В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (первый семестр) (1108903), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

(первый замечательный предел)limx0sin x1.xЗамечание: при доказательстве этой теоремы нельзя применять ни правилоЛопиталя,ни формулу Тейлора, т.к. хотя это и даст верный результат, но будетявляться логической ошибкой, потому, что при вычислении производной функции sinxsin x1x0xиспользуется знание того, что limДоказательство. Функцияsin xчетная. Поэтомуxsin xsin x1, то и lim 1 , и поx 0 xx 0 xесли доказать, что limтеореме 14.1. тогда limx0sin x 1 . В определении пределаxпри x  0 можно дополнительно требовать выполнение условия   0 .

Вопределении требуется существование хотя бы какого-нибудь   0 . Если жемы найдем 0   , то, тем самым, хотя бы какое-нибудь   0 будет2найдено. Итак, 0  x . Рассмотрим окружность единичного радиуса и2площади треугольников OAC, OBC и сектора OAC.S OAC 111sin x , S OAC x , S OВC  tgx , S OAC  SOAC СЕКТ.  S OBC , откуда222сектsin x  x  tgx при 0  x x2x1sin x cos x, что равносильно 1 ,1 .2sin x cos xx1Далее, cos x  1  2 sin 2 , а для sinxx xмы только что доказали, что 0  sin  .22 2xx 0 , поэтому по теореме 13.7 lim sin  0 и, значит,x0 2x02limlim cos x  lim 1  2 sin 2x0limx 0x 0x 1  0  1 . Снова применяем теорему 13.7, откуда2sin xsin x 1 и, значит, lim1.x0xx66Билет 15.

Предел монотонной ограниченной функции.Непрерывность элементарных функцийЭта информация относится ко всем вопросам. Ее следует знать, но не следуетрассказывать именно в 15 билете. Ниже приводятся определения бесконечных пределов.lim f x     M   0 x : 0  x  a  f x   Mlim f x     N   0 x : 0  x  a  f x   Nlim f x     N   0 x : 0  x  a  f x   Mx ax ax alim f x     M N x  Nx  f x   M...lim f x     N   0 x :   x  a  0x а 0.f x   M.Определение 15.1.

Функция f (x) , определенная на промежуткеX  R называется: неубывающей (возрастающей) на Х, если для всехx1 , x 2  X из неравенства x1  x 2 следует неравенствоf ( x1 )  f ( x 2 ) ( f ( x1 )  f ( x 2 )) . Она называется невозрастающей (убывающей)на Х, если из x1  x2 следует f ( x1 )  f ( x 2 ) ( f ( x1 )  f ( x 2 )) . Общее название дляэтих случаев – монотонные на Х функции.Теорема 15.1. (К. Вейерштрасс)1.Если f (x) не убывает на (a, b) и ограничена сверху на (a, b) ,то существует xlimf ( x) .b02.Если f (x) не убывает на (a, b) и ограничена снизу на (a, b) ,то существует xlimf ( x) .a0673.Если f (x) не возрастает на (a, b) и ограничена сверху, тосуществует xlimf ( x) .a04.Если f (x) не возрастает на (a, b) и ограничена снизу, тосуществует xlimf ( x) .b0Доказательство.

Оно вполне аналогично теореме 9.4. Для полнотыизложения докажем, например, случай 2. Поскольку множество значений,принимаемых f (x) на интервале (a, b ) ограничено снизу, существуетlimf ( x) . Пусть   0 . По определениюinf f x A . Докажем, что A  xa 0x( a ,b )точной нижней грани множества, число A   уже не является нижнейгранью множества значений f (x) на (a, b ) , поэтому существует такое числос, что A  f (c)  A   . Но тогда для всех a  x  c имеемA  f ( x)  f (c)  A   , откуда f ( x )  A   . Значит, для всякого   0найдено число  (равное числу c  a ), такое, что для всех x таких, чтоa  x  a  ( c ) , выполняется неравенство f ( x )  A   , т.е.

xlimf ( x)  А .a 0Следствие. Если f (x) - монотонная на (a, b ) функция, то для любогоx0  ( a , b) существуют lim f ( x ) и lim f ( x) .x x 0  0x x 0 0Доказательство. Достаточно применить теорему 15.1 к интервалам( a, x0 ) и ( x0 , b) .Непрерывность элементарных функцийНепрерывность многочленов.Так как функция у = х непрерывна в любой точке, по теореме онепрерывности произведения непрерывных функций, функция у = х2 –непрерывная. Последовательно применяя вышеупомянутую теорему,получаем, что для любого натурального m функция у = xm – непрерывна.Умножая непрерывные функции e = x, x2, x3, …, xk на постоянные числа с1,с2, …, сk соответственно, получаем, что c1x, c2x2, …, ckxk – непрерывные68функции. Сложив c0 + c1x + … + ckxk получаем непрерывную функцию.

Итак,многочлен – непрерывная на всей прямой функция.Непрерывность рациональной функции.По определению, рациональной функцией R(x) называется отношениедвух многочленов, P(x) и Q(x), т. е. R(x) =P( x).Q ( x)Во всех тех точках x0, где Q(x) ≠ 0, функция R(x) непрерывна потеореме о непрерывности частного.

Если же в точке x0 выполняетсяравенство Q(x0) = 0, то в этой точке может быть устранимый разрыв, какнапример, в точке x0 = 1 у функции R( x) x  1x 2  3x  4. Кроме того, в этойx  1x 2  x  5точке может оказаться разрыв второго рода, как, например, в точке x0 = 0 уфункции R( x) x2  x  1.xДля дальнейшего исследования будет полезной следующая теорема.Теорема 15.3. Пусть y = f(x) возрастает (или убывает) напромежутке X, причём множество её значений образуетпромежуток Y. Тогда f(x) – непрерывная на X функция.Для доказательства вспомним, что если f (x) строго монотонна напромежутке X, то, согласно следствию теоремы 15.1, в любой внутреннейточке x0 этого промежутка существуют x limf x  и lim f x .

Если эти числаx 0xx 000равны друг другу, то они, ввиду монотонности, равны f ( x0 ) и f ( x )  C ( x0 ) .Если же эти значения не равны друг другу, то во множестве значений Yфункции f(x) имеется “пробел” между точками x limf x и lim f x , опять жеx 0xx 000ввиду монотонности f(x). Но, по условию, множество значений Y образуетпромежуток, в котором не может быть “пробелов” по определениюпромежутка. Теорема доказана.69lim f ( x)x  x0  0lim f ( x)x  x0  0Непрерывность показательной функции.Функция y=ax монотонна (возрастает при a>1, убывает при 0<a<1) имножеством ее значений при x  R является бесконечный промежуток –множество всех положительных чисел.

По доказанной теореме, функцияy  a x непрерывна на всей числовой оси.Непрерывность логарифмической функции.Функция logax монотонна (возрастает при a>1, убывает при 0<a<1) ипри x  (0,) ее множеств значений есть R . По доказанной теореме, y=logaxнепрерывна на (0,+).Непрерывность функции y=x.Функция y=x определена при x>0, причем x = e ln x.

По доказанному, z=  ln x - непрерывная функция при x>0, функция y = ez непрерывна при всехz, поэтому, по теореме о непрерывности сложной функции, y = x непрерывная при x  0 функция.Функция y = sin x.При вычислении предела limx0sin xбыло установлено, что если 0  x  ,x2то 0  sin x  x . Ввиду нечетности функций y  x и y  sin x , при  x   sin x  0 . Из этого сразу следует, что при 0  x x02выполняется2неравенство sin x  x . Пусть x0 произвольная точка. Докажем, чтоlim (sin x )  sin x0 . Это равносильно тому, что lim (sin x  sin x0 )  0 . В своюx0x070очередь, это равносильно тому, что lim (2 sinx0доказанному выше, sin2 cos(x  x0x  x0cos)  0 . Так как, по22x  x0x  x0x  x0, lim(sin)  0 .

Кроме того, функцияx0222x  x0) , очевидно, ограниченная. По свойствам бесконечно малых,2получаем требуемое.Функция y = cos x.Она непрерывна по теореме о непрерывности сложной функции, так2как y  cos x  sin   x  , z  x – непрерывная функция и y= sin z – тоже2непрерывная функция.Функция y = tg x.Эта функция непрерывна во всех точках, кроме x  k , k  z . В этих,2последних, она имеет разрыв второго рода.Функция y = ctg x.она непрерывна во всех точках, кроме точек x = n, nz, где она имеетразрыв второго рода.Непрерывность функции y = arcsinx.Она определена на отрезке [-1, 1],71 2 2возрастает на нём и множеством её значений является отрезок [  , ].

Подоказанной теореме 14.1, y = arcsin x непрерывна на [-1, 1].Непрерывность функции y = arccos x.Следует из тождества arcsin x + arccos x =, т.е. arccos x = - arcsin x22- функция, также непрерывная на [-1, 1].Непрерывность функции y = arctg x.Функция определена и возрастаёт на 2 2всей числовой прямой.

Множество значений – интервал (  , ). Поэтому y= arctg x непрерывна на всей числовой прямой.Непрерывность функции y = arcctg x.Следует из равенства : arctg x + arcctg x =.2Определение 15.2. Если функция не является непрерывной в точке x 0 ,то говорят, что она разрывна в этой точке.При этом предполагаем, что x 0 является точкой из областиопределения!Точки разрыва делятся на следующие классы.Определение 15.3. Точкой устранимого разрыва называется такаяточка x 0 , что существует xlimf ( x )  A , но f ( x 0 )  A . При этом можноx0переопределить функцию так, чтобы получилась непрерывная функция.72 x, если x  0,Например, Пусть f ( x)   1, если x  0.Переопределим функцию в точке x  0 , положив f  ( x )  x  0 .Получилась непрерывная функция f  ( x)  x .Определение 15.4. Точкой разрыва первого рода называется точка x 0 , вкоторой существуют lim f ( x)  A1 и lim f ( x)  A2 , причем A1  A2 .x  x0 0x  x0  0 1, если x  0Например, функция sign ( x)   0, если x  0 обладает разрывом в точке 0- 1, если x  0первого рода.Замечание: По следствию теоремы 15.1 монотонная в окрестностиlim f ( x ) и lim f ( x) .

Поэтому она либоU ( x 0 ) точки x 0 функция f (x ) имеет x x 0xx 000непрерывна в точке a, когда оба эти предела равны друг другу, либо имеет вней разрыв первого рода, когда эти пределы различные.Определение 15.5. Если хотя бы один из пределов lim f ( x) ,x  x0  0lim f ( x) не существует, или бесконечен, то говорят, что x 0 – точка разрываx  x0  0второго рода.Отдельно рассмотрим случай, когда xlimf ( x )  A , но при этом значениеx0f ( x0 ) не определено. В таком случае говорят, что можно доопределитьфункцию в точке x 0 до непрерывной.Например, пусть f ( x ) sin x.

Эта функция не определена в точке x  0 ,xно её предел при x  0 существует и равен 1( теорема 14.2).Поэтому можнодоопределить функцию f ( x) , рассмотрев функцию sin x, при x  0,f  ( x)   x 1, при x  0.73По определению, функция f  (x ) – непрерывна в 0 .74Билет 16. Символы o , O . Вычислениеax 1ln(1  x ),lim,x 0x 0xxlim(1  x )   1x 0xlimПусть f ( x ) , g ( x ) определены в U (a ) .Определение 16.1. f ( x )  o( g ( x)) , x  a , если существует  (x ) ,  (x ) – б.м. при x  a такая, что f ( x )   ( x )  g ( x ) .Определение 16.2. f ( x)  O g ( x) , x  a , если существует  ( x ) , –ограниченная в U (a ) , такая, что f ( x )   ( x )  g ( x ) .1)x 2  o( x ) при x  0 , т.к.

x 2  x  x , а x  0 ; но2)x  o( x 2 ) , при x  ∞, т.к. x  x 2 11, и  0 при x  ∞.xxВообще, если m  n и x  0 , то x m  o( x n ) и если m  n и x  ∞ тоx m  o( x n ) .Из свойств бесконечно малых величин следуют такие свойствасимволов o , O :Теорема 16.1. Еслиf1 ( x )  o( g ( x )) , f 2 ( x )  o( g ( x )) , тоf1 ( x )  f 2 ( x )  o( g ( x )) ,f1 ( x )  f 2 ( x )  o ( g 2 ( x )) ; все соотношения выписаны при x  a .Доказательство. Действительно, f1 ( x)   1 ( x)  g ( x)) , f 2 ( x)   2 ( x)  g ( x)) ,  1 ( x ) и  2 (и f1 ( x)  f 2 ( x)   1 ( x)   2 ( x) g ( x) , а f1 ( x )  f 2 ( x)   1 ( x)   2 ( x) g 2 ( x) .

В фигурныхскобках стоят бесконечно малые при x  a .Теорема 16.2.o(o( g ( x)))  o( g ( x)) , т.е. если f ( x)  o(o( g ( x ))) , тоf ( x )  o( g ( x)) при x  a .Доказательство. Действительно, если f ( x )  o( ( x )) , а  ( x)  o( g ( x )) , т.е. f ( x )  1 ( x)   ( x ) ,  ( x )   2 ( x )  g ( x ) , где  1 ( x) ,  2 ( x) – б. м. при x  a , то75f ( x)  1 ( x)   2 ( x)  g ( x)   ( x)  g ( x) , где  (x ) – б. м. при x  a , что и означаетсправедливость доказываемого равенства . Для большей ясности повторим,что равенство следует понимать так: если f ( x)  o(o( g ( x))) , то f ( x )  o( g ( x))при x  a .Теорема 16.3.O (o( g ( x )))  o( g ( x )) , o(O ( g ( x)))  o( g ( x )) , x  a .Доказательство.

Характеристики

Список файлов книги