Производная по направлению — (М) является скоростью изменед! ния функции и(М) по направлению 1 в точке ЛХ.
Если в прямоугольной системе координат Охуг 1 = (созо, сов,З, сову), то ди ди да , ди — = — соз о + — соз д + — соа у. (7) д! д '' ду'' д. В частности, если вектор 1 сонаправлен с одной из координатных осей, то производная по направлению 1 совпацает с соответствующей част- ной производной.
Например, если 1 = (1,0,01, то ди ди ди — = — . 1 = —. д! дх дх Аналогично определяется производная по направлению векторно- го поля. а(М ) — а(ЛХ) Определение. Вектор 1пп, называется праизаодлп- и най векторного паля а(М) (вектор-функции а(М)) в точке М по нада правлению 1 и обозначается символом —. д! Если в прямоугольной системе координат Охуг а(ЛХ) = (Х; Х3. Л), то 4. Градиент скалярного поля. Определение. Градиентом скалярного поля и(х, у, г) называет- ся вектор-функция ди. ди. ди Гди ди ди! ягаг) и = — л + — 1 + — 1с = ~ —, —, — г.
дх ду дз дх' ду' дз Из равенства (7) следует, что ди — = (яг аг) и . 1), д! 13 В.Ф. Бутузов в др. Гл. ХК Скалярные и еектеркые поля 386 а = рвс1 и. Функция и(М) называется скалярным потенциалом векторного поля а(ЛХ). Если а = 1Р,.Я, Л)., то из равенства (9) следует, что ди ду' Р= —, дх' Иногда потенциалом векторного поля а называют такую функцию и, что а = — йгас1и. Рассмотрим, например, поле тяготения точечной массы т, поме- щенной в начале координат. Оно описывается вектор-функцией Е(ЛХ) = — у — г (у гравитационная постоянная, г = х1+ уз+ х1с, ге =~п=иегегеГ» ь ььге р ную массу, помещенную в точку ЛХ(х,у, х).
Поле тнготсния являет- ся потенциальным. Его можно представить как градиент скалярной функции и(ЛХ) = —, называемой ньютоновским потенца лам поля тт г тяготения точечной массы т. Действительно, ди дХ11 Х 1сдг тт д — =-~'гп — су — ) = ",~т1 — — ) — = — —, — ( хе + Уз+ хе) = дх дх сг) ' 1 ге) дх ге дх х = — Тт —,. ге ди у ди Аналогично, — = — Гт, —, — = — ут, —, откуда ду ге д ге тсп т ягас1 и = — — (х1+ уз + х 1с) = — у — г = ь" 1М). В качестве еще одного примера рассмотрим электрическое поле точечного заряда е, поэ|ешенного в начале координат. Оно описывается в точке ЛХ(х, у, х) вектором напряженности откуда — '(ЛХ) = )рвс1и)(1(соэср = (йгвс1и)соз р, так как )1! = 1. ди д1 Здесь се угол между векторами 1 и ягас)и в точке ЛХ. Очевидно, ди что — принимает наибольшее значение при се = О, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
