В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (первый семестр) (1108903), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Полученоc , последовательность соответствующих значений f ( xnk ) должна стремиться к f (c) .Но f ( xnk )  nknkпротиворечие с предположением о неограниченности y  f ( x) на отрезке [a, b] .◄Замечание: Если функция y  f ( x) непрерывна на интервале ( a, b ) , то она можетбыть неограниченной на этом интервале. Например, функция f ( x)  1xна интервале(0,1) непрерывна. Однако для любого числа C  0 имеет место неравенство C  1  1 ,откуда 0  1(C  1) 1 и значение этой функции в точке x  1C 1равно C  1  C .82Следствие. Пусть функция y  f ( x) непрерывна на отрезке [a, b] . Тогдасуществуют точная верхняя грань M и точная нижняя грань m множества её значений наотрезке [a, b] .Достаточно применить к множеству значений функции y  f ( x) на отрезке [a, b]теорему о существовании точных граней ограниченного множества.◄Теорема 18.2 (Вейерштрасс).Пусть функция y  f ( x) непрерывна на отрезке [a, b] .

Тогдасуществуют такие точки c, d , принадлежащие этому отрезку,что f (c)  M , f (d )  m .Докажем часть утверждения теоремы, относящуюся к точной верхней грани Mмножества значений функции y  f ( x) на отрезке [a, b] . Остальная часть доказываетсяаналогично.Будем вести доказательство теоремы методом «от противного». Пусть для всехточек x отрезка [a, b] выполняется неравенство f ( x)  M . Тогда M  f ( x)  0 длявсех точек x отрезка [a, b] и функция y  1( M  f ( x))определена и непрерывна наотрезке [a, b] . По теореме 18.1 эта функция ограничена на отрезке [a, b] , следовательно,существует число C  0 такое, что для всех точек x отрезка [a, b] выполняютсянеравенства 0 1 C .

Но тогда для всех точек x из отрезка [a, b]M  f ( x)выполняется неравенство M  f ( x )  1меньшее, чем M , число M  1CC, или M  1C f ( x) . Это означает, чтоявляется верхней гранью множества значенийфункции y  f ( x) на отрезке [a, b] . Значит, M - не точная верхняя грань множествазначений функции y  f ( x) на отрезке [a, b] . ◄Замечание: Часто эту теорему формулируют так:Непрерывная на отрезке функция принимает свои наименьшееи наибольшее значения на этом отрезке.83Следствие.

Пусть функция y  f ( x) непрерывна на отрезке [a, b] . Тогда длялюбого числа , удовлетворяющего неравенствам m    M , существует точка [a, b] такая, что f ( )   .По доказанной теореме, существуют такие точки c, d , принадлежащие отрезку[a, b] , что f (c)  M , f (d )  m . Рассмотрим отрезок числовой оси, соединяющий этиточки. Пусть, для определённости, c  d . Тогда функция y  f ( x) непрерывна наотрезке [c, d ] . По следствию теоремы 16.1, для любогонеравенствам , m    M существует точка , удовлетворяющего [a, b] такая, что f ( )   .◄Замечание: Доказанные утверждения означают, что непрерывная на отрезкефункция принимает на нём все свои значения, от наименьшего до наибольшего.Разумеется, таким свойством могут обладать не только непрерывные функции.

Например,функция y  x,если 0  x  1, x  1,если  1  x  0принимает все значения от -1 до +1, однако имеетразрыв в точке x  0 .Отметим ещё одно важное следствие теоремы 18.2.Теорема 18.3. Пусть функция y  f ( x) непрерывна напромежутке X (конечном или бесконечном). Тогда множествоеё значений Y также представляет собой промежуток.Требуется доказать, что вместе с любыми двумя точками y1 , y2  Y любая точкаy, y1  y  y2 , также принадлежит Y .

Пусть y1  f ( x1 ) , y2  f ( x2 ) . Рассмотриммножество значений функции y  f ( x) на отрезке [ x1 , x2 ] ( [ x1 , x2 ]  X , т.к. X промежуток). Оно представляет собой отрезок, в котором содержится отрезок [ y1 , y2 ] .Таким образом, любое число y, y1  y  y2 является значением y  f ( x) для некоторогоx X .18.1. Обратная функция.Обратная функция – частный случай понятия обратного отображения (см.определение 3.9).

Если задана функция y  f ( x) , обладающая тем свойством, что любоесвоё значение y она принимает при единственном значении x , то это даёт возможностьрассматривать обратную функцию x  g ( y ) , такую, что равенства y  f ( x) и x  g ( y )84xравносильны . Примером служат функции y  e , x  ln y . Ясно, что обефункциональные зависимости, y  f ( x) и x  g ( y ) определяют одну и ту же кривую наплоскости. Часто рассматривают функцию y  g ( x ) ( и именно эту функцию называютобратной).

График такой функции получается из графика функции y  f ( x) отражениемотносительно биссектрисы первого координатного угла.Теорема 18.4. Пусть функция y  f ( x) возрастает(убывает) на промежутке X . Тогда на промежутке Y ,представляющем собой множество её значений (по теореме18.3), определена обратная функция x  g ( y ) , которая такжевозрастает(убывает) и непрерывна.Ограничимся случаем возрастания.

По определению множества значений функции,для любого y0  Y существует число x0  X такое, что y0  f ( x0 ) . Так как y  f ( x)возрастает на X , то для любого x  X , x  x0 выполняется неравенство f ( x)  f ( x0 ) , адля любого x  X , x  x0 выполняется неравенство f ( x)  f ( x0 ) . Поэтому любое своёзначение y0  Y функция y  f ( x) принимает ровно один раз, в точке x0  X , что ипозволяет определить функцию x  g ( y ) такую, что для любого y0  Y выполняетсяравенство x0  g ( y0 ) . Легко видеть, функция x  g ( y ) возрастает на Y .Действительно, как показано выше, для любого y0  Y значения y  y0 соответствуютзначениям x  x0 , а значения y  y0 соответствуют значениям x  x0 . Но это означает,что и обратно, для любого x0  X значения x  x0 соответствуют значениям y  y0 , азначения x  x0 соответствуют значениям y  y0 . Наконец, для доказательстванепрерывности x  g ( y ) на промежутке Y воспользуемся теоремой 15.3.

Действительно,функция x  g ( y ) возрастает на промежутке Y и её множество значений образуетпромежуток X .85Билет 19. Равномерная непрерывность.Определение 19.1. Пусть функция y  f ( x) определена на некотором множествеX  R . Функция y  f ( x) называется равномерно непрерывной на множествеX  R , если для любого числа   0 существует такое число   0 , что для всехx  X и a  X удовлетворяющих неравенству x  a   выполняется неравенствоf ( x)  f ( a )   .Замечание: Есть важное различие между понятиями равномерной непрерывностина множестве X  R и непрерывности на этом множестве. Из равномернойнепрерывности следует непрерывность, но не наоборот.

В определении равномернойнепрерывности содержится сильное требование о том, чтобы входящее в определение  0 зависело только от числа   0 . В обычном определении непрерывности намножестве ( определение 16.1) это число   0 зависит не только от числа   0 , но ещёчислои от точки a  X . Поэтому возможно, что общего значения числа  0 , одновременнопригодного для всех a  X , найти не удастся.

Однако если в качестве множества X  Rрассматривается отрезок числовой оси, то верна такая теорема.Теорема 19.1 (Кантор).Пусть функция y  f ( x) непрерывна на отрезке [a, b] . Тогдаона равномерно непрерывна на этом отрезке.Будем вести доказательство теоремы методом «от противного». Отсутствиеравномерной непрерывности означает, что существует числочисла  0 такое, что для любого  0 существуют точки c [a, b], x [a, b] , для которых выполнены неравенстваx  c   и f ( x )  f (c)   .

Зафиксируем это число   0 и будем последовательновыбирать число  0 равным числам 1, 1 2 ,..., 1 n ,... . При каждом таком выборе числа  0 существуют точки c1 , x1 , c2 , x2 ,..., cn , xn ,... такие, что для всех n  1,2,...выполнены неравенства xn  cn  1nи f ( xn )  f (cn )   . Последовательность точекcn   бесконечная и ограниченная. Поэтому, по теореме Больцано-Вейерштрасса, существует подпоследовательность cnk , имеющая предел, который будем обозначать86d . Далее, из неравенства xn  cn  1nпри n  nk получаем xnk  cnk  1nk1 ,kт.е.

cnk  1  xnk  cnk  1 . Поскольку lim c n  d , lim 1 k  0 , правая и левая частиk k kkэтих неравенств имеют одинаковые пределы, равные числу d . По теореме 9.3 из этогоследует, что lim x nk  d . Так как a  cnk  b , по теореме о предельном переходе вk неравенствах получаем: a  d  b , т.е. d  [a, b] и, следовательно, функция y  f ( x)непрерывна в этой точке.

По выбору точек xnk , cnk выполнено неравенствоf ( xnk )  f (cnk )   . Перейдём в этом неравенстве к пределу при k   . Ввидунепрерывности модуля и непрерывности функции y  f ( x) , получаемПолученное противоречие доказывает теорему.Замечание: Функция, непрерывная на интервале ( a, b ) , не обязательноравномерно непрерывна на нём. Пример: функция y  1 , непрерывная на интервалеx(0,1) , не равномерно непрерывна на этом интервале. Для доказательства выберем   1 идля любого 0    1 рассмотрим точки x  2  4  2  2 .2, c   . При этом x  c     , но4487Билет 20. Проиводная, её естественнонаучный смысл иосновные свойства.20.1.

Дифференцируемость функции.Пусть y  f ( x) определена в окрестности U ( x0 ) точки x0 .Определение 20.1. Числовую функцию f называютдифференцируемой в точке x0 , если для всех x  U ( x0 ) имеет месторавенствоf x   f x0  k x  x0   x x  x0 ,(1)где число k не зависит от x , а  x  0 при x  x0 и бесконечно малаяфункция  x  непрерывна в точке x0 , т.е.  x0   0  lim x .x x0Числовую функцию f называют дифференцируемой на множестве X ,если f дифференцируема в каждой точке x0  X .Пример 1.

Характеристики

Список файлов книги