В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (первый семестр) (1108903), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Из этогоследует, что верными цифрами суммы будут первые три её цифры.Теорема 7.3. Относительная погрешность суммы слагаемыходного и того же знака не превышает наибольшей относительнойпогрешности.Доказательство. Пусть, как и выше, точные числа равны A1 ,..., Ak , приближённыечисла равны a1 ,..., ak , абсолютные погрешности оценены числами 1 ,...,  k ,относительные погрешности равны 1 ,...,  k и наибольшая из них есть  .

Тогдаотносительная погрешность суммы не превосходит числа A  ...   k Ak 1  ...   k 1 1 .A1  ...  AkA1  ...  AkПерейдём к погрешности произведения.Теорема 7.4. Относительная погрешность произведениянескольких положительных приближённых чисел не превышаетсуммы их относительных погрешностей.Доказательство. Пусть, в прежних обозначениях a  a1 ...ak . Тогдаln a  ln a1  ...  ln ak .

Мы сейчас воспользуемся правилом, которое будет доказано позже.Согласно этому правилу, для погрешностей  ln ai выполняется равенство:  ln ai Из этого равенства вытекает также приближённое равенство:в свою очередь, aiai.a a  a1 ...  k , откуда,aa1akaaa 1  ...  k , что и требовалось доказать.aa1akПример. Найдём произведение приближённых чисел 11,3  0, 05, 28, 46  0, 005 .Оценкой сверху для относительной погрешности служит число0, 05 0, 005 0, 0044  0, 000176  0, 0045 . Произведение приблизительно равно11, 25 28, 455323, 08 и абсолютная погрешность не превосходит 1,45. Поэтому произведение имеет дваверных знака и его следует записать так: 323  2 .Полезно руководствоваться таким правилом.

Пусть мы ищем произведениенескольких приближённых сомножителей. Тогда, во-первых, округлим все сомножители,31кроме наименее точного, так, чтобы они имели на одну значащую цифру больше, чемчисло верных цифр в этом наименее точном из сомножителей. В результате умножениясохранить столько значащих цифр, сколько верных цифр в наименее точном изсомножителей.Как определить число верных знаков произведения? Рассмотрим k  10сомножителей a1 ,..., ak , каждый из которых пусть имеет n  1 верных цифр.

Пусть a1 ,..., ak- их первые значащие цифры. Тогда, как доказано выше,  i предыдущему утверждению,  все ai  1 . Поэтому  1 11   2  a1ak1(0,1) n 1 , и по2ai0,1n1 . Поскольку, по условию, k  10 и1(0,1) n  2 . Следовательно, число верных знаков может2уменьшиться не более, чем на 2. Если сомножители имеют разное количество верныхцифр, то под числом n  1 следует понимать наименьшее из чисел верных знаковсомножителей.Вопрос о погрешности частного решается примерно так же, как и в случаепроизведения. Именно, если a a a aaa1, то ln a  ln a1  ln a2 , a  1  2 , a  1  2aa1a2 aa1a2a2и, следовательно, относительная погрешность частного не превосходит суммыотносительных погрешностей делимого и делителя.Если делимое и делитель имеют n  1 верных цифр и если a1 , a 2 - их первыезначащие цифры, то, как и выше,  1 11 2  a1 a 20,1n1 .

Поэтому если оба числа a1 , a 2 неменьше 2, то частное имеет не меньше, чем n  1 верный знак. Если хотя бы одно из чиселa1 , a 2 равно 1 , то частное имеет не менее n  2 верных знаков.Наконец, обратимся к операциям возведения в натуральную степень m иизвлечения корня степени m . В первом случае задача решается так:ln a m  m ln a, (a  0),  am  m a , т.е.

оценка относительной погрешности m -ой степеничисла в m раз больше, чем оценка относительной погрешности самого числа.1Для корня имеем: ln a m 11ln a, a  0 ,  1   a : оценка относительнойmmmпогрешности корня m -ой степени из положительного числа в m раз меньше, чем оценкаотносительной погрешности самого числа.32Изложенным выше мы только начали изучение приближённых вычислений. Намещё предстоит исследовать задачу приближённого вычисления значений функций общеговида. Но для этого сначала придётся изучить основные понятия дифференциальногоисчисления и доказать формулы Тейлора.33Билет 8.

Предел последовательности. Бесконечно малыепоследовательности. Арифметические свойства предела.Определение 8.1. Если каждому n N сопоставлено число a n  R ,то говорят, что задана последовательность a n , n  NНекоторые последовательности обладают очень важным свойством –они имеют предел.Определение 8.2. Последовательность a n  имеет предел, равныйчислу A тогда и только тогда, когда для любого   0 существует числоN (  )  0 такое, что для всех n N , удовлетворяющих неравенствуn  N (  ) , выполняется неравенство an  A   .Удобно записывать это определение с помощью логических символов:  0  N ( )  0  n  N (  ) an  A   .Для обозначения предела последовательности используется символ:lim an .xПример 1. Если a n  A для всех n, то xlima A nДоказательство.

Для любого   0 и любого N ( ) , и любого nan  A  A  A  0   .1Пример 2. Если a n  , то xlima 0 nn1Доказательство. Пусть   0 . Возьмем N ( )  . Тогда если n  N (  ) ,то n 1 111и   , поэтому a n  0   0    . nnnТеорема 8.1. Если предел последовательности a n существует, то он единственен, т.е. еслиa  A2 , то A1  A2если nlim nlim a n  A1n и34Доказательство. Предположим, что последовательность имеетпределом число A1 , а также имеет пределом число A2 , A1  A2 .

Тогда:   0  N1 ( )  0 n  N1 ( )a n  A1  Полагая в этом условии  a n  A1 A2  A1, получаем, что при n  N12A2  A1. Аналогично, поскольку A2 - тоже предел, получаем, что2при n  N 2 a n  A2 A2  A1.2Пусть N  max( N1 , N 2 ) . Тогда при n  N выполняются условия n  N1 иn  N 2 , поэтомуA2  A1  A2  a n  a n  A1  A2  a n  a n  A1  an  A2  a n  A1 A2  A1A  A1 2 A2  A122Полученное противоречие доказывает теорему.Определение 8.3.

Последовательность  n , n  N называетсябесконечно малой, если lim  n  0 .nТеорема 8.2. Предел последовательности  n ,nNсуществует и равен А тогда и только тогда, когда an можнопредставить в виде a n  A   n , где  n - бесконечно малаяпоследовательность.► liman  A    0 N : n  N :n an  A   , обозначим  n  A  an , тогдаполучаем   0 N : n  N  n   , т.е.  n - бесконечно малая◄Теорема 8.3.1.Если  n и  n - бесконечно малые последовательности, тоалгебраическая сумма -  n   n тоже бесконечно малаяпоследовательность;352.Если  n - бесконечно малая последовательность, а  n  -ограниченная последовательность (т.е. c :n n  c), то  n   n - бесконечно малая последовательность;3.Если  n и  n - бесконечно малые последовательности, топроизведение  n   n - бесконечно малая последовательность.►Зафиксируем любое  0 .

Для числачто для всех n  N1 имеем  n существуют N1 и N 2 такие,2и для всех n  N 2 имеем  n  . Тогда22 2 2для всех n  N  max N1 , N 2  имеем  n   n   n   n     . Первоеутверждение доказано.Перейдем ко второму: Для числасуществует N такое, что  n cccпри n  N . Тогда и  n n   c   . Второе утверждение доказано.Для доказательства третьего утверждения установим лемму:Если  n - бесконечно малая, то она ограниченная (но, разумеется, ненаоборот!) Для доказательства выберем   1 . По определениюбесконечно малой, существует N такое, что при n  N имеем при n  1 . Можно считать, что N  R натуральное число. Тогда N1  1,  N 2  1, ...

. Тогда выберем C  max( 1 ,  2 , ... ,  N ,1) . Т.е. длявсех n  n  C . Третье утверждение теперь следует из леммы и второгоутверждения.◄Теорема 8.3. (Арифметические свойства предела)Еслито иlim a n  A ,n an A .n bBnlimто nlimb n B,тоlim a n  bn  A  Bn , а еслиB 0,36an  A   n , b n  B   n , где  n ,  n - бесконечно малые последовательности.Тогдаan  bn   A   n   B   n    A  B    n   n  ,а последовательности an  bn -бесконечно малые по теореме 8.3, часть 1;an  bn   A   n  B   n   AB  B n  A n   n  n , причем B n , A n ,  n  n - бесконечномалые по теореме 8.3, части 2 и 3, а их сумма – тоже бесконечно малая потеореме 8.3, часть 1.Переходя к пределу частного, докажем сначала леммы:Лемма 1.

Если B  0 , то существует N такое, что при n  N bn ►Возьмем  n  N bn  B B.2B; по определению предела существует N такое, что при2BBB, т.е. B   bn  B  . Если B  0 , то первое из этих222неравенств, т.е. bn  B неравенство bn  B получаем b n B2дает bn BB, т.е. b n  , а если B  0 , то22BBозначает, что bn  , но т.к.

Характеристики

Список файлов книги