В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (первый семестр) (1108903), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Если функции f1 и f 2 дифференцируемы вточке x , то их произведение f1 f 2 дифференцируемо в точке x ,причем f1 ( x) f 2 ( x)  f1 ( x ) f 2 ( x)  f1 ( x ) f 2 ( x).Приращение произведения f1 f 2 равноf1 ( x  x ) f 2 ( x  x)  f1 ( x) f 2 ( x ) f1 ( x  x ) f 2 ( x  x)  f1 ( x) f 2 ( x  x )xxf ( x) f 2 ( x  x )  f1 ( x ) f 2 ( x)  f1 ( x  x )  f1 ( x)  f 2 ( x  x ) f1 ( x)  f 2 ( x  x)  f 2 ( x)  1xxxПри x  0 выполняются соотношения f1 ( x  x)  f1 ( x)  xf1( x ), f 2 ( x  x) f 2 ( x) x f2( x ), f 2 ( x  x )  f 2 ( x),откуда получаем утверждение теоремы.Теорема 20.9. Если функции f1 и f 2 дифференцируемы вточке x , и f 2 ( x)  0 то их частное f1 ( x) f ( x) дифференцируемо в2точке x , причем f1 ( x)  f1 ( x) f 2 ( x )  f1 ( x ) f 2 ( x ) .f 2 ( x) f 2 2 ( x)95Сначала докажем леммуЛемма 20.1. Если функция f 2 дифференцируема в точке x , и f 2 ( x)  0то функция 1f 2 ( x)дифференцируема в точке x , причем 1   f 2 ( x) . f ( x)  2 f 22 ( x)Приращение имеет вид:f ( x  x )  f 2 ( x )11 2f 2 ( x  x ) f 2 ( x)f 2 ( x  x ) f 2 ( x )Функция 1f 2 ( x  x )определена в окрестности точки x и ограничена .Следовательно,f ( x  x )  f 2 ( x )f ( x)1 11 .  lim 2  22x 0 xx  0 f ( x  x ) f ( x ) xf(xx)f(x)f(x) 22222limТеорема 20.9 сразу следует из теоремы 20.8 и леммы 20.1.Производные элементарных функций( рассказывать в билетенеобязательно, но, разумеется, их нужно знать и уметь выводить!Обязательно спросим!)96Билет 21.

Производные элементарных функций, обратнойфункции, сложной функции, параметрически заданнойфункции.Производная степенной функции y  x  , где  − любое вещественное число.Область определения этой функции зависит от  . Имеем (при x  0 ) x 1  1y ( x  x)  xx  1 .x xxxxЕсли воспользоваться пределом, вычисленным в теореме 15.4, то получимy x  1 .x 0 xy   limВ частностиесли y 11 x 1 , то y   ( 1) x  2   2xx1если y  x  x 2 , то y  11 21x .22 xПроизводная показательной функции y  a x ` ( a  0 ,    x   ).Здесьy a x  x  a xa x  1 ax .xxxВоспользовавшись пределом, вычисленным в теореме 15.4, найдём:y   limx  0y a x  ln a .xВ частности,если y  e x , то и y   e x .Итак, скорость возрастания показательной функции ( при a  1 ) пропорциональназначению самой функции: чем большего значения функция уже достигла, тем быстрее вэтот момент она растёт.

Это даёт точную характеристику роста показательной функции, окоторой мы имели уже случай говорить.Производная логарифмической функции y  log a x ( 0  a  1 , 0  x   ).В этом случае97 x log a 1 y log a ( x  x)  log a x 1x  .xxxxxВоспользуемся пределом, вычисленным в теореме 15.4:y log a e.x  0  xxy   limВ частности, для натурального л о г а р и ф м а получается исключительно простойрезультат:при y  ln x имеем y  1.xЭто даёт (хотя, по существу, и не новое) основание для предпочтения, котороеоказывается натуральным логарифмам при теоретических исследованиях.Производные тригонометрических функций.Пусть y  sin x , тогдаy sin( x  x)  sin xxxx2  cos( x  x ) .x22sinsin x 1,x 0xПользуясь непрерывностью функции cos x и известным пределом limполучимy cos x .x  0  xy   limАналогично найдём:если y  cos x , то y    sin x .В случае y  tg x применима теорема 19.9 , согласно которой1 sin x  cos x  cos x  ( sin x )sin x 2cos xcos 2 x cos x Аналогично,если y  ctg x , то y   1.sin 2 xПроизводная обратной функции.Прежде чем заняться вычислением производных от обратных тригонометрическихфункций, докажем следующую общую теорему.98Теорема 21.1.

Пусть 1) функцияf (x )возрастает(илиубывает) и непрерывна на некотором промежутке; 2) в точкеx 0 этогопромежутка имеет к о н е ч н у ю и о т л и ч н у ю о тн у л я производнуюf ( x 0 ) .Тогда для обратной функциисоответствующей точкепроизводная, равнаяy 0  f ( x0 )g ( y)втакже существует1.f x 0 Придадим значению y  y 0 произвольное приращение y , тогда соответственноеприращение x получит и функция x  g ( y ) . Заметим, что при y  0 , ввидуоднозначности самой функции y  f (x) , и x  0 . Имеемx1 .yyxЕсли теперь y  0 по любому закону, то − в силу непрерывности функцииx  g ( y ) − и приращение x  0 . Но тогда знаменатель правой части написанногоравенства стремится к пределу f ( x 0 )  0 , следовательно, существует предел для левойчасти, равный обратной величине1; он и представляет собой производную g ( y 0 ) .f x 0 Итак, имеем простую формулу:x 1.yЛегко выяснить её г е о м е т р и ч е с к и й с м ы с л .

Мы знаем, что производная y xесть тангенс угла  , образованный касательной к графику функции y  f (x) с осью x .Но обратная функция x  g ( y ) имеет, лишь независимая переменная для неёоткладывается по оси y . Поэтому производная x y равна тангенсу угла β, составленноготой же касательной с осью y (рис.)Таким образом, выведенная формуласводится к известному соотношениюtg  1,tg x99связывающему тангенсы двух углов α и β, сумма которых равна.2Положим для примера y  a x .

Обратной для неё функцией будет x  log a y . Таккак y x  a x  ln a , то по нашей формуле,x log a e11 x,y  a  ln ayв согласии с 3.Переходя теперь к вычислению производных от обратных тригонометрическихфункций, мы для удобства обменяем ролями переменные x и y, переписав доказаннуюформулу в видеy 1.xОбратные тригонометрические функции.Рассмотрим функцию y  arcsin x (  1  x  1 ), причем  y  . Она является22обратной для функции x  sin y , имеющей для указанных значений y положительнуюпроизводную x0  cos y .

В таком случае существует также производная y x и равна, понашей формуле,y x 1111;x  cos x1  sin 2 y1 x2корень мы берем со знаком плюс, так как cos y  0 .Мы исключили значения x  1 , ибо для соответствующих значений y  2производная x y  cos y  0 .Функция y  arctg x (    x   ) служит обратной для функций x  tgy. Понашей формулеy x 1111.22xy sec y 1  tg y 1  x 2Аналогично можно получить:для y  arccos x y  для y  arcctg x y   11 x2( 1  x  1 )1(    x   ).1 x2Производная сложной функции.100Теорема 21.2 (Теорема о производной сложной функции).Пусть функцияy  y (x )определена в окрестности точкии имеет в этой точке производную y x0 . Пусть функцияопределена в окрестностиy0и имеет в точкеy0x0z  z y производнуюz y 0 Тогда сложная функция Z x  zy(x)  имеет производную,равнуюZ x 0   z ( y 0 )  y ( x 0 ) .Придадим x 0 приращение x такое, что соответствующее значениеy x 0  x  принадлежит окрестности точки y 0 , в которой определена функцияz y .

Так как z y , по условию, дифференцируема в точке y 0 ,z ( y0  y )  z ( y 0 )  z ( y0 )y   (y )  y , где  ( y )  0 при y  0 и  (0)  0 .Так как y (x) дифференцируема в точке x 0 ,y  y ( x 0  x)  y ( x 0 )  y ( x 0 )x   (x)x ,где  ( x)  0 x  0 . Какустановлено в теореме 20.10, если x  0 , то и y  0 .ПоэтомуZ x0  x  Z x0   z ( y 0  y )  z ( y 0 )  z ( y0 )y   (y )  y  z ( y0 )y ( x0 )x   (x )  x   (y )y ( x 0 )x   (x )  x   z ( y0 )  y ( x0 )  x  xz ( y0 )  x   (y )   (x ).Так как при x  0 и y  0 ,  (x) ,  (y ) − бесконечно малые, из этогоравенства следует, чтоZ ( x 0  x )  Z ( x 0 ) lim z ( y 0 )  y ( x0 )  z ( y 0 )   (x)   (y )  y ( x 0 )   (y )   (x ) x  0x 0x z ( y 0 )  y ( x0 ),limчто и требовалось доказать.Производная функции, заданной параметрически.Рассмотрим уравнение y  y (t ) x  x (t )(1)101Где x(t ) , y (t ) − дифференцируемые функции на некотором промежуткеT ; пусть, кроме того, функция x(t ) строго возрастает (или убывает) на T и нив одной точке этого промежутка xt не равна 0.Символ xt использован здесь для обозначения производной функции xt попеременной t .

Существует обратная функция t  t (x) , причем ее производная, по теореме20.2, равнаt x 1xt( 2)Но тогда уравнения задают Y ( x )  y (t ( x)) , и производная этой функцииY ( x )  y t  t x , по теореме 20.2 о производной сложной функции. Используя равенство (2),окончательно получаем:Y ( x) y txt(3)Часто вместо равенства (3) записывают равносильное ему равенствоdy dy / dtdx dx / dtБывает также, что производные по параметру t обозначают так: xt  x , y t  y .Тогда формула (3) принимает вид: y ( x) yx.102Билет 22. Дифференциал.

инвариантность формы первогодифференциала22.1. Понятие дифференциала числовой функцииОпределение 21.1. Если числовая функция f дифференцируема вточке x , то ее дифференциалом df ( x ) в этой точке называют однороднуюлинейную функцию f ( x) h (новой) независимой переменной h .Таким образом,df ( x ) = f ( x) h(1)Положив в формуле (1) f ( x )  x , получимdx  1  h  h, h R(2)так что дифференциал dx функции f ( x )  x в каждой точке x естьтождественная функция.

Характеристики

Список файлов книги