В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (первый семестр) (1108903), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

B  0 , из него снова22B◄2Лемма 2. Если B  0 , то limn 1 1 .bn B► bn  B   n ,1 111 B  B  nn  .bn B B  n B B  B  bn  B  bnПо лемме 1, при n  N , bn B1, поэтому2B  bnограниченная последовательность. Поэтому1BB22B2, т.е.1B  bnn- бесконечно малаяB  bnпоследовательность, и лемма 2 следует из теоремы 8.1.37Наконец, теорема о пределе частного следует из теоремы о пределепроизведения и леммы 2. ◄38Билет 9. Предельный переход в неравенствах. Пределмонотонной ограниченной последовательности.Теорема 9.1. Если an  0 и существует liman  A , то A  0 .n ► Метод от противного; пусть A  0 , выберем  N : n  N a n  A A. Тогда2AA A, т.е.

an  A    0 - противоречие с условием◄22 2Теорема 9.2. Если lim an  A , lim bn  B и для всех n выполняется неравенствоn n an  bn , то A  B .► Рассмотрим cn  bn  an , cn  0 по теореме о пределе разности, существуетlim cn  B  A , этот предел неотрицателен по предыдущей теореме, т.е.n B A 0.Замечание:1. Теоремы означают, что предельный переход сохраняет нестрогоенеравенство.2. Однако, строгое неравенство, например 0 1при предельном переходеn2при n   переходит в нестрогое , 0  0 .

Это означает, что если an  bn иlim an  A , lim bn  B , то A  B (а не A  B !).n n Теорема 9.3. (о «зажатой» последовательности).Если для всех n имеет место неравенство an  bn  cn и, кроме того,существует и равны друг другу пределы liman  lim cn  A , то существуетn n предел limbn , и он тоже равен A .n 39►Лемма.

Если для всех n выполняются неравенства 0   n   n и lim  n  0 ,n то lim  n  0 .n ► Дано:  0 N n>N  n   , т.е.  n   , т.к.  n  0 . По условию, 0   n   n   , такимобразом,   0 N n>N 0   n   , что и означает, что lim n  0 .◄n Перейдем к доказательству теоремы.Обозначим  n  bn  an ,  n  cn  an , тогда из условия теоремы следует, что, вопервых, 0   n   n и, во-вторых, что lim  n  lim cn  lim an  A  A  0 .

Применяяn n n лемму, получаем, что lim n  lim bn  an   0 . Так как lim an  A , по теореме оn n n пределе суммы получаем: lim bn  lim bn  an   an   0  A  A .◄n n Определение 9.1. Последовательность a n , n  N называетсянеубывающей, если для всех n выполняется неравенство a n  a n1 . Онаназывается возрастающей, если выполняется неравенство a n  a n1 .Последовательность a n , n  N называется невозрастающей , если для всехn выполняется неравенство a n  a n1 .

Она называется убывающей, есливыполняется неравенство a n  an 1 .Общее название всех такихпоследовательностей – монотонные последовательности.Теорема 9.4. (К. Вейерштрасс)1.Если последовательность a n , n  N не убывает иограничена сверху, то существует nlima . n2.Если последовательность a n , n  N не возрастает иограничена снизу, то существует nlima . nДоказательство. Проведем доказательство первого случая. Второйслучай совершенно аналогичен.

По условию, множество значений, которые40принимает последовательность a n , ограничено сверху. По теореме 5.1существует его точная верхняя грань A. Докажем, что А  lim a n . Для этогоnвозьмем произвольное   0 . По определению А, любое меньшее число, вчастности число A   , уже не является верхней гранью множества значений,принимаемых последовательностью a n . Значит, при некоторомN  N an  A   , или A  aN   . Кроме того, A  aN  0 , т.к. А – верхняягрань множества значений a n .Итак, 0  A  a N   . Но при n  N an  a N , поэтому 0  A  a N   Nan  A   .

Таким образом, для любого существует N такое, что для всехn  N выполняется неравенство an  A   . Поэтому nlima  A( supan ) . nnN41Билет 10. Число e.Теорема 10.1. Существует предел последовательности 11   nn.Доказательство. Сначала докажем леммуЛемма 10.1. (неравенство Бернулли).Еслиa  1 ,то 1   n 1  n .Доказательство.

Используем метод математической индукции. Приимеем: 1   1  1  1   , 1    1   . Предположим, что при n  kнеравенство верно: 1   k  1  k . Тогда при n  k  1 имеем:1   k 1  1   1   k  1   1  k   1  k  1  k 2  1  k  1 . Неравенстводоказано.ny n 1ynn1  n n1  n2 n n  n n 1n 2nnnn  1n 1   2n 1n 1nn 1nn  1 n  1n2 1 n 1  n 1 n  1 1 n  11   n n n 1Чтобы доказать существование предела lim1   , рассмотримn  n1последовательность y n  1   nn 1. Для членов этой последовательностиприменим неравенство Бернулли, обозначив  1, при этом очевидно,n 12n1nn  nn  n 1 nчто   1 .

1  2   1  2 1  2   1    1. n 1 n  1  n 1 n  1  n  n 1  n  n  1Таким образом,y n1 1 . Так как y n  0 , то y n 1  y n , поэтомуynрассматриваемая последовательность убывает и ограничена снизу. Значит, 1существует предел limy n  lim 1  n n  nn 1 1. Так как lim1    1 , то иnn42 1lim 1  n  n1n 1 1 1 . Следовательно,  lim 1    lim 1  nn n nn 11 1 lim 1   . Такимn  nn 1образом, e  lim1   .n  nТеорема 10.2.

Имеет место равенство1e  lim 1  x x .x0Доказательство. ( НА ЭКЗАМЕНЕ НЕОБЯЗАТЕЛЬНО ЕГО ЗНАТЬ.ПРИВЕДЕНО ДЛЯ ИНТЕРЕСУЮЩИХСЯ МАТЕМАТИКОЙ)1Докажем сначала, что1.e  lim 1  x x .x  0Обозначим за n целую часть отношения11. n    . Тогда справедливо неравенство:x x11111n     n  1 . Перепишем его в виде  x .

Тогда 1  1  x  1  . При этомnn 1n 1nxn11  11   1  x x  1   n  1 nn 11 , 1  n  1n 11  1  n  111x 1  x n 1  1 1    1   . В n  nполученном неравенстве левая и правая части стремятся к e, т.к.1 1  n  1n 11  e, 1  n  11n 1 1 1, 1    e 1    1 . n n1Таким образом, по теореме “о зажатой переменной” получаем, чтоe  lim 1  x x .x  01Докажем теперь, что e  lim 1  x x .2.x  0Обозначим y   x . Получаем, что11x1  x  1  y 1y 1  y 1  y    1 y  1 yx  0 .

Обозначив t 11yyy y y 0 при  1  . Выражение1 y 1 y yполучаем, что t  0,1 yyt. Тогдаt 11t 11y y1   1  t  t  1  t t  1  t . Полученное выражение стремится к e при t  0 , 1 y 1т.к. 1  t t  e,1  t   1 . Теорема доказана.43Билет 11. Критерий Коши существования пределапоследовательностиОпределение 11.1. Пусть задана последовательность a1 , a2 ,..., an ,... ипусть 1  n1  n2 ...

 nk  ... - возрастающая последовательность натуральныхчисел. Тогда последовательность an1 , an2 ,..., ank ,...  подпоследовательностьисходной последовательности.Теорема 11.1. Последовательность a1 , a2 ,..., an ,... имеетпредел A тогда и только тогда, когда любая еёподпоследовательность имеет предел, равный A.Поскольку последовательность сама является одной из своихподпоследовательностей ( для которой n1  1, n2  2,..., nk  k ,...

), утверждениетеоремы очевидно в одну сторону.Обратно, из определения подпоследовательности сразу вытекает, чтодля любого k выполняется неравенство nk  k . Если lim an  A ,то дляnлюбого   0 существует N такое, что при n  N выполняется неравенствоan  A   .При этом для любой подпоследовательностиan1 , an2 ,..., ank ,...при k  N выполняется неравенство nk  k  N , из которого следует, чтоank  A   . Это означает, что lim ank  A .nТеорема 11.2.

(Лемма Больцано-Вейерштрасса).Из любой ограниченной бесконечной последовательностиможно извлечь подпоследовательность, сходящуюся кконечному пределу.1.Если множество значений , которые принимаетпоследовательностьконечное, т.е. a n  b1 , b2 , , bm , то хотя бы одно иззначений b1 ,..., bm , обозначим его b , она принимает бесконечно много раз, т.е.44существует бесконечное множество номеров n  n1 , n 2 ,..., n m ,... таких, чтоani  b, i  1,2,... .

Поэтому lim a n  b , подпоследовательность ani , i  1,2,... k iискомая.2.Рассмотрим теперь случай, когда множество значенийбесконечно. Так как a n - бесконечное ограниченное множество, то поiтеореме 6.1 существует предельная точка этого множества, равная A.Покажем, что существует последовательность n1  n 2  ...  nk  ... такая, чтоlim a nk  A . По определению предельной точки, для  1  1 существует номер n1n 1такой, что a n  A   1 .

Характеристики

Список файлов книги