В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 91
Текст из файла (страница 91)
а) агЬ~/(2сг)( б) 1/Зо: в) аЬ(а 4- Ьг)гг/2; г) Згг; д) 2/3. 14. а) гг(3(пЗ вЂ” 2); б) 2л.г; в) 3,(4. 15. а) хо= — 1, уо=3,2; б) хо=4,5; уо= — 1; в) хо=уз=за/8. 16.хо= = — а/5, уо = О. 17. з) 1„= абзро/3, 14 — — а Ьро/3; б) 1* = ро/б, 14 = 7ро/6( Зло 18 ) 1 254/8 4г' 2 1„= а452/8; б) 1, = 0,1, 1„= 13/30. 19. рв = лагр(Ь вЂ” (2/3)а), рн = яагр(Ь+ (2/3)а). 20. Взяв ось х в качестве оси абсцисс, получаем 1, = фу а) р(х, у) 41х4(у = 1 — 2аМг + а ш. Так как по условию Л1, = а зф г(г = О, то приходим к равенству 1, = 1г+ таз. 21. а) /г(х / г(у х 21 г *Ф: '7"-рз Ф: с'ы' —.,е-.'егсргг — -р(г —,б: оззоз гзчз Огл"'=.о* егор оггог ггг — рг,'21 г СГ "Лс' *'й Зги' рг *7' и'О к / /(х, у, з) ггу, /г(у / г42 / /(~ у ) 4~ огсз "Л* СГ СЗО'Г** Глава ХП 465 г*б угггу *'йг угу г,/Тб — 2 22 йу / )'(х,у,г)йх; б) 1йх / йу / г(х,у, — - уь* —: ОУ-Ог 0 0 Д 2 22 4 Лб — *" ъ16— б)йх+/йх / йу / Дх,у х)1Ь+ /йх / йу / ((х у,х)йх, ~;- —,г о о 1 .,~1 — -ух .~Тб— —.,2 — -уг ,lгб-уг гг"46 — *' — уг 4 / / ./ / / / / О О о 47 — р о 1 /1бу б/16 — *2 — уг у 4:уб х /' й, / ~(х,у,г)йх, /йу /' Ь / у(х,у,х)йх4-/'йух о о 0 0 1 2 2 о г'б уг бгб уг „г 4 уггб — ууг гу 46 — ууг г — — гггг 1 24 / й» / Дх,у,г)йх+ /йу / 1Ь / г"(х у у)йх, /4Ьх угг — ух 0 1 0 0 0 угг гг г"166: г 1,Дб 2 гггб — у2 42 4 х / йу / )'(х,у,б)йх4-/йх / йу / Г(х,у,х)йх+/йхх 0 угг 22- 'г 0 1 '2 0 ° 1гб — г2 '16 — уг — 2 О~о „г 1 х /' йу /' ~(х,у,к)йх, /'йх / йб /' Кх,у,.)йу,-/йхх 0 О О О уа — — г — гг О Дб .2,Дб бг 2 4 Лб — У,/16 — гг — «г 1 х / йх / ((х,у,г)йу4-/йх / йб / ~(х,у,х)йу, /йбх ,г) г 0 0 0 0 Л вЂ” 2 Лб — У вЂ” гг 1 416 — г '16 — 2 — 2 4 х /' йх /' ~(гбу,:)йу4-/йх / йх /' И(х,у,х)йуб-/йхх уа:2: г О Д 2 ,446,2 ~~2 .2 г — г 4 — г* — гу 2 х / йх / Дх,у,х)йу; в) /йх / йу / Дх,у,х) йг+ /йхх 0 0 0 0 0 0 0 4 — 2 422 0 0 462*-1-2у О *-1-2 — 2 0 — 2 — — 2 Π— 2 0 4О2 .— 22 2 2 — у 4 — 24 — 2у 2 О 44-2 — 2у х / Г(х,у, ) Ь, /йу/йх / Г(х,у, )йх+ /йу/й.
/ )(х,у, 0 0 0 0 о у-г о О 2-1-2 4 — 2*-1-22 О О 4-1-2. 4-22 х)йх 4- / йу / йх / Дх,у,о)йб 4- / йу / йх / Дх,у,б)йх, — г о 0 -г †1 в 0 4 г 12 г У ггг 4 0 у — ггбг о 1 йу Х о О 24- !2-2 О г!г — г — уб !г — 2 — 2 466 Ответы и указания 2Р44 2-р — Ог х / 442 / 2"(х,у,з) Ргх+ /2)у / 442 / ((х,у,з) 41х, /442 / 4)хх О рр-12 а оыгрг о о 2 —. — 1'2 4 О * — !24.2 О 2. -!-4 х / У(х,у,з)2)у4-/йз / 4)х / ~(х,у,г)2)у, /4)х / Изк -!- 1'2 — 2 о -22-2 -*4хуг — г — о 2 — — 1'2 2 4 — 2.
Р— 224-2 11 — РУ х /' ~(х,у,з)4у+/~х /' )г /' )(х,у, )Юу. 22. а) /)у /' 4хн 4-,! 2 — 1 О О 12 — — 2 о о 4-Р 41 — РУ 41 — РУ х / ((х,р,з) !42 = /412/4)У / Д(х,У, 2) 44х+/442/42У / 2(х У 2) !2х = о о о 4:-РУ, о = о !1 — РУ Р 4! — РУ 1! /4)У Цйх / Д(х, У,г) 4)х 4- /4)2 / Йх, У,з) 4)х~ = / ~~~!!в" о РΠ— РУ, о о О О !в 1 1 124 1 / У о О -14 О 2*24зрг зр' ~/"*/ ~(: ')'4 ') 1"'1"у 1 ~(: ") ": = /'4 ~"* у О о а о а о о грзр' З 1 1 г ъг-24 .)~.+ /' Ь /' Пх,у,.) '~ = ~~ 1~.~к*',,й~х+~~ /'~у.
зрг 2(, 2 гуг о гуз о о о 1 2,2'7з 1 5 х /' У(х,у,з)Нх+ /йз /" с)у / Х(х,у,з) )х+/ )з" — зугУ2 'Р2( — 2УР ° 24 — зуг212 1 ! 1 2 1 2*2-!-3 х / 42у / )(х,у,х) 42х = /42х'(/ 422/2(х у 2) У+ / .~T:2Ь'з '7=-222222 о о о 2 г 1 2 1 1 2 у-7~ 224-2 гуз о Р72 о 1 з 1 5 х / Д(х,у,з)5(уа- /д /4)х / Лх,у,з)агу+/242 / 2~,-2 гуз ф* 2 212 Л-"-зуг 1 1 1 1 х / Д(х, у,з) 4)у; а) например, ~4!в/42х / Р!(х у 2) 42у =/42хн ,/л: Р 1 Р ! Р 1" У"'1" " 1"' 22 О О Р Глава ХШ 467 т (.т 12 х /' /(х, у, 2) г(х1. 23. а) 0; б) 1/8.
24. Например, /' тйр /' яп Вт(В х о о тттд(т(т тдо гдтор л ю дт 4 21(тм д в дт х / /(г)г~ т!г = / в(т(Вт(В / г(у / /(г)гот( + д((рд о ттд (т(р2( р ссор(тддт д( рд ,'2 14 гита д ю дт +/ явВ((В/ т(ту / /(г)с~т(г. 25. а) тг/10; б) Зттг/2 . 26. а) 4г/21; (4 д((до б) 81/40л. 27. а) Зт/Зл/5( б) 8лаЬс/5; н) 9/4. 28. а) 2/3; б) 1; в) лаЬ(а + Ь)/8. 29. а) 21л/32; б) тг(Ь вЂ” а)(Ь2 + аЬ вЂ” 2ат)/3. 30. а) 21л/(42/2); б) лта /(4т/2). 31. а) лабе/60; б) 81/40; в) 6. 32.
а) 4лро; б) 128ро/15; в) 1408ро/105. 33. а) хо = О, уо = 2, хо = 4а/Зг; б) хо = уо = 16т/3/(15л), ро = 2.; в) .то = 7р/18, уо = О, хо = 7р/176; г) хо = уо = О, ло = 7,(20. 34. а) хо = — 2, уо = 1, хо = 4/3; б) хо = — 2, уо = 1, хо = 2/3; в) хо = 32/13, уо = 16/13, ло = = ЗЗ/65. 35. а) 1,„= (4/15)яро аЬсд, 1„, = (4/15)ттроабдс, 12.
— — (4/1э) ттуоадЬс! б) 1,р —— торо/10, 1*= = 1р, — — тгро/20; в) 1,2 = 81лро/16, 1р, — — 1, = 92гуо/16. 36. а) 1 р — — (4/9)лроаЬсд, 1 - = (4/9)лроабьс, 122 — — (4/9)ттроадЬс; б) 122 = = 75л, 1, = 62л, 12, — — оОл. 37. а) 1 = 12 — — 0,15ттро, 1„= 0,1лро, 1о = 0,2тгро: б) 1т = 12 — — гроад(16 — 7~2)/60, 1„.
= ттроа (8 — 52/2)/ЗО, 1о = -троа (2— — т/2)/5 38 5лдро/64 39 Е =7Ц~~— ~ "хоохт(хт(ут(2 = (росно ~~ т!ут(2 х т' -в<,.К /Ж:.T х / 2 2 2 з(2 —— 0; Ер —— 0; Ер = 7уовто///1-„-Ь ((х((у((2 т 2.( р2<н2 о 2ер"-<я—,!Р.тт = ~~р..н(л т-Л тт т .т 7; 2 д "г тт-тт" та= '* Глава ХШ 25оад 1.
а) 1 + ъ/2( б) о а ; н) 2(е' — Ц + ла е'; г) 2ао; д) -((2 + ф~~~— — е) 22" . 2. а) ~~~( б) бро. в) 4 ~- (В агсатп ~.'*( г) ( (3 /3 — 1 с + †,' !в ' ~. 3. а) хо = †', , уо = †; б) хо = уо = хо = (-~). 4. Ы 1 = рот(42г + 1. 7. Гт = О, Ра = 7 — 2-, где "( гравитационная постоянла ван. 8.
а) 0; б) —,; в) 2. 9. а) — — '; б) — —; в) — — '. 10. — —. 11. —.. 12. О. 3' ' ' 2' 2' 2' ' 15' ' 3' 13. -2л. 14. -2л. 15. О. 16. -л. 17. 2~2/2а'а!и ( 3 — о~. 18. -ла 19. б . 20. О. 21. а);т; б) ла(2с — Ь). 22. а) 4: б) -4л. 23. а) ла ; б) -2лаЬ; в) 0; г) хрЯе*~ ту(уд) — с*' сд(у() — р(ут — ут) — 0,5р(х2 — хг)(92 — ут) (вы- Ответно) и указания 468 бор знака зависит от направления обхода замкнутого контура АигВ.4). аг 24.
/1 — /г = 2 25. а) яаЬ; б) а; н) 1п2; г) Зх/34- .л. 26. /= 23. 28. а) 8; 6 ' еь ъ' 2 "22 б) 4; а) — -'; г) 9: д) —; е) Ь вЂ” а. 29. а) ( /(и)))и; б) / и/(и)т(и. о г гг 30. ~р(х) т(х+ ~~Ду) 11у. 31. а) и = х -Ь хгу — хуг — Уз + С; б) и = *1 21 020'2 Ох" Оу + С. Глава Х1Ъ' 1. а) х Ф" — 2 — 5/3=0; б) 2хч-5/Зу — -=0; а) ахч-ау — Г2аг =О. а Ь с 2. а) сола = —,, сов Д = — —, соа у = —; б) сова = О, сов 6 = О, сов т = — 1. 1, 1, 1 ) )т"= — — '; ) г; )-Ы 2 — 1) 11/-; )т~( Ф вЂ” т) (( — т Ф вЂ” г Ф -гг) — — ~]) Д) л; е) лГ2. 4. а) 4ттаг (1 — ф — — т),' б) В~!ег — е) О соа и) — соз иг(; и) Заг; г) 2аг; д) (20 — Зл)/9; е) л(а)/аг 752-5 г 4-Ьг !н а ' 1/ 1+Ь~~).
ж) 4лгаЬ. 5. а) 4л(3-5 25/3)ог; б) ла ( /5-5 25/2). и 6 / / = ( 1)т 25/3)а4 2 8а' 5/2 8 а) )таз б) л( Ь ъ ) е) О 5(3 5/3) + (1/3 1) 1п2, г) 1255/5 — 1 д) лг(а~Я + аг+ 1п(1+ 5/1+ аз)) е) 0,5)талтбпстсоега; ж) а„' . 9. а) ' ' ': б) ттаг. 10. 11. ла — Ед. 12. 1 )тров(Заг+ 2Ь2)1/от+ Ьг. 13. 40а4, ттЛ114(Л+ Н) + 2 ' '12 3 / а 16а а а(ът2 4 1) 14.хо= —,уо=О,го= — ,.'хо=уо=,го=.15.Р= 2' ' 9л ' ' ' 21/2' = (Е), Ег, Ез), где Ь') = Ег = 0; Гз = л-/таро 1п а .
16. а) 4)таз; б) або х (Ь/ х /(о) /(б) 1 УОΠ— 9(О) 1 Ь(с) — Ь(0) ) н) 0' г) 4л (агЬг -1- агсг 1- Ьгсг) "( . )" 17. а) 0; б) лбз; н) 0; г) 0; д) тт; е) 38; ж) 0; з) л. 18. — 2я * Дополните криаую Д отрезком так, чтобы контур стал замкнутым; б) 22/2ла з)п (л — а)1 н) — ла~Л; г) — 2га(а+ Ь); д) 2лйгг; е) — — аз; ж) — 4; 19. а) — 53 —,; б) 0; 2 ' ' ' 12' /2) 2) 2 н) Ь вЂ” а. 20.
( 1/(1) 4)1. 21. а) и = — (хз Ф уз -1- гз) — 2хуз -1- С; б) и = /2224 е2)22 = е*уг -Ь е" х Ф е2ху Ф С; н) и = х уз+ ху г -1- хух ж С, 22. — тд(зов — 21). 23. а) 0; б) О. 24. а) 4ла; б) О. * Дополните поверхность Ф до замкнутой; н) 0; г) л. * Дополните поверхность Ф до замкнутой; д) 0; е) л: 5 5' ж)";)'",; ) Глава Х'т' 469 Глава ХЪ' 1. (х — у) = С; 8гас(и( — 1, Ц = — и!+ 41; 8гаг( и(1, Ц = О. 2. (х — С)г + , уг Сг хг Ьуг фО (х Цг Ьуг 1 (х 2)гЬрг =4; 8габи(1,Ц = = — е1, 8гаг(и(2, 0) = — (егг2) г; 8гас1и(1, — 1) = е21 3. Пары лучей, сонаправленных с положительными полуосями Ох и Ор и имеющих общее начало нв прямой у = х; 8гас(и(2, Ц = 1'; 8габ и(1, 2) = г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
