В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (первый семестр) (1108903), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Тогда доказанную формулу можно переписать ввиде f(x) = f(x +  x) – f(x) = f′(ξ)  x,(2)где ξ – точка, лежащая между х и х +  х. Так как для любой точки ξмежду х и х +  х существует число θ, 0‹ θ ‹1 такое, что ξ = x + θ  x, формулу(2) записывают также в виде  f(x) = f′( x + θ  x)  xСледствия теоремы ЛагранжаСледствие 1. (критерий постоянства функции на интервале). Функцияf(x), дифференцируемая на (a, b) (где (a, b) может быть и бесконечныминтервалом) является постоянной тогда и только тогда, когда f′(х) = 0 длявсех x  (a, b).Доказательство.

То, что производная постоянной функции равна 0уже доказано. Докажем теперь, что если производная функции, определённойна интервале, равна 0, то эта функция является постоянной.Для этого возьмём две произвольные точки x1, x2  (a,b), дляопределённости пусть x1‹ x2. Так как всюду на (a, b) существует производная,функция f(x) непрерывна на (a, b), следовательно, и на [x1, x2]  (a, b). Потеореме Лагранжа f(x2) – f(x1) = f′( ξ)(x2 – x1) = 0, так как f′( ξ) = 0 по условию.119Это означает, что значения функции y = f(x) в любых двух точках x1, x2  (a, b)одинаковые. Но это означает, что f(x) – постоянная.Замечания к следствию 1:Это следствие ещё называют основной леммой теории неопределённогоинтеграла.Если f′(х) = 0 для всех x  X, где X – объединение несколькихинтервалов, то f(x) принимает постоянное значение на каждом изинтервалов, своё для каждого интервала.Теорема 25.2 (Коши).

Пусть f(x),g(x)  C[a,b], f(x),g(x)  D(a,b), g ( )  0 для всех точек  [a, b] . Тогда существует точкас  (а, b) такая, чтоf (b)  f ( a) f (c).g (b)  g (a) g (c)Доказательство. Доказательство во многом подобно доказательствутеоремы Лагранжа. Рассмотрим вспомогательную функцию:F ( x)  f ( x)  f ( a ) g ( x )  g (a) f (b)  f (a) .g (b )  g ( a )Во-первых, эта функция существует, так какg (b)  g ( a )  g ( )(b  a )  0 по условию теоремы. Далее, она непрерывна наотрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b ) , причём её производнаяравна F ( x)  f ( x)  g ( x )f (b)  f (a). По теореме 23.2 (Ролля) существуетg (b)  g (a)c  (a, b) такая, что F (c )  0 , т.е. F (c)  f (c)  g (c )сразу следует заключение теоремы.Замечание.f (b)  f (a ) 0 , откудаg (b)  g (a)120Не стоит пытаться «упростить» доказательство теоремы Коши,применяя теорему Лагранжа отдельно к числителю и к знаменателю.

Дело втом, что хотя и для f ( x) существует некоторая точка, обозначим еёc f  (a, b) , такая, что f (b)  f (a)  f (c f )(b  a) , и для g ( x ) существуетнекоторая точка, обозначим её cg  (a, b) , такая, что g (b)  g (a)  g (cg )(b  a), мы не можем сразу утверждать, что эти точки совпадут, т.е.что c f  c g  c .Это равенство следует как раз из приведённого выше доказательства.121Билет 26. Формула Тейлора с остаточным членом в формеЛагранжаФормула Тейлора представляет собой один из основных инструментовматематического анализа. Её смысл состоит в том, что функция f ( x )представляется в виде f ( x )  Tn ( x )  Rn ( x ) , где Tn ( x ) – многочлен Тейлора,Rn ( x ) – остаточный член формулы Тейлора.

В зависимости от вида Rn ( x ) онаиспользуется в различных целях: при вычислениях значений функций сзаданной точностью, при исследовании асимптотического поведенияфункций и т.д.Теорема 26.1 (формула Тейлора с остаточным членом в формеЛагранжа) Пусть f x ,U ( x0 )точкиx  U ( x0 )x0f x ,…,f ( n) x непрерывны в окрестностии пусть в U ( x 0 ) существуетf ( n 1) x .существует точка  , лежащая междуf ( x )  f ( x0 )  f ( x0 )( x  x 0 ) иx0Тогда для любогоxтакая, чтоf ( x0 )f ( n ) ( x0 )f ( n 1) ( )2n( x  x0 )  ...( x  x0 ) ( x  x0 ) n12n!(n  1)!(1)Примечание.В этом представлении функции f ( x ) величинаf ( n1) ( )( x  x 0 ) n 1n!называется остаточным членом в форме Лагранжа.Можно выписать более общую форму Шлёмильха и Роша(Schlomilch–Roche) остаточного члена:f ( n ) x 0   ( x  x 0 ) Rn ( x ) (1   ) n 1 p ( x  x 0 ) n 1 ,n! p(2)где  – число, удовлетворяющее неравенствам 0    1 , такое, что  x0   ( x  x0 ) , а p  0 – любое число.

Например, остаточный член в формеЛагранжа получится, если p  n  1 в этой общей форме (2). Иногда бываетудобен остаточный член в форме Коши, получаемый из (2) при p  1 :122f ( n 1) x0   ( x  x0 ) (1   ) n ( x  x0 ) n1 .n!Rn ( x ) Однако наиболее часто используется остаточный член в формеЛагранжа и мы докажем формулу Тейлора именно в таком виде.Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию ( z )  f ( z )  f ( x 0 )  f ( x 0 )( z  x 0 ) f ( x0 )f ( n ) ( x0 )( z  x0 ) 2  ... ( z  x0 ) n  A( z  x0 ) n12n!(3)Поскольку эта функция  (z ) получится вычитанием из f (z )многочлена от z , а многочлен непрерывен и имеет непрерывныепроизводные любого порядка, для функции  (z ) сохраняются свойствафункции f (z ) , т.е.

 (z ) ,  (z ) , …,  n (z ) непрерывны в U ( x 0 ) и  ( n1) ( z )существует в U ( x 0 ) .Пусть x  U ( x0 ) . Для определённости, пусть x  x 0 . Выберем число Aтак, чтобы выполнялось равенство  ( x )  0 . Это возможно, поскольку приподстановке x вместо z в (3), это равенство примет вид линейногоотносительно уравнения с коэффициентом при A , равным ( x  x0 ) n 1  0 .Теперь для применения следствия Ролля осталось только доказать, чтовыполняются равенства ( x0 )   ( x0 )   ( x 0 )  ...   ( n ) ( x0 )  0 .Для этого сначала вычислим k -ю производную, k  1 , от функции( z  x 0 ) l в точке z  x 0 .По формуле для производной степенной функции последовательнополучаем:( z  x )   l ( z  x )l00l 1, ( z  x 0 ) l   l (l  1)( z  x 0 ) l  2 , … ,123( z  x ) l (k )0 l (l  1)...(l  k  1)  ( z  x 0 ) l k , если k  l .

В точке z  x0 этавеличина обращается в 0.Если k  l , то ( z  x0 ) l   l (l  1)...(l  l  1)  l! .(l )Если же k  l , то дальнейшее дифференцирование даст тождественныйноль. (Степень многочлена ( z  x 0 ) l равна l , т.е. он имеет видz l  al 1 z l 1  ...  a0 , k -кратное дифференцирование при k  l каждогослагаемого, входящего в этот многочлен, даёт тождественный ноль)Итак, все производные порядка k , k  l , функции ( z  x 0 ) l равны 0 вточке z  x 0 , а ( z  x 0 ) l   l! .(l )Равенство  ( x )  0 справедливо по выбору A . Для любого 1  k  n(l )имеем, согласно доказанному выше  ( x0 )  f(l )f ( l ) ( x0 )( x0 )  l!  0l!Все условия следствия теоремы 23.2 (Ролля ) выполнены, поэтомусуществует точка   [ x0 , x ] , такая, что  ( n1) ( )  0 .

Но ( n 1) ( z )  f ( n 1) ( z )  A  (n  1)! , значитA0  f ( n1) ( )  A(n  1)!,т.е.f ( n 1) ( )( n  1)!(4)Вспоминаем, что  ( x )  0 и подставляем x вместо z в формулу (3),учитывая (4):0  f ( x )  f ( x 0 )  f ( x0 )( x  x0 )  ... f ( n ) ( x0 )f ( n 1) ( )( x  x0 ) n ( x  x0 ) n1 , чтоn!(n  1)!означает:f ( x )  f ( x 0 )  f ( x 0 )( x  x 0 )  ... f( n)( x0 )f ( n1) ( )n( x  x0 ) ( x  x 0 ) n1 ,   [ x0 , x ] (5)n!(n  1)!124Случай, когда x  x0 вполне аналогичен и приводит к такому жеравенству (5).Замечания:Часто вместо  пишут x 0   ( x  x 0 ) , где 0    1 и наоборот, каждомутакому 0    1 соответствует число  между x 0 и x .Часто вместо точки x 0 пишут просто x , а вместо x пишут x  x иформула Тейлора приобретает вид:f ( x  x )  f ( x )  f ( x )x f ( x ) 2f (n) ( x)f ( n 1) ( x  x )x  ...( x ) n (x ) n 1 ,2n!(n  1)!(6)0  1В случае, когда x – независимая переменная, или линейная функция отнезависимой переменной,  x  dx , и dfОбозначимf (x  x)  f (x)  f (x) .(k )x  f(k )x xk .При этом формула Тейлора записываетсятак:f ( x ) df ( x ) d 2 f ( x)d n f ( x ) d n1 f ( x  x ) ...

2n!(n  1)!(7)Особенно часто формула Тейлора используется, когда x 0  0 . Тогдаx  x 0  x  x иf (0) f (0) f (0)d n f (0) d n1 f (x ) ... ( x ) n12n!(n  1)!Эту формулу часто называют также формулой Маклорена (MacLaurin).(8)125Билет 27. Формула Тейлора с остаточным членом в формеПеаноТеорема 27.1 (Формула Тейлора с остаточным членом вформе Пеано (G.Peano)). Пусть в окрестности U ( x0 ) точкисуществуют и непрерывнысуществует вU ( x0 )f ( x) ,… f ( n 1) ( x) . Пустьи непрерывна в точкеx0f (n ) ( x)x0Тогдаf ( n ) ( x0 ) nnf ( x0 )  f ( x0 )x  ... x  o((x) ) при x  0n!(1)Доказательство. Используем предыдущую теорему, в которой число nзаменим числом n  1 .

Тогда, где  – между x 0 иx.(2)При x  0 как x , так и заключённое между x 0 и x число  стремятся кx 0 . Ввиду непрерывности f(n )в точке x 0 , f ( n ) ( )  f ( n ) ( x0 )   ( x) , где  ( x )  0при x  x 0 , т.е. при x  0 .Подставляя в (2), получаем:,где  ( x )  0 при x  0 , откуда сразу следует заключение теоремы.Замечания:126Вместо формул (7) и (8) предыдущего параграфа имеем,соответственно, f ( x)  df ( x) d 2 f ( x)d n f ( x) ...  o((x)n ) при2n!x  0 . Иf(0)  f (0) f (0)d n f (0) ...  o( x n ), x  0.2n!Утверждение теоремы останется справедливым, если предположить,что в окрестности U ( x 0 ) точки x 0 существуют и непрерывны f ( x ) , …f ( n 1) ( x) и что существует f ( n ) ( x0 ) .На экзамене это доказывать не требуется, однако ниже приведенодоказательство этого утверждения – для тех, кому это интересно.Доказать его легче всего, используя правило Лопиталя (вопрос28).Теорема 27.2.

Характеристики

Список файлов книги