В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (первый семестр) (1108903), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

В пункте20.7 доказано, что в этом случае уравнения (2) задают функцию Y ( x )  y (t ( x)) ,и производная этой функции равна110Y ( x) y txt(3)Бывает также, что производные по параметру t обозначают так: xt  x ,y t  y . Тогда формула (3) принимает вид: Y ( x ) y. Найдём вторуюxпроизводную функции Y ( x ) :d (Y ( x))Y ( x) dx5.d (Y ( x))dxdt d y  x dtdtxy x y x  x 3Дифференциалы высших порядков.Однородную линейную функцию называют линейной формой.Напомним, что если функция f дифференцируема в точке x , тодифференциалом f в x называют линейную форму f ( x) h . Аналогично, еслиf дифференцируема дважды в точке x , то ее вторым дифференциаломназывают квадратичную форму f ( x )h2 . Вообще, n-ым дифференциалом fв точке x будет n-ичная форма f ( n ) ( x)hn (в предположении, чтоf ( n ) ( x) существует).

Для n-го дифференциала f в точке x используютобозначение d n f ( x) или, более строго d n f ( x)(h) .Таким образом, по определению,d n f ( x)(h) = f ( n ) ( x)hn для всех h  R .(2)Согласно этому определению, h n  (dx (h))n есть n-я степень функцииdx (h) и потому используют обозначение (dx(h))n  dx n (h) . Тогда (2) приметвид111d n f ( x)(h)  f ( n ) ( x)dx n (h) для всех h  R ,или равенстваd n f ( x )  f ( n ) ( x)dx n .(3)Форма (2) записи n-го дифференциала не инвариантна уже при n=2.Действительно, подставляя вместо x дифференцируемую функцию  (t ) влевую часть формулы (2) (при n=2), получимd 2 f ( (t ))(h)   f ( (t ))  h2   f ( (t )) (t )  h 2  f ( (t ))( (t ))2 f ( (t )) (t ) h 2(4)а в результате такой же подстановки в правую часть, имеем2f ( (t )) d (t )(h)    f ( (t ))( (t ))2 (dt (h)) 2   f ( (t ))( (t ))2 h2 .(5)Правые части формул (5) и (4) отличаются слагаемым  f ( (t )) (t ) h 2 .Вообще говоря, это слагаемое не равно нулю.

Однако если  (t ) - линейнаяфункция, то  (t )  0 и, вообще, для любого n  2 имеет месторавенство  ( n ) (t )  0 , откуда следует, что формула (3) будет верна и длялинейной функции  (t ) .112Билет 24. Теоремы Ферма, Ролля. Необходимые условияэкстремума.Пусть U (a) - некоторая проколотая окрестность точки а.Определение 24.1: Точка а – точка локального максимума f(x), если..для всех x  U (a) выполняется неравенство f(x)<f(a).Если для всех x  U (a)выполняется неравенство f ( x) f (a ) , то говорят о точке нестрогогомаксимума.Аналогичным образом определяются точки локального минимума инестрогого локального минимума. Следует только заменить входящие вопределение неравенства неравенствами f ( x)  f (a) и f ( x)  f (a) ,соответственно.Обобщающие названия для точек максимума и минимума – точкиэкстремума.Теорема 24.1(П.

Ферма): Пусть функция y=f(x) определена вокрестности точки а, пусть эта точка – точка экстремума (хотя бынестрогого) для функции f(x) и пусть существует производнаяf ' (a). Тогда f ' (a) =0.Доказательство. Рассмотрим, для определенности, случай точки.максимума. Тогда для всех x  U (a) выполняется неравенство f(x)<f(a), или.f ( x)  f (a)f ( x)  f (a)  0 . Если x U (a) и х<a, то 0.xa113По условию существует производная f ' (a) . Значит, существует' ( a) f левlimxa0f ( x)  f ( a ). По теореме о предельном переходе вxa' (a )  0 .неравенствах, f лев.Аналогично, при x  U (a) , х>a выполняется неравенствоf ( x)  f (a)' (a)  lim f ( x)  f (a)  0 .

Так как, 0 , поэтому f правxaxaxa0 f ' ( a)  0''f ' (a) = f лев (a) = f прав (a ) , должны выполняться неравенства , из f ' ( a)  0которых следует доказываемое равенство f ' (a) =0.Примечание 1. В точке экстремума производная может несуществовать. Примером служит функция y  x . Она имеет минимум в' (0)  1 , f ' (0)  1 и f ' (0) не существует.точке х=0. однако f левправПримечание 2. Теорема Ферма дает необходимое условие экстремума,но не достаточное, т.е. производная функции в точке может равняться нулю,а экстремума в этой точке нет. Пример: y  x 3 .

Эта функция имеетпроизводную y '  3x 2 , обращающуюся в ноль при х=0, однако y  x 3возрастает на всей числовой прямой.Следствие (необходимые условия экстремума). Если функцияy  f (x) непрерывна на (а;b), то точками локального экстремума могут бытьтолько такие точки х0 , в которых производная функции y  f (x) либо несуществует, либо обращается в 0.Теорема 24.2(М.Ролль) Пусть1) f ( x)  C a; b;2) f ( x)  D(a; b);3) f (a)  f (b)Тогда существует точка с (a;b) такая, что f ' (c) =0.114Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], онапринимает на этом отрезке наибольшее значение М и наименьшее значениеm.Если оказалось, что m=M, то это означает, что m=f(x)=M для всехx  [a;b], т.е.

функция y  f (x) - постоянная на [a;b]. Поэтому для всех х  (a;b)имеет место равенство f ' ( x) =0.Если же m  M, т.е. m<M, то хотя бы одно из этих значений функцияпринимает во внутренней точке [a;b].Действительно, по условию 3) значения f(a) и f(b) равны друг другу имогут оказаться равны не более, чем одному из чисел m, M.Пусть, например, М=f(c), где с (a;b). Так как М наибольшее значение.функции f(x) на всем отрезке [a;b], то оно будет наибольшим и для x  U (c) ,т.е. с – точка локального экстремума.По условию 2), в этой точке существует производная f ' (c) . По теоремеФерма, f ' (c) =0.Замечание:Все условия теоремы Ролля являются существенными. Это означает,что если не выполняется одно из них, а остальные два выполняются,заключение теоремы может оказаться неверным. x, если1) f ( x)  0, еслиx  [0;1),x 1Выполнены условия 2) и 3), не выполнено условие 1).

Для всех x  (0;1)имеем f ' ( x) =1.2) f(x)= x , x  [-1;1].115Не выполнено условие 2), условия 1),3) выполнены. На интервале (1;0): f ' ( x) =-1; на интервале (0;1): f ' ( x) =1. В точке x=0 производная несуществует, поэтому на (-1;1) нет такой точки, что f ' ( x) =03) f(x)=xВыполнены первые 2 условия, третье на отрезке [0;1] не выполнено.Всюду на (0;1) имеем f ' ( x) =1.Следствие теоремы 24.2: Пусть1) ( z ), ' ( z ),..., (n) ( z )  C[ x ; x];02) (n1) ( z )существуетдля любой z  ( x ; x);03) ( x )   ' ( x )  ...   (n) ( x )  0, ( x)  0.000Тогда существует точка   ( x ; x) такая, что  (n1) ( )  0 .0Доказательство.

Для функции  (z ) на отрезке [x0;x] выполненывсе условия теоремы Ролля, поэтому существует точка c  ( x ; x) такая, что10 ' (c )  0 .1Рассмотрим функцию  ' ( z ) на отрезке [x0;c1]. Для нее такжевыполнены все условия теоремы Ролля. Поэтому существует точка с2 ,c  ( x ; c ) , такая что  ' ' (c )  0 .20 12Аналогичными рассуждениями получаем, что существуют точкиcn  c ...  c  c такие, что n 12 1(k ) (c )  0, k  1,..., n. Наконец,kрассмотрим функцию  (n) ( z ) на отрезке [x0;cn]. она тоже удовлетворяет всемусловиям теоремы Ролля, т.к.

 (n1) ( z )  ( (n) ( z )) ' существует на (x0;  ),116значит и на (x0;cn). Поэтому, по теореме Ролля, существует точка   ( x ; c )0 nтакая, что  (n1) ( )  0 .Замечание:Геометрический смысл теоремы Ролля: при ее условиях есть хотя быодна точка с на интервале (а;b), касательная в которой параллельна оси x.117Билет 25. Теоремы Лагранжа, Коши. Критерий постоянствафункцииТеорема 25.1 (Лагранж) Пусть f(x) C[a, b], f(x) D(a, b).Тогда существует точка с (а, b) такая, что f(b)-f(a) = f′(c)(b-a).Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию F(x) = f(x) –f(a) -f (b)  f ( a )( x  a ) . F(x)  С[a, b], F(x)  D(a, b), так как F(x) отличается отbaf(x) лишь слагаемыми, совокупность которых представляет собой линейнуюфункцию от х, которая всюду непрерывна и дифференцируема.

При этомF′(x) = f′ (x) -f (b)  f ( a).ba(1)Вычислим F(a) = f(a) – f(a) f(b) – f(a) -f (b)  f ( a)(a – a) = 0. Аналогично, F(b) =baf (b)  f ( a)(b – a) = f(b) (a) – f(b) + f(a) = 0.baИтак, все условия теоремы Ролля верны для функции F(x).

Поэтомусуществует точка с  (а, b) такая, что F′(c) = 0. С учётом формулы (1),f′(c) -f (b)  f ( a)= 0,baчто равносильно доказываемому равенству f(b) – f(a) = f′(c)(b-a).Замечания:Доказанную теорему также называют теоремой о среднем значении, аполученную в ней формулу – формулой конечных приращений.Если a›b и f(x)  C[b, a], f(x)  D(b, a), то существует точка с  (b, a) такая,чтоf(a) – f(b) = f′(c)(b – a).118Но это равенство можно записать так:f(b) – f(a) = f′(c)(b – a).Это означает, что формула конечных приращений верна как в случаеa‹b, так и в случае a›b.Часто рассматривают точку х, приращение  х (причём, согласнопримечанию 2, возможно, что  х‹0) и функцию f ,непрерывную наотрезке, соединяющем точки х и х +  х и дифференцируемую хотя бына этом интервале.

Характеристики

Список файлов книги