В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (первый семестр) (1108903), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

На экзаменеследует знать их формулировки.Правило Лопиталя позволяет доказать замечание, сделанное в конце 26вопроса.Теорема 29.5+27.2. Пусть в окрестности U ( x 0 ) точки x 0 существуют инепрерывны f ( x ) , … f ( n 1) ( x) и пусть существует f ( n ) ( x0 ) . Тогдаf ( n ) ( x0 ) nnf ( x0 )  f ( x0 )x  ... x  o((x) ) при x  0 .n!137Доказательство. Обозначимf ( n ) ( x0 ) nTn ( x)  f ( x0 )x  ... x , x  x  x0 , Rn ( x )  f ( x )  Tn ( x ) иn!рассмотрим отношение  ( x) Rn ( x). По правилу Лопиталя( теореме 28.1),( x  x0 )nприменённому n  1 раз, имеемRn ( x)Rn ( x)Rn ( n 1) ( x ) 1f ( n1) ( x )  Tn( n1) ( x)lim lim ...

 lim limx  x0 ( x  x ) nx x0 n( x  x ) n 1x x0 n!( x  x )n! x x0( x  x0 ) n000.Из определения Tn ( x ) следует, что Tn( n1) ( x )  f (n 1) ( x0 )  f ( n ) ( x0 )( x  x0 ).Поэтомуlim  ( x )  limx  x0x  x0Rn( n1) ( x)n ( n 1)( x  x ) 0 f ( n 1) ( x)  f ( n1) ( x0 )1 lim  f ( n 1) ( x0 )  n ! x x0 x  x01 (n)f ( x0 )  f ( n ) ( x0 )  0 .Это означает, чтоn!Rn ( x)  f ( x)  Tn ( x) =  ( x )( x ) n  o ( x) n , x  0 , что и требовалосьдоказать.138Билет 30. Монотонность функции. Достаточные условияэкстремума функцииНапомним основные определения 10.1’.Определение 30.1 Функция f x , определенная на промежутке X , возрастаетна этом промежутке, если для любых x1 , x2  X , x1  x2 имеет место неравенствоf x1   f x2 .Функция f x , определенная на промежутке X , не убывает на X , если длялюбых x1 , x2  X , x1  x2 имеет место неравенство f x1   f x2 .Функция f x , определенная на промежутке X , убывает на X , если для любыхx1 , x2  X , x1  x2 имеет место неравенство f x1   f x2 .Функция f x , определенная на промежутке X , не возрастает на X , если длялюбых x1 , x2  X , x1  x2 имеет место неравенство f x1   f x2 .Общее название рассмотренных функций - монотонные функции.Ясно, что если функция возрастает на X , то она, тем более, не убывает на X (ноне наоборот).

Аналогичное замечание справедливо для убывающей функции.Общее название возрастающих, убывающих функций – строго монотонныефункции.Теорема 30.1. Пусть функция f x  дифференцируема наинтервале a, b. Она не убывает (не возрастает) на a, b тогда итолько тогда, когда для всехx  a, b выполняется неравенствоf x   0 .Доказательство. Пусть f x  не убывает на a, b  (случай невозрастаниярассматривается аналогично). Тогда рассмотрим произвольную точку x  a, b  и139приращения x такие, что x  x  a, b . Если x  0 , то f x  x  f x   0 иf x  x  f x  0.xЕсли x  0 , то f x  x  f x   0 , но все равноlimx0f x  x  f x  0 . Пределxf x  x   f x существует и равен f x . По теореме 9.1 этот предел  0 .xОбратно пусть для всех x  a, b  выполняется неравенство f x   0 . Пустьx1 , x2  a, b , x1  x2 . К отрезку [ x1, x 2 ] можно применить теорему Лагранжа.Действительно, т.к.

f x  дифференцируема на a, b , то она непрерывна на a, b , а,значит, и на x1 , x2  a, b . Также по условию она дифференцируема на x1 , x 2   a, b .Следовательно, f x2  f x1   f  x2  x1   0 .Теорема 30.1 допускает уточнениеТеорема 30.2. Пусть f x  дифференцируема на a, b и для всехx  a, b выполняется неравенствоf x   0 .Тогда f x  возрастает наa, b.Доказательство.

Как и в предыдущей теореме, получаем, что для любыхx1 , x2  a, b , x1  x2 , имеет место неравенствоf x2  f x1   f  x2  x1   0 .Замечание:Утверждать, что если функция возрастает, то для всех x  a, b выполняетсянеравенство f x   0 нельзя. Пример функции f x   x 3 показывает, что хотя этафункция возрастает на всей прямой, есть точка x  0 , в которой ее производная равна 0.Таким образом, даже возрастание функции f x  гарантирует, по теореме 30.1,лишь нестрогое неравенство f x   0 .140В теореме 24.1 установлено необходимое условие экстремума: Если функция fимеет производную f  в точке экстремума x , то f x   0 .Как показывает пример из предыдущего замечания, f x   x 3 , это условие неявляется достаточным.Теорема 30.3.

Пусть функция f x  непрерывна в некоторойокрестности U  ( x0 ) и пусть f  x   0 для всех x  x0   , x0  иf  x   0 для всех x  x0 , x0   . Тогдаx0- точки минимума. Если жеf  x   0 для всех x  x0   , x0  и f  x   0 для всех x  x0 , x0   , тоx0- точка максимума.Доказательство. Проведём доказательство для точки минимума. Пустьx1  U ( x0 ) , и x1  x0 .Если x1  x 0 , то применим теорему Лагранжа к отрезку x1 , x 0 :f x0  f x1   f  x 0  x1   0 .Если x1  x0 , то применим теорему Лагранжа к отрезку x 0 , x1 :f x0  f x1   f  x 0  x1   0 ,Поэтому f x0  f x1   0 .

Таким образом, x 0 - точка минимума.Теорема 30.4. Пусть f x , f x  C U x0 ,иf x  C x0 .Тогда еслиПустьf x 0   0 ,x0такова, чтотоx0f x существует в U x0 f ( x0 )  0 , f ( x 0 )  0- точка максимума, еслиf x 0   0 ,тоx0точка минимума.Доказательство. Условия теоремы дают возможность применить формулуТейлора с остаточным членом в форме Пеано, т.е. теорему 26.1, согласно которой, сучётом равенства f  x0   0 , имеем:-141f x0  x  f x 0   f x0 x f x0  2f x 0  2x   x  x 2 x   x  x 2 ,22где  x   0 при x  0 .Пусть  f ( x0 )4. Так как  x   0 при x  0 , существует   0 такое, чтодля любых x : x   выполняется неравенство  x    Это означает, что модуль второго слагаемого в суммепревосходит половины модуля первого слагаемого, т.е.суммы совпадает со знакомf x0 4.f x 0  2x   x x 2 не2f x0  2x , поэтому знак этой2f x0  2x .

Но знак этой величины совпадает со знаком22f x 0  как при x  0 , так и при x  0 , так как (x)  0 . Следовательно, приращениеf x 0  x  f x0  не меняет знак в окрестности точки x 0 , и знак его совпадает со знакомf x 0 . Это и означает, что если f x 0   0 , то x 0 - точка максимума, а если f x 0   0 ,то x 0 - точка минимума.Ещё более тонкий достаточный признак экстремума содержится в следующейтеореме.Теорема 30.5. Пусть f x , f x ,..., f ( n1) x  C U x0 ,существует в U x0  иf x 0   ...

 fточкеfnx0n 1x 0   0 , аfn x  C x0 . Пусть точкаf n  x 0   0 .x0f n  x такова, чтоТогда если n – чётное число, то весть экстремум, минимум при f n  x0   0 , максимум приx0   0 .Если же n – нечётное число, то в точке x 0 экстремума нет.142Доказательство. Аналогично предыдущей теореме, получаем равенствоf x0  x  f x 0  f n x 0  nx   x x n , где  x   0 при x  0 , из которогоn!точно так же следует, что знак приращения f x 0  x  f x0  совпадает со знакомf n  x 0  nx при условии x   .n!Если n – чётное число, то, как и в предыдущей теореме, x n  0 как для x  0 , таки для x  0 , поэтому знак приращения совпадает со знаком fn x0  и заключениетеоремы становится очевидным.Если же n – нечётное число, то величина x n положительна при x  0 иотрицательна при x  0 , поэтому приращение f x 0  x  f x0  меняет свой знак впроизвольной окрестности точки x 0 , следовательно, в точке x 0 нет экстремума.143Билет 31.

Выпуклость графика функцииПусть f x  D a, b  . Тогда в каждой точке её графика есть касательная,уравнение которой: y  f x0   f  x0  x  x0  .Определение 31.1. Функция f x  называется выпуклой вниз на (a,b), еслиx0 , x  (a, b) f (x)  f (x0 )  f ( x0 )( x  x0 )  0 (т.е. точка графика x, f ( x)  лежит надкасательной к этому графику в любой точкеx , f x , x  a, b .000Выпуклость вверх определяется условием f x   f x0   f  x0 x  x0   0 .Теорема 31.1 Если производная f  x  - возрастающая на a, b  функция, тоf x  - выпукла вниз на a, b .► f x   f x0   f   x  x0  , где  лежит между x0 и x , по теореме Лагранжавсе условия которой, разумеется, выполнены. Пусть x0    x .

Тогдаx  x0   0 иf     f ( x0 ) , поэтомуf x   f x0   f  x0 x  x0    f     f  x0 x  x0   0 .Если же x    x0 , то x  x0   0, f     f  x0  и сноваf x   f x0   f  x0 x  x0    f     f  x0 x  x0   0 ◄Аналогично доказывается, что если f  x  убывает на a, b , то график f x  выпуклая вверх функция.Если f x  имеет вторую производную на a, b , то из теоремы 1 следует:если f  x   0 на a, b , то график функции выпуклый вниз, если f  x   0 - товверх.

Характеристики

Список файлов книги