В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Перейдите к сферическим коордиватам и вычислите интегралы: е 1'11', сгтРтггг.г г., '. г г г г пастью х фу фг =т; 3;/ 9 †.,т;/18 — т — г г б) ~х-Кх /' у'Ку ег г 26. Перейдите к цилиндрическим координатам и вычислите интегралы а) Я~(т~ ф уг з еЬхду е1з, где Т область, ограниченнан поверхностят ми х фу =л, з=1: г г з б) ~збг ~ узг)у / хг4х о „- иТ г. 27. Выбрав подходящую замену переменных, вычислите интегралы: а) Я(х -Ь у + з ) гЬх 4уЖз, где Т вЂ” область, ограниченная сферой т х +у -~-г =х+у-~-л; г б) /Д ~ — — —, — — ')г1хгЬудз, где Т -- областзч ограниченная эллип- Л~с .г»! , г г „г соилом — + —, + —, = 1; аг Ьг гг в) Яудхдуе1з, где Т область, ограничевная поверхностями з = уг, т з=4у, з=х, з=Зх, г=З (у>0). 28. Вычислите объем тела, ограниченного поверхностями: а) х-~-у-~-г=1, х+у — з= — 1, — х+у+з=1, х — у+с=1, з=О; б) I — -~- — г;,Г=1, х=О, у=О, з=О; У2 3 Чб *г уг хг уг в) — -~- — = 2з, — ф †' = 1, з = О (Ь > а > 0).
а Ь аг Ьг уд. Тройные интегралы зы 29. Перейдите к цилиндрическим координатам и вычислите объем тели, ограниченного поверхностями: 2 3 а) 2 =2тз-1- —, 4хг-1- — '=1, г=О; б) уг+хг =аз у тг =х, х=Ь ]Ь>а>0) 30. Перейдите к сферическим координатам и вычислите объем тела, огра- ниченного поверхностями: а) хг-Ьуг+гг=1, хо+уз+лг=1б, го=х +уг, у=О, г=О, у=х ]х)0, у>0, г)0); б) 1хг -~- у -1- гг) г = а 1хз -Ь уг — г ). 31.
Перейдите к обобщеиныги сферическим координатам и вычислите объем тела, ограниченного поверхностями: б) ( — Ч- — '+ — =1, х=О, у=О, г=1 ] >Ц; 112 3 4 в) ( — "-Ьбу-Ь вЂ” ] =Зг, х=О, у=О, ° =0 ]х)0, у)0, )0). 15 ' 2/ 32. Найдите массу тела, ограниченного поверхностями 2г = х -Ь уг, х+ -~- у -~- г = 1, если плотность тслв изменяется по закону: а) р = ро; б) р = ро]1-~-х]; в) р = роуз]1 ух] 1ро = сапог). 33. Найдите координаты центра тялоести одноролного тела, ограниченного поверхностями: а) х -~-гг =аз, у=1, у=З, г=О ]г)0); б) г = 4 — хз — уг, г = 1, х = О, у = 0 (х 3 О, у > 0); в) хг = 2рг, у = 2рх, х = р/2, г = О 1р > 0)1 г) г=х +у, г=1х +у~)/2, х+у=1, х+у= — 1, х — у=1, х — у = — 1.
34. Найдите координаты центра тяжести тела, ограниченного поверхностями 2г = хг + 4х + у- — 2у + 5, г = 2, если плотность тела изменяется по закону: а) р=ро', б) р=ро]1х-1-2)г -~-]у — Ц~]; в) р=рог1х~ -1-у ) ]ро=сопес). Зб. Найдите моменты инерции относительно координатных плоскостей однародного тела плотности ро, ограниченного поверхностями: а) ~ —, + —,, + — з) = 2~ —, + —,, + — г ] — 1 ]а > О, Ь > О... > О); б) г = 1хз -1- уг -~- гг)з в)г=4 — хг — уз, =1, х=О, у=О ]х>0, у>0). 36.
Найдите моменты инерции относительно координатных плоскостей тела: Ро а) плотности р =... 1ро = сонат), ограниченного поверхносхг Ьуз лег г б) плотности р = — г, ограниченного поверхностями х + у = а, 35 г 3 2 128 у +г =а ЗТ. Найдите моменты инерции относительно осей координат и начала ко- ординат однородного тела плотности ро, ограниченного поверхностями. а) г (хз + уз 1 2)з б) зз + уз Ь гг аз г зз 1 уг Гл. ХП.
Кратные интегралы ЗГ2 38. Определите момент инерции относительно начала координат тела плотности р = рп(г ж П Ч- г ), где рп = сопэг, ограниченного поверхностью г г г ( г ,, г + гг)г г 39. Пусть Т вЂ” однородный цилиндр плотности рп с высотой 6 и радиусом основания В. Найдите силу притяжения этим цилиндром материальной точки массы гпп, находящейся в центре основания цилиндра. 3 3. т-кратные интегралы Основные понятия и теоремы 1. Определение т-кратного интеграла. При т ) 3 понятие пыкратного интеграла вводится аналогично понятиям двойного и тройного интеграла. Предварительно нужно ввести понятие объема тела в пг-мерном евклидовом пространстве Е .
Объемом пг-мерного параллелепипеда йгп = ((хг,хг,...,хт): )лг — аг! <. дг " ~ап ааЛ ~~ < д ) назовем число 1'Я) = 242дг...2д (при гп = 3 получается известная формула для объема прямоугольного параллелепипеда в трехмерном пространстве). Пусть Т произвольное ограниченное множество точек в пространстве Еп' (для краткости будем называть ого телом). Рассмотрим всевозможные многогранники С„>,„и Я„, вписанные в тело Т и описанные около него и составленные из гп-мерных параллелепипедов. Объем кагкдого такого многогранника положим равным сумме объемов составляющих его параллелепипедов.
Числа 1' = апр (1'Я,„)) и 1г = 1пЕ (ЪгЯ,„)) т Спгпп Супп ст называются соответственно наганам и верхним объемом тела Т. Тело Т называется нубирремым, если 1г = 1', а число 1г = 1' = 1' называется объемом тела Т. Пусть на кубируемом множестве Т С Е'" задана ограниченная функция гл = »(ЛХ) = »(лыаг, ...,хт). Разобьем тело Т на кубируемые части Т, (г = 1,2,...,п) так, чтобы любые две части не имели общих внутренних точек, в каждой части возьмем произвольную точку ЛХ,(<1, сг, ..., с,'„) и составим интегральную сумму. Х(Т.,РХ.) =Е»а,а: —,~ )Х1;, ~=1 где гУХ -- объем Т,.
Пусть дг . диаметр Т„д = юах дь Предел 1<г<п интегральных сумм при д — г О (его определение в точности такое я е, как и для двойных и тройных интегралов) называется т;кратным интегралалг от функции»(аы ...,х ) по множеству Т и обозначается 1Ц»'( '::: 7' гу. т-кратные интегралы з1з Как и а случае двойных и тройных интегралов, справедливы следующие утверждения: 1) функция, непрерывная в замкнутой кубируемой области Т с С Е'", интегрируема в втой области; 2) функция, ограниченная в кубируемой области Т С Е'" и непрерывная всюду, кроме некоторого множества точек объема нуль, интегрируема в атой области. Если ф(хм ха, ..., х,„) = 1, то интеграл (1) равен объему тела Т: 1'(Т) = ~~ ~йх, йх....йх,„. (2) т 2.
Вычисление т-кратных интегралов с помощью повторного интегрирования. Теорема 10. Пусть: 1') функция Г"(хы...,т ) интвгрируема в области Т = ((хы... ппхт) (х1 "° ~хт — 1) а С1 у1(хы ";хт — 1) ~ ~хт ~~ уг(хм пахи — 1))~ где у1(ты...,х 1) и уг(х,,....,ха, 1) —. непрерывные функции в кубируемой области С с Ет; 2') Ч(хч, хг, ..., хп, 1) е С существует определенный интеграл лЫ ь.; -Н Т(хмхг пп 'т — 1) ( г (х1 хг~ ".;хп~) йхаы га( 'ь" — Н Тогда существует (т, — 1)-кратный интеграл от функции Т(хы ... ..., х ) по области С (повторный интеграл) и справедливо равенство Я~( „,,.,хт)йх,.ЛП., = т дг(гь °,а а 1) = Ш -- У ф(х — х-) "х- щЦм, ",а, — Н В свою очередь интеграл по области С при соответствующих условиях можно также свести к повторному и т.
д. В конечном итоге при определенных условиях, .которым должна удовлетворять область Т, т-кратный интеграл сводится к последовательному вычислению т определенных интегралов (см. пример 1 на с. 314). 3. Замена переменных в т-кратном интеграле.
Замена переменных в т-кратном интеграле (1) состоит и переходе от переменных хы ..., т к новым переменным иы ..., и по формулам х1 — — ьь1(и„...,и„„), ..., х = ьа (иры ...,и ), (иы ...,и,„) б г. (3) Функции (3) осуществляют отображение области т пространства (иы ..., и ) ца область Т пространства (хы ..., х ).
На это отображение накладываются такио же условия! — П1, как и в случае двойных и тройных интегралов. Гл. ХП. Кратные интегралы 314 Теорема 11. Пусть т и Т -- замкнутые кубируельые области, функция 1(хь,...,х,) ограничена в области Т и непрерывна всюду, кроме, быть может, некоторого множества точек объела нуль„а отображение (3) удовлетворяет условиям 1-111. Тогда справедливо равенство (форлула замены переменных в т-кратном интеграле) Ц (1(хь,хз, ...,х,„) г)хь дхл ...дхт = Я~(~р~(и,...,ьь ), т г д (иь и )) ' "' '" диь ди (4) Р(иь, ..., и,») При 2"(хь, ...,х ) = 1 из формулы (4) получаем выражение для объема тела Т в криволинейных координатах Контрольные вопросы и задания 1.
Дайте определения кубируемого тела в т-мерном евклидовом пространстве и объема тела. 2. Дайте определения интегральных сумм и т-кратного интеграла. 3. Сформулируйте теорему о сведении ьп-кратного интеграла к повторному. Сведите интеграл по параллелепипеду О = ((хь,...,х ): ~х~ — аь~ ~( ( ды ..., ~х», — а ~ ( д ) к последовательному вычислению т определенных интегралов. 4. Сведите интеграл по т-мерному шару Т = г'((хи ...,х ): х', + ... ...
-~- хг ( Л ) к последовательному вычислению пь определенных интегралов. 5. Сформулируйте теорему о замене переменных в т-кратном интеграле. 6. Докажите, что если отображение (3) линейное, т. е. »»,(иь,...,и„,) = ™~ аои, и с1елва„'О ф О, то это отображение удовлетворяет услоь=1 виям 1 — 111. 7. 11апишите формулы для вычисления объема тела в пространстве Е с помощью тп-кратпоге интеграла. Примеры решения задач 1. Вычислить объем тела Т, задаьного нераненствами хь ) О, хз ) )О,...,х„,)О, хь+хз+...-Ьхт(1. гь Согласно формуле (2) Г'(Т) = О /ь)хь дхз ...с(х .
'!ело Т можно т представить в виде Т = ((хь, ..., х ): (хь, ..., х ь) Е С»ь — ь, О ( хт, ( ( 1 — хь — хг — ... — х ь ), где С', ь область в пространстве Е»ь заданная неравенствами хь > О,...,.х ь > О, ть+ ... +х,„ь ( 1. 23.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
