В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (первый семестр) (1108903), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Положим  2  min( , an1  A ) . Существует n2 такое,21что an2  A   2 . Точка a n  a n , т.к.  2  a n  A , а номер n2 выбираем так,112чтобы выполнялось неравенство n2  n1 , что можно сделать, так как в любойокрестности предельной точки содержится бесконечное число элементов13этого множества. Далее,  3  min( , an2  A ) . Как и раньше, строим an3 так,что an3  A   3 и n3  n2  n1 . Продолжая этот процесс, получаемпоследовательность an1 , an2 ,..., ank ,... такую, что ank  A 1, что означает,kчто lim ank  A .k Определение 11.2. Последовательностьназываетсяфундаментальной, если для любого положительного существует такое, что для всех m, n  N ( ) разность значений am , an по модулю меньше ,т.е.

  0 N   m, n  N   a n  a m   .Теорема 11.3. (Критерий Коши для последовательности).Предел последовательности существует тогда и толькотогда, когда эта последовательность является45фундаментальной.Необходимость ()То, что последовательность имеет предел, запишем так:  0 N   n  N   a n  A , m  N   a m  A  . Легко видеть, что22a m  a n  a m  A a n  A . По свойству модулей: c  d  c  d .

Обозначив22, имеем: (a m  A)  (a n  A)  a m  A  a n  A     , т.е. изсуществования предела последовательности легко следует еефундаментальность.Достаточность ()Во-первых, из фундаментальности последовательности следует ееограниченность. Действительно, пусть   1 .

Тогда существует N  N такое,что для всех m, n  N имеет место неравенство am  an  1 . Положимm  N  1 . Тогда для всех n  Nan  aN 1  1 , т.е. a N 1  1  an  a N 1  1. ПустьC0  max( aN 1  1 , aN 1  1) . Из этих неравенств тогда следует, что приnNимеем: a n  C0 . Положим C  max( a1 ,..., a N , C 0 ) . Теперь для всех n  N имеетместо неравенство a n  C , т.е. a n  - ограниченная последовательность. По теореме 11.2 существует подпоследовательность ank такая, чтоона имеет некоторый предел A , т.е. lim ank  A .

Докажем, что всяk последовательность имеет тот же предел, т.е . что lim an  A , для чегоnдостаточно доказать, что    0  N 0  n  N 0an  A   .У нас доказано, что    0  K  k  K ank  A    0  N  n  N1 , m  N an  am  .2, что246Если N 0  max( K , N ) и если k  N 0 , то k  K , поэтомуan  A  an  ank  ank  A     , что и требовалось доказать.2 247Билет 12.Непрерывность функции. Свойства непрерывныхфункцийОкрестностью действительного числа назовём любой интервал в  ,содержащий это число. Таким образом, окрестностью числа x 0   будетвсякий конечный интервал a , b , a  x 0  b , всякий бесконечный интервал  , b , x  b , каждый бесконечный интервал a ,   , a  x , и всё    ,   .

Произвольную окрестность точки x   обозначимсимволом U x . Из определения следует, что: 1) точка принадлежит каждой0000своей окрестности; 2) всякий интервал, содержащий окрестность точки, естьокрестность этой точки; и 3) окрестность точки x 0 есть окрестность каждойдругой своей точки. Кроме того, 4) пересечение двух любых окрестностейточки есть окрестность этой точки.Среди всех окрестностей числа x 0   выделяют окрестностьспециального вида. Пусть  – произвольное положительное число;  окрестностью числа x 0 называется интервал x 0   , x 0   ; то естьмножество всех чисел x , удовлетворяющих двойному неравенствуx 0    x  x 0   .

Оно равносильно одному неравенству x  x 0   , так что -окрестность числа x 0 есть совокупность всех точек числовой прямой,отстоящих от x 0 на расстоянии, меньшем, чем  ;  -окрестность числа x 0обозначим U ( x0 ,  ) ; число  называют радиусом этой окрестности.Нетрудно проверить, что любая окрестность числа содержитнекоторую  -окрестность этого числа, а любые два различныедействительные числа обладают непересекающимися окрестностями.Если из окрестности U a    ,   точки a   ,   a   , удалить48точку a , то полученное множество U a   U a \ a  , a  a ,  называютпроколотой окрестностью точки a .

Интервал  , a  называют левой(проколотой) окрестностью точки a , интервал a ,   – правой (проколотой)окрестностью точки a . Как и в случае окрестностей, проверяется, чтопересечение двух проколотых окрестностей точки образует проколотуюокрестность этой точки и что каждая проколотая окрестность U a  точки aсодержит некоторую её проколотую  -окрестностьU a ,    a   , a  a , a   ,   0 . Аналогично, любая левая [правая]окрестность точки a   содержит некоторую её левую [правую]  окрестность a   , a  a , a   ,   0 .Непрерывность функции в точкеПусть f – числовая функция, определённая в окрестности U ( x0 ) точкиx0 . Разность между произвольным значением x  U ( x0 ) и x 0 называетсяприращением аргумента x в точке x 0 и обычно обозначается x .

Такимобразом, x  x  x0 , x  x0  x .Разность между значениями функции f в точке x и в точке x 0называют приращением функции в точке x 0 и обычно обозначают f x0 .Таким образом, f x0   f x   f x 0   f x0  x   f x 0 .Естественно определить непрерывность f в x 0 как свойство,состоящее в том, что малые приращения аргумента x в x 0 вызывают малыеприращения функции f в x 0 , т.е. f x0  можно сделать сколь угодно малым,если взять достаточно малым x .Определение 12.1 (О. Коши). Функция f , определенная вокрестности U ( x0 ) точки x0 называется н е п р е р ы в н о й в точке x 0 ,49если для произвольного положительного числа  можно указать такоечисло   0 , что в каждой точке x , x  x 0   справедливо неравенствоf x  f x 0    , иными словами, для каждого   0 существует такое  0 , что неравенство x   влечёт неравенство f x0    .Пример 12.1.

Постоянные всюду непрерывны.Пример 12.2. Линейная функции f x   ax  b , a  0 , непрерывнавсюду на  .Для произвольных x 0 , x   имеем f x  f x 0   ax  x 0 . Дляпроизвольного   0 рассмотрим   0 . Для произвольных x 0 , x   иax  x 0   справедливо неравенство f x  f x 0   a  x  x 0  a     . Пример 12.3. Функция x непрерывна всюду на  .Для произвольных x 0 , x   имеем x  x0  x  x 0 . Поэтому, если  0 – произвольное и     0 , то x  x 0   для всех x с x  x 0   .

Теорема 12.1.( Критерий непрерывности функции в точке)Функция f непрерывна в точке x 0 тогда и только тогда,когда для произвольной последовательности xn  точек xn  D f ,n   , имеющей lim x n  x0 , числовая последовательность  f x n n сходится и nlimf x n   f x0 ; т.е. lim f xn   f ( lim x n ) . n n Необходимость. Пусть функция f непрерывна в точке x 0 . Согласноопределению 12.1, для произвольного   0 существует такое δ  0 , чтоf ( x )  f ( x0 )   , если x  x 0   . Рассмотрим произвольнуюпоследовательность xn , n   , имеющую lim x n  x 0 .

Тогда для любогоn  50числа δ  0 можно указать такой индекс N   , что x n  x 0  δ для всехn  N . (Отметим, что выбор числа N зависит от δ , выбор которого зависитот  , и, следовательно, выбор числа N в конечном счёте зависит от  ).Поэтому f x n  f x 0    для всех n  N , т.е.

f x0   lim f x n .n Достаточность. Пусть выполнено свойство, указанное во второй частиформулировки теоремы, но функция f не непрерывна в точке x0 . Согласнообращению определения 12.1, существует такое число  0  0 , что дляпроизвольного числа δ  0 найдётся такая точка x  D f и x   x 0  δ , вкоторой f x   f x0    0 . Рассмотрим  n  1 n  0 , n   , и выберем длякаждого n   такую точку x n  D f , что и x n  x 0  δ n  1 n , n   , иf x n  f x0    0 , n   . Поскольку lim 1 n  0 , то, на основанииn  оценочного признака существования предела последовательности,lim x n  x0 .

Неравенства f x n  f x0    0 , n   , показывают, что f x 0  неn является пределом последовательности  f x n , что противоречит условию.Следовательно, функция f обязана быть непрерывной в точке x 0 . Таким образом, в нашем распоряжении имеются не только двеметодики в изучении свойств непрерывных функций, основанные наопределении Коши и на свойствах сходящихся последовательностей, но ивозможность оптимального их выбора при доказательствах.Доказанный критерий позволяет считать свойство, равносильноеисходному определению непрерывности функции, равносильнымопределением (которое обычно называют определением по Гейне)Непрерывность сложной функции (композиции функций)51Теорема 12.3.

Если функция g непрерывна в точке x 0 , афункция f непрерывна в точке y 0  g x0 , то композицияf gэтих функций непрерывна в точке x 0 .По условию теоремы, для произвольной последовательности xn ,n   , lim x n  x 0 , по критерию непрерывности функции g в точке x 0 ,n  имеем lim y n  lim g x n   g x 0   y 0 . Применяя критерий непрерывности кn  n  функции f в точке y0 , получим, что существует lim f y n   f y 0 .n  Поскольку f y n   f g x n    f  g x n , n   , и f y 0   f g x0    f  g x 0 , тоlim  f  g x n    f  g x 0  для любой последовательности xn , n   ,n  lim x n  x 0 . Согласно критерию непрерывности функции в точке, функцияn  f  g непрерывна в x 0 . Свойство сохранения неравенства (знака)Теорема 12.4.

Пусть функция f непрерывна в точке x 0 .Если f x 0   c , то существует такая окрестность U 1 точки x 0 ,что f x  больше c для всех x  U1 . Если f x 0   d , то существуеттакая окрестность U 2 точки x 0 , что f x   d для всех x  U 2 .Согласно определению 12.1, для числа  1  f x 0  c  0 существуеттакое число δ1  0 , что f x   f x 0   ε 1 для всех x , x  x 0  δ1 .Поэтому, в частности, f x   f x0    1  c для всех x  U1 , где U 1 – δ1 окрестность точки x 0 .Аналогично, согласно определению 12.1, для числа  2  d  f x 0   0существует такое число δ 2  0 , что f x   f x 0   ε 2 для всех x ,52x  x 0  δ 2 .

Характеристики

Список файлов книги