В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 89
Текст из файла (страница 89)
27. а) Частные производные функции и(х, у) существуют в окрестности точки О, за исключением самой точки О; б) частные производныс функции и(х,, у) существуют в окрестности точки О и непрерывны н точке О; в) частная производная и, существует в окрестности точки О, за исключением точек (О,у), у ~ 0; частная производная их существует в окрестности точки О, за исключением точек (х, 0), х ~ 0; ию и„разрывны н точке О; 454 Ответи и указания г) частная производнан и, существует в окрестности точки О, за исключением точек (О,у), у ~ 0; частная производнан и„ существует в окрестности точки О, за исключением точек (х, 0), х ф 0; и„и„разрывны в точке О: д) частные производные функции и(х, у) существуют в окрестности точки О, за исключением самой точки О: е) частные производные функции сс!х, у) существуют в окрестности точки О, за исключением точек прямой у = — х (х ф 0), они разрывны в точке О; ж) частные производные функции и(х, у) существуют в окрестности точки О и непрерывны н этой точке; з) частные производвые функции и(х, у) существуют в окрестности точки О и непрерывны в этой точке; и) частная производная и,„существует в окрестности точки О, за исключением точек (О, у), у ф )ск, )с Е У; и, разрывна в точке О; частная производная ид существует в окрестности точки О и непрерывна в этой точке;к) частная производная и« существует в окрестности точки О и непрерывна в точке О; частная произнодная ид существует в окрестности точки О, за исключением точек (х,О),х ~ )гт,к Е Я;ид разрывна в точке О; л) частные производные функции и(х, у) существуют в окрестности точки О и непрерывны в этой точке; м) частные производные функции и(х, у) существуют в окрестности точки О и непрерывны в этой точке.
29. а) и = у; б) и = х 4- 2у — 1; в) и = Зх 4- Зу; г) и = да+ — у — л сс «СЗ 6 2 3 2 д) и =х+ у+ 1. 30. а) Да: б) нет; в) да. 31. а) и« =ус+ 1, 2х, ид — — !с+)«. 2у, где ! = х + у, о = х + у'; б) и„= — ус — -Рту, ид =:-фус + — 1«, где ! = *— , о =; в) и, = 1с + уу«, и„= — )г + ху„где ! = х — у, о = ху; г) и, = усуд, и„= Лхд 4- Хд,«, и. = й«у, где ! = ху, и = у«; д) и = ~~ ~д у!из'+ у~с~, ид —— уд [д,х1пу — дус~, где ! = х — у, о = ху; е) и = )с — 2хус, + !су ид — — — 2рус+ 1«+ х)сю где!= х — р, в=у — х, щ =ар; гсс) а, = ' + с г1„г + — ~и —, ид — — — "хс — + — ухе —, и, = — хд — + — хк —;-, где ! = ос«г ! хд' " Г г ! уг суз 4 г' ' Дг 4 рз Г«з 4 з' = „сх' + уг, о = тХСуз + «', т = ссг«з + тз. 33. а) хи« вЂ” уид — — х; б) 2хи, + + уид —— 2и; в) и, ж ид -1- и, = 0; г) хи« 4- уид 4- «и, = 0; д) хи, 4- уид —— и.
34. а) и=э)ггх 4-О,бх у 4-уз; б) и=« у-1- гу — —.; в) и«« — е 4-ху — ех. з . з ! 3 4хз ! д 3 3 ' р 35. а) йса~ = 2хузйх+Зхгугйу, йиС = 4йх+12йу: б) йи( = — У~~с)х+ + «йу+ лй«, йсс! = — Ойх, + Зйу+ 2й«; в) йи! = — щих(у+ «)1(у+ «)йх+ +хйу+хс1«), й~( = — ~~(8~й~+йу+с1«); г) йи)м = ~*"!уйх+хйу), йсг! =0; д) йи) =хе(-"йх+ !пх йу), йи! =12йх+ 81п2 йу; е) йсс) (1+ 1пху)йх+ -хйу, йи~ = йх+ йу. 30.
а) йи~ = 1зс + 1«)йх+ (1«вЂ” — ггс)йу, йи! = )~с(2,0) -1- х'„(2,0))с)х. -1- !с1«(2,0) — 1с(2,0))йу, где ! = х — у, о = х -1- у; б) йи ! = (у!с -1- — 1',) йх -!- (з 1с — -хт 1",) с1у, йи ! = [~с (О 0) -!- -1-У,(0,0))йх, где ! = ху, и = х; н) йсг! = 2(хУс — хХ,)йх-1-2р(У вЂ” хс)йу ф 4-2«(~с,— 1«)й«, с!и/ =2(~с(0,0,0) — 1 (0,0,0))йх4-2(~,(0,0,0) — ~с(0,0,0))йу4- Глава Х + 2(Г' (0,0, 0) — Г",,(О, 0,0))дг, где ! = хг — уг, и = у' — хг, я = гг — х'; г) с(и[ = ()гсозх — Д„з!пх)дх-~-2гсозуду-Е д„з!пгс!г., йи[ = )г(0,0)ах г+ ~р (О, 0) з(д, где ! = яп х + яп у, а = соз х — соа г. 38. а) и,„= бх + 12ху~, гз г зг з 2 и, ц — — 24х у, и„„= 12У + 24х у; б) и = О, и „= 2уг' — — з — з, и„= у г г 3 , з бх г бх г 12х = ЗУ гг — †2 в-,и„„ = 2хг + — З-'-д,и„.
= бхУг + — З вЂ” Х,и., = бхУ г + — 2 — Г, р у у у г г , г в) и„= — у сод ху, и,„= — япху — хусозху, иа„= — х созху; г) и, г = — з!п1, и „= — зз!п1, и „. = — Уз!и1, изз — — — г е!пз, из, —— — угз!и!+ сов!, и„-,= — У зшз,гаез=х+Уг:Д)и,,= — и„г —— — Д вЂ”: 2-2,'и,„= г — 2-2; ""=~(а+у) '" ('+р) ' ( -~ уг)'~' ("4 ')згг +(х+У)(ха+Уз)+(х'4-У ) ) игз = г г згг[х +2Р(х +д )+(х + +уг)г]; гк) и„, =уз(уг — цх:" г, и,„=х" 'г(1-> уз!пх), и,, =х"' Ы1+ +уг1пх), и„= х"'(г1пх)', из, — — 1пх х'-(14-уг!ззх), и.- = х"(у!пх); з) и = г — г — ~-~ (х), и, з —— — ггу г(ху )', и, - = — ( — ) (1+ 1п — ), и„„= ~~~ ~Ц ( — '"" ), и„, = — — ( — ) (1 -!- г 1п л ), и, ° = ( — ) !п —, 41. а) изгг —— = — 2уяпху — ху созху, и„„„= — 2хяпху — х усозху; б) -,— з — х — 24 х дх др дгои х(сод У -!-аозт); в) и,„,, = (хгУ гг -1- Зхуг -!- Це*"'! г) — д — иа — — — 2а Япх х дх ду д 4"и х соз2У; д) ., " = т и! е), и = 2'"е 'з!п(у+ — "" ! + 2 ае' х д +"'и 2 — Ц п+т — Ц! пх+тд 42 ) ( +4 у +4 'гг хт у" у -!-22„, и з — — да 4- 2(х -Е у)~л -1- 4хуД..о изз = 2и -Е 4рзт -Е 4У~Г'„, -> 21„., где ! = х+ у, а = х + у-; б) и„= у (п + 22г + — Г~„, и,з —— хузи — — 22" + р + ~~ — — ~дт иаз — — х ~п — 222~я 4- Хх~д,, -!- -аозт где ! = ху, а = Х; в) и, = У д(а "; 2ргд'д' -1- з~Я', иаз — — х~д(а, и,- =х'(д", и з — — худз"а 4-хзд'д' -!- +УГ"', и,„= хр(д'+ хгГд" + Гд', и„, = хг (д'; г) и,, = — ггф + Г",)г + Г 4- -(Гв -~- 22"~,, -1- 2"„), и,з — — — — ~® -> Г.) !'„4- -(Гт 4- Д, ), и„з — — -Г'„,;— Г "" Г ' " ' Г"' 1 г г а — — 22„., где 1=х, а=х -> у; д) и,, =сов:а à — япх 2, и з = — зшусозх х у хГ", и„„=з!п У 2 — созУ )"; о) и,;, =д Гг [(д — Ц! 4-О ), и а —— д'~'(1 4- д!п )'), и„„= 2 з (д'~ 1пг 2" + да 1п ().
46. а) и, „= 0; б) ии „= г г г, = и из; в) и, = ига! г) х и,, = у иаз — хие + уи„. 47. а) и = О,ох у+ ау+ + уз; б) и = у сов х — у -У х; в) и = О бхуг -> ху 4 у. 48. а) з(ггг[ = 2!!захе -~ -!-12ху дхНУ+ бхгудуг, а~и[ = 24хг -1-244хз(у !-24с(уг; б) аги[ 23'бхг 2гдхдгу 2$4хз(г4- 24гудг,дги~ =124х~ — бг(хг!у — 4г)хааа+ х Хх х х 456 0твети и указания Ч-2йуйз; в) й~и~ = — сов(ху Ч- хз)](у Ч- з)йх+ х(йу Ч- йз)]з — 2яп(хр Ч- хз) х ,з хйх(йр+йз), йзи~ = — — (зйх+йу-1-йз) — чГЗйх(йу+йз); г) йзи~ = ез" ](уйх+ хйу) + 2йхйу], й~и~ = 2с(хйу; д) йзи~ = х" ](уйх+х х х 1пхйу)~+ йх(2хйу — уйх)], й~и~ = 2[(Зйх+ 21п2йу)з+йх(4йу — Зйх)]! е) йзи~ = йт + — йсйУ вЂ” тйр~, ййзз~ = — йзз — 2йхйр+йУ . 49. а) йзи~ = /и(йх — йу)з+ 2/м(йхз — йуз) -~-/„,(йх 4-йу)з, йзи~ /и(0, 2)(йх — йу)з + 2/м(0 2)(йх~ — с1у~) + /„, (0,2)(йх + йу)з, где ! = = х — у е =х -1- у; б) йзи]н = /и(йх —,'- йу)з -1-4з//„йз(йх Ч- йу) -1-4зз/„, йзз+ Ч-2/„йзз, йзи! = /и(0,0)(йх-~-йу)э+2/,(0,0)йзз, где 1 = х+у, и = зз; в) й'и~ =/и(уйх+ хйу)'+ 4/з„(уйх+ хйу)(хйх 4-уйу) -Г 4/,,(хйх+ у х хйу) з Ч- 2~~йх йу + 2/„(йх + йуз), йзи ~ = 2/к (О, 0)йх йу + 2/„(О, 0) (йхз + Ч-йуз), где 1 = ху, и = зз Ч- уз; г) й~и~ = — вгп/(х) сздз!/' (х)йхз+ 2 х х сов/(х)еУз'/'(х)/'(у)йхйу + соэ/(х) .1!" /" (х)йхз Ч- взп/(х) ег! ! х х/ з(у)йуз + яп/(х) е™!/и(У)йуз, йзи! = егя!](сов/(О)/н(0) — яп/(О) х х / ~(0))йх~+ 2 сов /(О)/" (0)йхйу Ч- яп /(О)(/и(0) Ч- / з (О))йуз].
50. в) й" и = (ах ч Ьу ч сЦ(айх Ч- Ьйу ч- сйз); б) й и = (ойх0 + Ьйу~ Ь ' О!ах) О!Ьу! +сйз, )и. 51. а) и= 1 — 2х+ (2з + 2ху+ уз):б) и=84-( — Зз1х+11з1у) + + (з5х' — 3/зхсз у+ 4з5У~), где з5х = х — 1, з5У = у — 2; в) и = 3(з5х + задув+ + ззз~ — !зхсзу — сзусзз — гззсзх) + (ззхз + гзуз + Ьз~ — Зсзхсзусзз), где з1х = х — 1, Лу = у — 1, з5з = з — 1. 52. а) !11 — х — у = 1 — — (х + у) — — (х + ! ! 2 8 Ч- у) з Ч- о(хе + уз); б) 1п(! з- х з.
У) = х Ч- у — 0 5 (х -Г У) з -1- ! (х + у) з Ч- о((х +у )зг'); в) (и+у)в1п(х — у) = х — у +о((х +у )зт); г) с*сову = = 1 -1- х+ О,о(хз — уз) -1- ! (хз Зхуз) + ! (хз — бхзуз -1- уз) -1- о((хз+ уз)г) 6 24 д) х" = 1 — у -1-ху+ о((х — Цз -1- (у — Цз); е) хз1' = — у -1-2з -1- хз -~- ту— — 2х" -~- о((х — Цз Ч- (у — 2) + (з — Ц ). 53.
а) -д) Равномерно непрерывна. 54. а) и„„, = и(0, 0) = 0; б) точек экстремума нет; в) и„„„= и( — 2, — Ц = — 2; г) и„я, = и(4/3,4/3) = — 64/27; д) вы ° = и(1, — Ц = — 6 и и,„, „= и( — 1, Ц = 6; е) точек экстремума нет; гв) тачек экстремума нет; з) и „„= и(2/3, — 4/3) = = †(4/3)е з; и) и„„„ = и(0,0) = 0; к) и, „, = и(0,0) = О, и„, = и(0, Ц = = и(0, — Ц = 2/е; л) и,, = и( — 1/з/Т0,2/ч'10) = — зи/ЬД2е),и, = и(1/чГ10, — 2/чгГО) = ч/5/(2е); м) и„„= и(1/у 2е, 1/з/2е) = и( — 1/~2е, — 1Я2е) =:, и„,„= и(1/~/2ее, — 1/з/2е) = и( — 1//2е, 1/ч'2е) = 1/(2е); н) и„„„= и(1, Ц = 3.
55. а) и„н„= и(1, — 1, 3) = — П; б) и„м = и(1/2, 1/2, — 2) = — 17/4; в) и„„= = и(1, — 2, 1/2) = -9/2; г) и, = и(1/4, 1/4, 1/4) = 1/256; д) и,„и„= и(1/4, 1/4, 1/4) = -1/8; е) и „, = и(1/(2ч 3), 1/(2чгЗ), 1/ч'3) = ,~ 3/е, и„„„ = = и(-1/(2з/3), -1/(2з/3), -1/з/3) = - з/гЗ 1е. Глава ХГ 457 Глава Х1 1. /(1) =2. 2. /'(1) =-0,4, /и(1) =-0,72. 4. а) у'= В и уп = -1 — Р~ ° = дп); ) ' = !), "= ~, - ° = /)и); ) 1+ее)пр' (1 Еев1пр) уз (1п х — 1) в —,* ... где у = /(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
