В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (первый семестр) (1108903), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Эти свойства сразу следуют из того, чтопроизведение бесконечно малой величины на ограниченную есть беконечномалая величина.Символы o , O удобны при вычислении пределов.ax 1(1  x )   1ln(1  x ), lim, lim,x 0x 0x 0xxxПерейдём к вычислению пределов limкоторые далее будут использованы при вычислении производных. Вновьподчеркнём, что при ответе на этот билет при их вычислении нельзя пользоваться правилами Лопиталя илиформулой Тейлора. Разумеется, они дадут верный ответ, но их применение требует знания производныхфункций, стоящих в числителях этих дробей. А для вычисления этих производных, как отмечено выше,требуется знать эти самые пределы.

Поэтому получится не доказательство, а порочный логический круг.Для строгого изложения материала потребуется теорема о пределесложной функции.Теорема 16.4. Пусть f (x ) определена в проколотой окрестноститочки a, lim f ( x)  b . Пусть g ( y ) определена в проколотой окрестности точки bx aи limg ( y)  c .y bПусть, кроме того, выполняется хотя бы одно из двух условий:1. g ( y ) непрерывна в точке y0 ;2. Существует такая U (a ) , что  x  U (a ) f ( x)  b .Тогда существует lim g ( f ( x)) и этот предел равен с.x aДоказательство похоже на доказательство теоремы о непрерывностисложной функции, но несколько сложнее.76То, что lim g ( y )  c означает, чтоy b   0   0  y : 0  y  b  g ( y)  c   .То, что lim f ( x)  b означает, чтоx a  0    0  x : 0  x  a  f ( x)  b   .Если потребовать, чтобы в некоторой проколотой U (a ) окрестноститочки a f ( x)  b , то тогда можно по произвольному   0 найти сначалачисло   0 такое, что если 0  y  b   , то g ( y )  c   .

Теперь по этому находим   0 так, чтобы из 0  x  a   следовало неравенство f ( x)  b   .Пересекаем проколотые окрестности U (a ) и U  (a ) . Это пересечениесодержит некоторую проколотую окрестность точки a, и, если x принадлежитэтой окрестности, то f ( x)  b и f ( x)  b   , т.е.

0  f ( x)  b   , следовательно,g ( f ( x))  c   . В этом случае теорема доказана. Если же g ( y )  C (b) , то   0   0  y : y  b  g ( y )  c   , поэтому выбирая по   0соответствующее   0 , а потом по этому  – соответствующее число   0получаем, что как только 0  x  a   , так f ( x)  b   и, значит,g ( f ( x))  c   .Примечание 1: Обычно при вычислении пределов на практическихзанятиях мы используем монотонные замены переменной и условие 2выполняется. Первое условие будет использовано ниже, при вычислениипределов из названия билета.Примечание 2: Если не выполняется ни одно из условий, то может оказаться, что пределlim g ( f ( x)) не существует, либо существует, но не равен с.x aПервая ситуации встречается в таком примере:pp1/ q, если x  , где  несократимая дробь,qqf ( x)  0, если x - иррациональное число;771, если y  0,g ( y)  0, если y  0.При стремлении x к 0 функция f (x ) имеет пределом число 0.

При стремлении y к 0функция g ( y ) имеет предел, равный 1.Однако функция 1, если x - рациональное число,g ( f ( x))  0, если x  иррациональное число,не имеетпредела при x  0 .1, если x  0,f ( x)  0, если x  0.Пример второй ситуации более простой. ПустьОчевидно,1, если y  0,. Тогда lim g ( y )  1 . Однакоy 00,еслиy0.lim f ( x)  0 . Пусть g ( y )  x0 g (0)  0, если x  0,g ( f ( x))   g (1)  1, если x  0.Теорема 16.5.Поэтому lim g ( f ( x))  0 .x0ax 1(1  x )   1ln(1  x )lim=1, lim= ln a , lim= .x 0x 0x 0xxxДоказательство.11. В теореме 10.2 отмечено, что lim(1  x ) x  e .

Рассмотрим левую частьx01этого равенства и преобразуем её так: limexx 0ln( 1 x ). По непрерывностипоказательной функции и теореме 16.4 пункт 1 получаем: e1lim ln( 1 x )x 0 x e , т. е.ln(1  x )1x 0xlim2. Далее рассмотрим предел limx 0ex  1и сделаем в нём заменуxпеременной x  ln(1  t ) (это – монотонная замена и теорема о пределесложной функции будет верна). При x  0 и t  0 , и наоборот, при t  0также x  0 .Поэтому limt 0e ln(1t )  11  t 1t lim lim 1 , по доказанному выше.t 0 ln(1  t )t  0 ln(1  t )ln(1  t )78ax 1e x ln a  1(e x ln a  1) ln aимеем lim lim ln ax 0x 0x 0xxx ln aДля lim(1  x )   13.

Рассмотрим lim. Обозначим (1  x )   1  y , т. е.x 0x(1  x )   y  1 . Тогда ln(1  x )   ln( y  1) ,  ln(1  x )  ln( y  1) и при x  0переменная y  0 , и наоборот, при y  0 переменная x  0 .yxy ln(1  y ). Это преобразование законное,x ln(1  y ) lim Наш предел примет вид xlim, y 0x , y 0т. к. при x  0 и y  0 , поэтому ln( y  1)  0 . Далее используем доказанное впервом пункте равенство. Таким образом, искомый предел равен ln(1  x )y lim .x 0y 0 ln(1  y )xlimЗапишем найденные предельные соотношения с помощью символа o .ln(1  x )ln(1  x ) 1 означает, что 1   ( x ) ,  ( x )  0 при x  0 или,x 0xxlimln(1  x )  x   ( x )  x  x  o( x ) , x  0 .ax 1Равенство lim ln a означает, что a x  1  x ln a  o( x ) , x  0 .x 0xАналогично, (1  x)   1  x  o( x ) , x  0 .(Кстати, limx0sin 1 означает, что sin x  x  o( x ) при x  0 ).x79Билет 17.

Промежуточные значения непрерывной на отрезкефункции.Определение 17.1. Пусть функция y  f ( x) определена на некотором множествеX  R . Если она непрерывна в каждой точке этого множества, то говорят, что онанепрерывна на множестве X  R .Иными словами, функция y  f ( x) непрерывна намножестве X  R , если для любого числачисло  0 и любого a  X существует такое  0 , что для всех x  X , удовлетворяющих неравенствуx  a   выполняется неравенство f ( x)  f (a)   .Теорема 17.1 (Больцано, Коши).Пусть функция y  f ( x) непрерывна на отрезке [a, b] ипринимает на его концах значения разных знаков. Тогдасуществует хотя бы одна точка c  (a, b) такая, что f (c)  0 .Пусть, для определённости, f ( a )  0, f (b)  0 . Обозначим a1  a, b1  b ирассмотрим точку(a1  b1 )2 c1 .

Если оказалось, что f (c1 )  0 , то теорема верна приc  c1 . Если же f ( c1 )  0 , то либо f (c1 )  0 и в этом случае положим a2  a1 , b2  c1 ,либо f ( c1 )  0 и в этом случае положим a2  c1 , b2  b1 . В обоих случаях полученотрезок [ a2 , b2 ] , длина которого равна половине длины отрезка [ a1 , b1 ] и на концахкоторого функция y  f ( x) принимает значения разных знаков.Разделим этот отрезок пополам точкой(a2  b2 )2 c2 .

Если f (c2 )  0 , тотеорема верна при c  c2 . Если же f (c2 )  0 , то либо f (c2 )  0 и в этом случаеположим a3  a2 , b3  c2 , либо f (c2 )  0 и в этом случае положим a3  c2 , b3  b2 .Снова обоих случаях получен отрезок [ a3 , b3 ] , длина которого равна половине длиныотрезка [ a2 , b2 ] и на концах которого функция y  f ( x) принимает значения разныхзнаков.Продолжим процесс деления отрезков пополам. При этом возникают двевозможности.

Либо на каком- то шаге получаем, для(an  bn )2 cn , и f (cn )  0 .Тогда теорема справедлива. Либо для всех n выполняются неравенства80f ( an )  0, f (bn )  0 . Тогда получается бесконечная система стягивающихся отрезков.Действительно, по построению каждый следующий отрезок вложен в предыдущий, адлина отрезка [ an , bn ] , равная(b  a )2n, стремится к нулю при n   . Эти отрезкиимеют общую точку, которую будем обозначать c . Докажем, что f (c)  0 .Действительно, с одной стороны, c  lim an , поэтому, по теореме о предельномnпереходе в неравенствах, f (c )  f lim an  lim f ( an )  0 , так как функция f ( x) поn n условию непрерывна на отрезке [a, b] и f ( an )  0 .

С другой стороны,f (c)  f lim bn  lim f (bn )  0 , так как f (bn )  0 . Полученные неравенстваn n доказывают, что f (c)  0 .Следствие. Пусть функция y  f ( x) непрерывна на отрезке [a, b] ,f (a )  A, f (b)  B и пусть A  B ( A  B ). Тогда для любого числа C ,удовлетворяющего неравенствам A  C  B ( A  C  B ), существует точка c  ( a, b)такая, что f (c)  C .Рассмотрим функцию F ( x)  f ( x)  C . Она непрерывна на отрезке [a, b] какразность непрерывной по условию функции y  f ( x) и постоянной функции.F (a )  f (a )  C  A  C  0, F (b)  f (b)  C  B  C  0 , поэтому существует точкаc  (a, b) такая, что F (c )  0 , т.е. f (c)  C .81Билет 18.

Ограниченность непрерывной на отрезке функции.Теорема 18.1(Вейерштрасс).Пусть функция y  f ( x) непрерывна на отрезке [a, b] . Тогдаона ограничена на этом отрезке.Будем вести доказательство теоремы методом «от противного». Предположим, чтоy  f ( x) не ограничена на отрезке [a, b] . Это означает, что для любого числа C  0существует точка x  [a, b] такая, что f ( x)  C .

Последовательно выбирая числоC  0 равным числам 1,2,..., n,... , находим соответствующие точки x1 , x2 ,..., xn ,...такие, что f ( xn )  n . Эти точки образуют бесконечную последовательность, а так каквсе они принадлежат отрезку [a, b] , т.е. a  xn  b , эта последовательность являетсяограниченной. Применяем теорему Больцано-Вейерштрасса для последовательностей,согласно которой существует подпоследовательность ( xnk ) последовательности ( xn ) ,сходящаяся к некоторому пределу, который будем обозначать c . Так как a  xnk  b , потеореме о предельном переходе в неравенствах получаем: a  c  b , т.е. c  [a, b] и,следовательно, функция y  f ( x) непрерывна в этой точке. Но это означает, что для любой последовательности, в частности, и для последовательности xnk , стремящейся к k , поэтому последовательность  f ( x )  стремится к  .

Характеристики

Список файлов книги