В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (первый семестр) (1108903), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Линейная функция f x   kx  b дифференцируема на всейчисловой прямойДействительно, kx  b  kx0  b  k x  x0  0  x  x0 , k  k ,  x   0. Вчастности, постоянные k  0 и тождественная функция k  1, b  0дифференцируемы.Пример 2. Квадратичная функция f x   x 2 дифференцируема.Действительно, x 2  x0  x  x0 2  x02  2 x0 x  x0  x  x0 x  x0 ,k  2 x0 ,  x   x  x0 .Теорема 20.1. Функция f , дифференцируемая в точкеx0 ,непрерывна в этой точке.В силу формулы (1), f x0   limf x .xx0Пример функции x (чуть позже мы докажем, что эта функция недифференцируема в точке x  0 ), показывает, что утверждение, обратное88теореме 20. 1, неверно.20.2.

Производная.Пусть y  f ( x) определена в окрестности U ( x0 ) точки x0 .Поскольку на множестве U ( x0 ) определена функцияf x  f x0 и x0 x  x0предельная точка для U ( x0 ) , то можно ставить вопрос о существованиипредела разностного отношенияОпределение 20.2. Число limx  x0f x  f x0 в точке x0 .x  x0f x  f x0 (если оно существует)x  x0называют производной функции f в точке x0 и обозначают символом f x0 .Итак,f x0   limx x0f x  f x0 ,x  x0(2)при условии, что предел существует.Для обозначения производной также используется символdf ( x0 ).dxНапример, скорость прямолинейного движения есть производнаяперемещения как функции времени. Часто полезно, по аналогии с этим,трактовать и производную любой функции f в точке x0 как скоростьизменения функции в этой точке.

Пример- скорость химической реакции.Пример 1'. Линейная функция f x   kx  b имеет производную вкаждой точке, и ее производная kx  b   k - постоянная.Действительно,limx  x0f x  f x0 kx  b  kx0  b   lim k  k . limxxx  x00x  x0x  x0В частности, постоянная имеет всюду производную, равную нулю, атождественная функция - производную, равную единице.89Пример 2'. Квадратичная функция f x   x 2 имеет производную вкаждой точке, и ее производная равна x2   2 x .Действительно,f x  f x0 x 2  x02lim lim lim x  x0   2 x0 .x  x0x  x0 x  xx  x0x  x00Пример 3'. Модуль x не имеет производной в точке 0.Действительно, limx 0x0не существует, поскольку предел приx0x  0 этого отношения равен 1, а предел при x  0 равен -1 и,следовательно, предел при x  0 не существуетВ этом примере мы встретились с ситуацией, когда существуютlimx  x0  0f  x   f  x0 x  x0иlimx  x0  0f  x   f  x0 x  x0.

Эти величины называются, соответственно, ( x0 ) . Дляправой и левой производной и обозначаются f пр ( x0 ), f лев ( x0 )существования производной необходимо и достаточно, чтобы f пр ( x0 ), f левсуществовали и были равны друг другу.Теорема 20.2. Функция f , дифференцируемая в точкеx0 ,имеет в этой точке производную, и последняя равнакоэффициентуkв представлении функцииfпо формуле (1).Согласно определению 1, x0 -- предельная точка области определенияфункцииf x  f x0 f x  f x0 .

В силу формулы (1), k   x  для всех.x  x0x  x0x U ( x0 ) .Так как  x  0 при x  x0 , то на основании формулы (2)заключаем, что f x0  существует и равна k .Из единственности предела следует единственность коэффициента k вформуле (1). Теорема 20.2 показывает, что функция f , дифференцируемая вточке x0 , представима в видеf x   f x0  f x0  x  x0   x  x  x0 ,(3)90где  x  0 при x  x0 .На основании теоремы 20.2 утверждения примеров 1' - 2' являютсяследствиями соответствующих утверждений примеров 1-2.

Вместе с тем,пример 3’ показывает, что функция x не является дифференцируемой вточке 0.Теорема 20.3. Функция f , имеющая производную в точкеx0 ,дифференцируема в этой точке.f x  f x0 По условию, существует lim f x0 . Следовательно, поxx0x  x0теореме о представлении функции, имеющей предел в точке,f x  f x0  f x0   0 x ,x  x0(4)где и  0 x   0 при x  x0 . Положим x     0 x  для всех x U ( x0 ),при x  x0 .0Тогда также  x  0 при x  x0 и по формуле (4') для всех x U ( x0 )справедлива формула (3). Тем самым, f дифференцируема в точке x0 (скоэффициентом k  f x0 ).Таким образом, сказать, что числовая функция дифференцируема вданной точке, или что она имеет в этой точке производную, одно и то же.Нахождение производной функции f  у функции f называютдифференцированием этой функции.20.3. Касательная к графику функции.Как и нахождение скорости неравномерного движения, нахождение касательной к кривой линии - одна из основных задач, решение которых привело к созданию дифференциального исчисления.Рассмотрим частный случай задачи о касательной, когда линиейслужит график функции.91Определение 20.3.

Пусть числовая функция f определена наневырожденном промежуткеI и непрерывна в его точке x 0 (так чторасстояние MM 0 от соответствующей точки M 0 ( x 0 ; f ( x0 )) графика до еготочкиM ( x; f ( x)) , x  I , стремится к нулю при x  x 0к графику функции). Касательнойf в точке M 0называют такую прямую, проходящуючерезM 0 , что отношение расстоянияMNот точки M ( x; f ( x)) до этойпрямой к расстояниюM 0MотM 0 доMстремится к нулю при x  x 0 (т.е.чтоMNбесконечно мало по сравнению сM 0Mпри x  x 0 ).Суть этого определения можно наглядно описать следующим образом:если представить, что точка M движется по линии к точке касания M 0 , то,какова бы ни была точность наблюдения, с некоторого момента точка M ,будучи еще отличной от M 0 , уже неотличима от своей проекции N накасательную (рис.

14). Таким образом, кривая, обладающая в точке M 0 касательной, почти сливается с ней вблизи этой точки.Теорема 20.4. Если функция f , определенная напромежутке, дифференцируема в его точке x 0 , то график этойфункции имеет в соответствующей точке M 0 ( x 0 ; f ( x0 ))касательную, причем угловой коэффициент касательной равенf ( x0 ) .По условию и по теореме 20.2 предыдущего пункта, представление92f ( x )  f ( x0 )  f ( x )  ( x  x0 )   ( x )( x  x0 ) ,(5)справедливо для всех x , принадлежащихнекоторой окрестности U ( x0 ) точки x 0 , и ( x )  0 при x  x 0 .

Прямая с угловымкоэффициентом f ( x0 ) , проходящая через точкуM 0 , имеет уравнениеy  f ( x0 )  f ( x )  ( x  x0 ) .(6)Пусть M - точка графика с абсциссой x  x 0 и x  U ( x0 ) (рис. 15), N- проекция этой точки на прямую (6) и M  - точка этой прямой с абсциссойx . Тогда направленный отрезок M M равен f ( x)  y , так что, вычитая (6)из (5), получаем M M   ( x )( x  x0 ) .

Так как MN  M M , аM 0 M  x  x 0 , тоM MM MMN  ( x )  0 приM 0Mx  x0 . Но x  x0MN 0 при x  x 0 , т.е. (6) - уравнениеx  x 0 . Следовательно,M 0Mкасательной к графику функции f в его точке M 0 .Таким образом, нахождение углового коэффициента касательной(как и нахождение скорости) приводит к вычислению производной.Замечание: Секущая M 0 M имеет угловойf ( x )  f ( x0 )коэффициент(см. рис.

15). Таким образом теорема 1x  x0показывает, что угловой коэффициент касательной в точке M 0 естьпредел углового коэффициента секущей M 0 M при x  x 0 .9320.4. Правила дифференцирования.Дифференцирование линейной комбинации, произведения ичастного.Теорема 20.5 Пусть f имеет производную в точке x . Тогдадля любой постоянной c справедлива формула:(cf )  c  f (постоянный множитель можно вынести за знак производной).Приращение функции cf ( x ) в точке x равноcf ( x  x)  cf ( x )  c  f ( x  x)  f ( x) .

Поскольку существуетlimx 0f ( x  x)  f ( x ), существует иxlim cx 0f ( x  x )  f ( x)f ( x  x )  f ( x) c lim cf ( x) что и требовалосьx 0xxдоказать.Теорема 20.6. Пусть f и g имеют производные в точке x .Тогда существует производная суммы этих функций, причём f ( x)  g ( x)  f ( x )  g ( x) .Приращение функции f ( x)  g ( x) в точке x равно( f ( x  x)  g ( x  x))  ( f ( x)  g ( x))   f ( x  x)  f ( x )   g ( x  x)  g ( x) , поэтомуf ( x  x )  g ( x  x )  f ( x )  g ( x )f ( x  x )  f ( x ) limx 0x 0xxg ( x  x )  g ( x ) lim f ( x )  g ( x)x 0xlimНапомним, что линейной комбинацией функций f1 ,..., f n называютnвсякую функцию f , представимую в виде f ck 1ck - постоянные.k f k , где коэффициенты94Теорема 20.7 (Линейное свойство операциидифференцирования).Если функции f1 ,..., f n дифференцируемы в точке x , то всякаяnлинейная комбинация f   ck  f k этих функцийk 1дифференцируема в точке x , причем n n  ck  f k    ck  f k ( x) . k 1 k 1Теорема 20.8.

Характеристики

Список файлов книги