В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 80
Текст из файла (страница 80)
ь 6. Формула Стокса в векторной форме. Пусть в области С определено векторное поле а = (Р, С, Рс); Š— замкнутый контур, лежащий в области С; Ф произвольная поверхность, границей которой является контур Ь; Ф С С (говорят: поверхность Ф натннута на контур А); п(ЛХ) = (совсс,совсб,соей) единичный вектор нормали на выбранной стороне поверхности Ф. Пусть длн векторного поля а (т. е, для функций Р,б1, П) и поверхности Ф выполнены условия теоремы 3 из гл. Х1 11. Тогда справедлива формула Стокса ~Р йх+ С йу+ Кйх = = О ~( — — — ) сова+ ( — — — ) говд+ ( — — — ) сову)йЬ', Ф где ориентация контура Л согласована с ориентацией поверхности Ф. Левая часть формулы Стокса есть циркуляция векторного поля а 4(2 Гл.
Х((. Скалярные и векторные поля или / (адг) = и(В) — и(А). лв вдоль контура Х, а правая часть представляет собой поток через подтс дЯ дР д(с верхность Ф векторного поля с координатами ду дх ' дг дх ' дСХ дР— — —, т. е. поток го(а через поверхность Ф. Поэтому формулу дх ду' Стокса можно записать в векторной форме: ~(ат) Ж = О(го(а п1<Б, (8) ь ь ~(айг) = ~~(го( а п) 65. ( Ф Физический смысл формулы Стокса: циркуляция векторного поля а вдоль замкнутого контура равна потоку ротора векторного поля а через поверхность, натянутую на этот контур.
Чтобы циркуляция была отлична от нуля для малого контура, окрускающего некоторую выбранную точку поверхности, поле а должно поворачиваться (иметь завихрение) вблизи этой точки. Из формулы Стокса следует, что тогда и го(а вблизи этой точки будт отличен от нуля. Такин( образом, го(а(ЛХ) характеризует завихрение поля в точке ЛХ. Отсюда и происходит название "вихрь" или "ротор".
7. Свойства потенциального полн. Как известно, векторное поле а(ЛХ), удовлетворяющее в области С условию а = 8(ас(и, называется потенциальным в этой области (и скалярный потенциал поля а(ЛХ)). Если поле а(ЛХ) = (Р,(,),В) потенциально в обласди ди ди ти С, то Р = —,, (,( = —, Ц = — и выражение Р дх + (Х ду + В сЬ = дх' ду' дх ди ди ди = — дх + — ду + — дг является полным дифференциалоьи функции дх ' ду дх и в области С. Это означает, что выполнено условие Ш теоремы 4 из гл. Х1У об условиях независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования в пространстве.
Из условия Ш вытекают остальные условия этой теоремы. Таким образом, потенциальное в области С поле обладает следую- Шими свойствами. 1'. Циркуляция потенциального поля а(ЛХ) вдоль любого залскнутого контура Х, с С равна нулю: ~(айг) = ~Рдх+ Х(ду+ Цдг = О. с с Иногда это свойство принимают за определение потенциального поля. 2'. Для любых точек А и В из области С циркуляция потенциального поля а = 8та(1 и вдоль кривой АВ не зависит от выбора кривой АВ С С и равна разности значений потенциала и в точках А и В: 43.
Характеристики векторных полей 413 Применительно к силовому потенциальному полю это свойство означает., что работа такого поля вдоль кривой ЛВ не зависит от выбора кривой, а зависит только от начальной и конечной точек Л к и В. Для поля тяготения точечной массы Е = — — г этот факт был ге уже установлен в примере 5 из 3 4 гл. Х11'.
Е = баас(-, / (Гд~) = к( — — — ). г г(В) г(А) Ав 3'. Потенциальное поле а(ЛХ) является беэвихревым, т. е. гоь а = гос йгад и = О. Пусть теперь дано векторное поле а(ЛХ) = (Р, Я, В), удовлетворяющее в области С условию гога = О. Следует ли отсюда, что поле а(ЛХ) потенциально в области С'? Ответ на этот вопрос зависит от вида области С. Если область С является поверхностно односвязной, то из условия гога = О в силу теоремы 4 из гл.
Х1Ч следует, что существует функция и(х,у,з) такая, что дх' ду' де' ди . ди . ди Следовательно, а = †'1 + — 3 + — 1с = пгас) и, т. е. поле а является дх ду де потенциальным в области С. Таким образом, условие гота = О является необходимым и достаточным условием потенциальности поля а(ЛХ) в поверхностно одно- связной области. Потенциал и(х, у, з) потенциального поля а(ЛХ) = (Р,Я,Х?) в поверхностно односвязной области можно вычислить по формуле (5) из ~ 4 гл. Х1Лс: Рео,й и(х,у?х) = / Рдх+Сду+ Яда = ско,ео сй е у = ~Р(х, уо, хо) ссх + ~Фх, у, зо) с?у + 1В(х, у, х) с?х.
(9) 'о оо -"о Если область С не является поверхностно односвязной, то условия соса = О не достаточно для потенциальности поля а(М) в области С. Так, например, векторное поле а= —,,1+, ой+21с х -~- у х" + у" (см. приклер 13 на с. 423) удовлетворяет условию гога = О в шаре с выброшенным диаметром, лежащим на оси Оз. Шар с выброшенным диаметром не является поверхностно односвязной областью, и, как показано в примере 13, поле а не является потенциальным в этом шаре. Гл. Хг'.
Скалярные и нектарные поля 8. Инвариантное определение ротора. Пусть в области гл определено векторное поле а(ЛХ). Зафиксируем точку ЛХ е гл и некоторую плоскостьч проходящую через эту точку. Пусть п --- единичный вектор нормали к плоскости, Х, — замкнутый контур, лежащий в плоскости и ограничивая>ший область Ф такую, что ЛХ внутренняя точка области Ф. Запишем форллулу (8) для векторного поля а в области Ф. Применяя к праной части этой формулы теорему о среднем, получим ф(ат) д! = (гога п)м* Я(Ф), ь откуда ф (ат) д! (гота п)лм = Я(Ф) где 5(Ф) площадь области Ф, ЛХ* некоторая точка области Ф.
Будем стягивать область Ф к точке М так, чтобы ЛХ оставалась внутренней точкой области Ф. Тогда 5(Ф) -+ О, а М" будет стремиться к ЛХ. В силу непрерывности го1 а значение (гога. гл)м* будет стремиться к (гола. п)м. Таким образом, получаем ф (ат) д! (го1а п)м = !!пл щер е лг ее (10) Контрольные вопросы и задания 1.
Что называется потоком векторного поля через поверхность? Напишите выраягения для потока в векторной форме и в прямоугольных координатах. 2. Приведите примеры потоков физических векторных полей через заданные поверхности. 3. Запишите формулу Остроградского — Гаусса в прямоугольных координатах и в векторной форме. В правую часть формулы входят величины, инвариантные относительно выбора системы координат (циркуляция векторного полн вдоль замкнутого контура и площадь плоской области). Поэтому данная формула дает инвариантное определение проекции го!а о точке М на направление„определяеллое заданннл~ векторолл п. Итак, проекция ротора векторного поля на произвольное направление, а значит, и сам гога зависит только от векторного полн а и не зависит от выбора системы координат. Для определения вектора гога вышеуказанным способом достаточно рассмотреть н заданной точке М проекции гога на три произвольных некомпланарпых направления.
Такими тремя проекциями гог а определяется однозначно. 93. Характеристики векторных палей 415 4. Каков физический смысл формулы Остроградского — Гаусса? 5. Какая область называется объемно односвязной? Приведите примеры объемно односвязных областей и областей, не являющихсн поверхностно однасвязными. 6. Каким свойством обладает соленоидельное векторное поле в объемно однасвязной области? Покажите, что это свойство может не иметь места, если область не является объемно односвязной. 7. Выведите закон сохранения интенсивности векторной трубки для сале- ноидального полн. 8. Дайте инвариантное определение дивергенпии векторного поля.
9. Что называется циркуляцией нектарного полн вдоль кривой? Напиши- те выражение длн циркуляции в векторной форме и в прямоугольных координатах. 10. Запишите формулу Стокса в прямоуголызых координатах и в векторной форме. 11. Каков физический смысл формулы Стокса? 12. Сформулируйте свойства 1' — 3' потенциального поля. Чта означает свойство 2' применительно к силовому полю? 13. Сформулируйте необходимое и достаточное условие потенциальности полл а(ЛХ) в поверхностно односнязной области и напишите формулу вычислении потенциала поля а(ЛХ). 14. Векторное поле а(ЛХ) н области С удовлетворяет условию каса = 0 Следует ли отсюда, что палев(ЛХ) потенциально в области С? 15.
Пиркуляция векторного поля а(ЛХ) вдоль любого замкнутого контура лежащего в области С, равна нулю. Является ли поле а(ЛХ) потенцнааьным в области С? 16. Дайте инвариантное определение ротора векторного поля. 17. Каков физический смысл условин г1Ь а = О? 18. Каков физический смысл условия гоь а = О? 19. Приведите примеры физических полей, удовлетворяющих условиям: а) г?1г а = 0; б) гага = О. 20. В области С выполнено условие ОВ а = О. Следует ли отсюда, что поток векторного поля а(ЛХ) через замкнутую поверхность, лея1ащую в С, равен нул|о? Приведите соответствующие примеры. 21. Пусть точечный заряд находится в точке ЛХа. Рассмотрим электричес кое пале Е этого заряда в области С, представляющей собой окрестность точки ЛХа, из которой упалена сама точка ЛХе.
Являетсн ли поле Е в области С соленоидальным? Укажите какую-либо замкнутую поверхность Ф С С, через которую поток поля Е равен нулю. Укажите замкнутую поверхность Ф С С, через которую поток полл Е отличен ат нуля. Всякан ли область, в которой поле Е соленоидально, янляется объемва односаязной? 22. Пусть точечная масса т находится в точка ЛХа. Рассмотрим поле тя готенин Р массы т в области С, представляющей собой окрестность точки ЛХа, из которой удалена сама точка ЛХа. Является ли поле Р в области С потенциальным? Существует ли в области С замкнутый контур, вдаль которого циркулнция поля Р пе равна нулю? Вснкая ли область, где поле Г потенциально, является поверхностно односвязной? Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
