В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Что такое криволиаейные координаты; координатные линии? Какие криволинейные координаты называются ортогональными,' 2. Что такое параметры Ламэг Каков их геометрический смысл? 3. Приведите примеры криволинейных ортогональных координат. Напишите формулы, связывающие прямоугольвые координаты: а) с цилиндрическими координатами; б) со сферическими координатами. Изобразите на рисунке координатные линии для цилиндрических и сферических координат. 4. Вычислите параметры Лама для цилиндрических и сферических координат двумя способами: а) по формулам для параметров Ламэ; б) использун вид координатных линий и геометрический смысл параметров Ламэ.
5. Как вводится базис сеы ег,ез), связанный с криволинейными ортогональными координатами? В чем его отличие от базиса 11,З,1с)? Изобразите аа рисунке базис сег,ег,ез) в произвольной точке для: а) цилиндрических координат; б) сферических координат. 6. Запишите в криволинейных ортогональных координатах: а) Кгас1и; б) с11г а; в) гога. 7. Используя формулу гл = с11тбгас1, выведите выражеаие для оператора Лапласа в криволинейных ортогональных координатах. Примеры решения задач 1. Записать выражение градиента скалярного поля и в цилиндрических координатах.
гл Полагая в формуле 14) дс = р, дг = ср, дз = з, ег = ер, ег = е,, ез = е. и используя выражения параметров Ламэ в цилиндрических 44. Криволинейные координаты 435 координатах, получаем ди 1 ди ди дгае(и = — е„+ — — е„+ — е . а дд Р Вдт ' дз = 2. Записать выражение Ьи (лх — оператор Лапласа) н сферических координатах. лу Полагая в формуле (5) от = г, др = В, аз = 1о и используя выражения параметров Ламэ в сферических координатах, получаем 1 д/здит 1 д/.
ди1 1 ди рзи = — — (г — ) +, — (в(п — ) + ., —. и (6) ге дг(, дг) гьнВ дВ~' дВ) ге вша В д,' 3. Найти сферически симметричное решение уравнения Пуассона 1 дти = —, т, е, решение, зависящее только от г. 21 Так как искомая функция и по условию не зависит от В и 1о, то производные по этим переменным в выражении (6) равны нулю, и уравнение для функции и примет вид Отсюда используем обозначения обыкновенных производных, так как функ- ции и зависит лишь от одной переменной: и = и(г).
Умножая на й., получаем г((г — ) = гдг, откуда, интегрируя, находим з йи г — = — + Ст. аг 2 Деля на гз и интегрируя еще раз, имеем г С1 и = — — — + Сго 2 Здесь С1 и Сз — произвольные постоянные, д Задачи и упражнения для самостоятельной работы тб. Пусть ер,ер,е. единичные базисные векторы системы цилиндрических координат р, уб -, связанных с прямаугальвымн координатами х, у, е формулами (2). Даны точки А(1,0,0), В(0, 1,0), С(0,0.
1) (координаты точек прямоугольные). а) Изобразите на рисунке базис (ер, ер, е.) в точках А, В, .С. б) Найдите углы между нектарами: 1') ер(А) и ер(В); 2') е„(А) и ер(В); 3') ер(А) и ер(В); 4') е„.(А) н е.(В). в) Разложите векторы: 1') 1,4, к па базису (ер.,ер.,е,) в тачках А и В; 2') ер,е ., е точках .4 и В по базису (йз,к). Гл. ХК Скалярные и оекторные поля 76. Пусть е„, ео, ее единичные базисные векторы системы сферических координат г,о,у, свнзанных с прямоугольными координатами х,у,г формулами (3). Даны точки А(1, О, 0), В(0, 1, 0), С(0, О, Ц (координаты точек прямоугольные). а) Изобразите на рисунке базис (е„, ее, ее) в точках А, В, С.
б) Найдите углы между векторами: 1') е„(А) и ео(В); 2') е„(:1) и е,.(В), 3') е (А) и е„(В); 4') ее(А) и ее(В). в) Разлонгите векторы: 1') В3, к и но базису (е„ее,ее) в точках А и В; 2') е„,ее,ее в точках А и В по базису (1,3,к). 77. Запишите выражение градиента скалярного поля и на плоскости Оху в полярных координатах. 78. Выразите дивергенцию и ротор плоского векторного поля а(х, у) в по- лярных координатах. 79. Запишите вырагкение градиента сказярного поля и в сферических координатах. 80. Запишите выражение дивергенции векторного поля а а) в цилиндрических координатах; б) в сферических координатах. 81.
Выразите ротор векторного поля а: а) в цилиндрических ноордиватах; б) в сферических координатах 82. Запишите выражение г3и (г3 оператор Лапласа) в цилиндрических координатах. 83. Найдите решения уравнения Лапласа Ьи = О, зависящие: а) только от р; б) только от у; в) только от г; где р,уч г цилиндрические координаты. 84.
Найдите решения уравнения Лапласа Ьи = О, зависящие: а) только от г; б) талька от о; в) только от Зо; где г,б,со сферические координаты. 83. С помощью выражения оператора Лапласа в сферических координатах вычислите г3(г"'). 86. Пусть (еы ег, ез) ортогональный базис системы криволинейных ко ординат дм уг, оз Найдите еВх ем ОН ег, ОЬ ез.
Запишите полученные выражения: а) в цилиндрических координатах, считая ег = ер, ег = ее, ез = е,; б) в сферических координатах, считая е1 = е„,ег = ее,ез = ее. 87. Пусть (еыег,ег) ортагональпый базис системы криволинейных ко ординат ды уг, дз. Докажите, что ( гогег = (, )ег — ( )ез = — (йгаг1Нг ег]. ХНзН~ Одз ) (,Н~Н дог,) Нг Выведите аналогичвые формулы для тот ег и гог, ез.
Запишите полученвые выражении: а) в цилиндрических координатах, считая ег = е, ег = ее, ез = е,; б) в сферических координатах, считая ег = е„ ег = ео, ез = ее. ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ Глава 1 1. * Воспользуйтесь методом доказательства от противного. 5. * Воспользуйтесь результатами примеров 1 и 2. 15.
Пусть х любое положительное число и пусть х~ и ус любые рациональные числа, удовлетворяющие неравенствам 0<х~(х, 0<уз(1. Тогда по определению произведенин положитольных чисел имеем х 1 = = апр ЛХ, где ЛХ = ((х~ у~ )„). Нак следует из (*), Чхы уз 0 < (хз ус)„( х~ ( х, т. е. х -- верхняя грань множества ЛХ. Пусть х < х. Как показано в примере 1 из 2 1, существует рациональное число х' такое, что х < х' < х..
Возьмем хс = х*, ус = 1. Тогда (хзуз)„= х* 1 = х* и, следовательно, (хсзуп)„> х. Итак, для числа х выполнены оба условия определения точной верхней грани мнолсества, т. е. апрМ = х. Таким образом, Чх > 0 х 1 = зпрЛХ = х, откуда х, 1 = х. Если х = О, то согласно правилу умножения рациональных чисел 0- 1 = О. Если х < О, то согласно определению произведения вещественных чисел х 1 = — !х~ 1. Но, как только что было показано, !х~ . 1 = !х~, т. е.
х 1 = — (х! = х. 33. * При хатха...х = 0 утверасдение очевидно. При хсхз...хи ф 0 положите ус = — „— -*-й — (й = 1, 2, ...,и) и воспользуйтесь ~хзхв..х результатом примера 2 из 2 4. Глава П 1. а) Да; б) нет; в) нет; г) да; д) нет. 4. Нет. 5. Х(остаточно доказать, что последовательность (х„) неограниченная.
14. * Если !цп хи = -1-со, то ВА > 0 и номер Х такие, что х > А 'сп > йс. Среди хи хе, ...,хх существует наименьшее число. 15. а) хз = хс = — 120; б) хш = 20. 20. а) а; б) а; в) 0; г) а. 21. а) у„= ~2+ ( — Ц" 1~ расходится; б) у„= здп(( — 1)" — ) расходится. 23. а) Сходится, если а > О, 11 > О, а < 13 или а < О, )!любое; б) сходится, если т ( 312. 24. а) 0; б) 0; в) 113. 26. а) 112; б) 1/3; в) 1.
я Представьте дробь й(й— -) в виде — „— (й = 1,2, ...,и): г) 1/4. * Представьй(й ж1 й -1- 1 те о„= -!- ... + в виде о„= А 4- —, 4- 'сп; 1 В С 1 2 ° 3 "' ии-1-1 и-1-2 п-;1 п.1-2 д) * ", =, — —,, О! = 1, и ) 1. 30. а) 2; б) О. 31. Так как сс > и! (п — 1)! и! ' > 0 Пш -' — стс- = О, то сс > 0 Вйс такое, что'сп > Лс выполняетсн неравенств.' во (1)с)")и! < 1 или 1/ сугй< с. 33. (1+ /Г+ 4а)12.
34. а) (а+ 2Ь))3; б) т/щ Ответи и указания в) — 1/а; г) 2; д) (1 — ь 1 — 4х1)/2; е) 1/2; ж) (з/б — 1)/2; з) 3. 37. * г) Докажите, что: 1') множество Г! цределы1ых точек последовательност" и ограничено; 2') если ш1(1 = с, ацр Гг = Ь, то с,у Е Гг; 3') с = Дш х„, 6 = !1ш х„. 39. а) Предельные точки: 2, — 2; 1пп х„= 2, 1цв х, = — 2; б) предельные точки: О, 1, 2; 1нв х„= 2, 1!п1 х„= О; в) предельные точки: — 4, О, '2, б; !цп х„= б, 1пц х = — 4; г) предельные точки; — 1/2, 1:, !пв х = 1, !пл х„= — 1/2; д) предеаьнан точка 1; 1ин х„= +ос, 1кн х„= — сю; е) предельные точки: О, 1; !цп хн = 1, Дш х„= О; ж) предельные точки: — е — —, — еф —,е — 1,е,с+1; !цп х„=е-!-1, 1цп х„= — е — —; ! 1 — ! у2' у'2' ' ' ' — ' „, у2' з) предельные точки: О, 1/2, 1; 1цп х„= 1, !цв х = 0; и) предельные точки: 1, 2: 1пл х„= 2, 1пв х„= 1; к) предельные точки: О, 1; 1нн х„= 1, !пн х.„=б; л) нет предельных точек; 11ш х =+со, !цв х„= — оо.
40. Рас— > ходится. * Докажите, что 1ип хзь Ф 1ш1 хзье1. 41. а) Воспользуйтесь 1-~ с Й -~ оценкой — „, ( йтл — — 1 —— 1 Ь вЂ” — при й 3 2; г) воспользуйтесь оиенкой 1 1 1 1 ее ея (х хн — х ! = ( ~ аьу ! ( 34 ~ ('у! . 42. * В определении 1 фунда1=- Е1 1 .=. Е 1 ментальной последовательности положите р = 1 . 43 .
* б) Покажите, что лля в = 1 / 2 и Чн ( х „ — х 1„ ( ) 1 /2 . Глава 111 2. * Докажите, что /(х) не удовлетворяет определению предела функции по Гейне. 3. Нет. 4. * Длн доказательства того, что не существует !пц /(х) при !а~ ~ 1, воспользуйтесь отрицанием определения предела фупнз — ~ ции но Гейне 8. а) 1; б) 4/5; в) -1/2; г) 1; д) зп. 9.
а) 4/3; б) — 2; в) 1/4. 10. а) 1; б) бш/З~в; в) 1; г) 1/(а~22. 12. а) Нет; б) 1/2; в) 1. 15. а) х = О точка устранимого разрыва; б) х = О - точка разрыва Н рода; в) х = )с (й б х) точки разрыва 1 рода; г) в точках х = 1 и х = — 1 функция непрерывна, остальные, точки — точки разрыва П рода; д) х = — 1 - точка разрыва Н рода; е) х = Π— точка разрыва 1 рода; ж) х = 1 — точка разрыва 1 рода; х = О точна разрыва П рода; з) х = — 1 и х = 3 — точки разрыва 11 рода; и) х = 1 -- точка устранимого разрыва; к) х = — 1 - - точка разрыва 1 рода; л) х = — 1 — точка разрыва 1 рола. 17. а) а' = 1-!- х1па -1- о(х); б) е = 1-!-х-!-о(х): в) (1-!-х) = 1-!-от+ о(х); г) зЬх = х+ о(х); д) 1Ъх = =:с -!- о(х): е) сЬх = 1 -!- (1/2)х ж о(хз).
19. а) Нет; б) да; в) да. 20. а) Равенство о(х+ хз) = о(хз) нри х ь О неверно. Действительно, например, функция о(х) = хза/х является бесконечно малой более высокого порядка, чем х ж х при х — ьО (так как !цв — ~ — — О), но 1цв — '' —.,-'- =сот. е. хт/хфо(х ) 2 Х !З/Х ° т 11Х 3, 2 в-~о х.!-х ' з-~о Глава Л' при х г 0; б) нет; в) да:, г) нет; д) да. 23.
а) 25х -р о(т), 25х -!- о(х); б) 1 — 8х~+о(х~), 1 — (1/2)хг+о(хг); в) 1+2х+о(х), 1+ „/х+о(т/и); г) — хг -1- о(хг], х -!- о(х); д) (1/27)х ф о(х), ( — 1/27)т/х -!- о(т/хт); е) 1-!- 4 хо1п2 ж о(хг), 1-!-хг !и2 фа(хг); ж) — 2х -Р о(хг), — 2х -Р о(хг); з) 1— — (1/2)х -Ь о(х), 1 ф (1/2)х + о(х); и) тгх -Ь о(т/т): к) 1 + (х "; (1/2)]х]) !и 5-!- +о(х); л) 1 — (1/6)х + о(т); и) — (1/2)хг + о(хг). 24. а) (х — 2)г + о((х— — 2)г); б) 1+ /1(2 — х) + о(2 — х): в) х — 2+ о(х — 2); г) 1 — (1/2)лг(х — 2)гр +о((т — 2)'); д) гг(хг — 4) + о(х — 2); е) (2/35)(х — 2) -'; о(х — 2); ж) 4(1+ + 1п х)(х — 2) + о(х — 2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
