В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (первый семестр) (1108903), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Подставляя (2) в правую часть (1), получаемdf ( x ) = f ( x) dx ,(3)равенство двух линейных функций df ( x ) и f ( x) dx . Из него следует,что часто используемое обозначение производнойdfможно рассматривать,dxкак отношение дифференциалов df ( x ) и dx .Функция df ( x ) определена для всех действительных значений h .Однако по традиции часто рассматривают df ( x ) лишь на множестве тех h ,для которых x  h принадлежит области определения функции; т.е., лишь намножестве приращений аргумента x функции f .

Это объясняется тем, чтодифференциал тесно связан с приращением функции. Так как, попредположению, f дифференцируема в точке x, то103f ( x  x)  f ( x)  f ( x) x   ( x) x ,(4)где  (x)  0 при x  0 и первое слагаемое в правой части (4) –дифференциал, но рассматриваемый только для h  x . Если f ( x )  0 ,то,поэтому говорят, что «дифференциал естьглавная линейная часть приращения функции».22.2. Геометрический и механический смысл дифференциала.Пусть числовая функция f дифференцируема в точке x . Как известно,ее график имеет в точке M ( x, f ( x)) касательную с угловым коэффициентомf ( x ) .Теорема 22.1. Значение df ( x ) = f ( x)h дифференциала равноприращению ординаты этой касательной при переходе от x к x  h(см.

рис.).Доказательство.Действительно, tg  f ( x) ,MN  h ,поэтомуNT  MNtg  f ( x) h . Из рисункатакже видно, что f ( x) x  N T  естьчастьприращения f ( x  x)  f ( x)  N M  функции, стремящееся к совпадению сним при x  0 .Дифференциал допускает и механическое толкование. Если x – время,а f ( x) – путь, пройденный прямолинейно движущейся точкой к моменту x ,то f ( x ) - ее скорость в данный момент. Тогда f ( x) h равен длине пути,который прошла бы точка за промежуток времени от x до x  h , если бы еескорость оставалась неизменной (т.е.

приложенные силы уравновесились).10422.3. Инвариантность формы первого дифференциалаПравило дифференцирования сложной функции приведет нас к одномузамечательному и важному свойству дифференциала.Пусть функции y  f (x) и x   (t ) таковы, что из них может бытьсоставлена сложная функция: y  f ( (t )) . Если существуют производные y x иxt , то по теореме 20.2 существует и производнаяy t  y x  x t(5)Дифференциал dy , если x считать независимой переменной, выразитсяпо формуле (3). Перейдём теперь к независимой переменной t ; в этомпредположении имеем другое выражение для дифференциала:dy  y t  dt .Заменяя производную y t её выражением (5) и замечая, что xt  dt естьдифференциал x как функции от t , окончательно получим:dy  y x  xtdt  y x  dx ,т.

е. вернёмся к прежней форме дифференциала.Таким образом, мы видим, что ф о р м а д и ф ф е р е н ц и а л аможет быть сохранена даже в том случае, если прежняянезависимая переменная заменена новой.Мы всегда имеем право писать дифференциалбудет лиxyкак в форме (1),независимой переменной или нет; разница лишь в том,что, если за независимую переменную выбраноt , то dxпроизвольное приращение x , а дифференциал xозначает некак функции отt.105Это свойство и называют и н в а р и а н т н о с т ь ю ф о р м ыдифференциала.22.4. Дифференциал суммы, произведения и частного функций.В силу равенства (1) из любой формулы для производной в точке x приумножении на dx получается соответствующая формула для дифференциала.В частности, в точках, где функции u, v удовлетворяют условиям теорем одифференцируемости суммы, произведения или частного получаем:d(u+v)=du+dv;аналогично,d(uv)=vdu+udv,d(u/v)=(vdu-udv)/v2.Отметим, что если C – постоянная, то dC=0, dCu=Cdu.106Билет 23.

Производные и дифференциалы высших порядков1.Последовательные производныеПроизводная f  функции f, в свою очередь, может иметь производную.Последнюю в этом случае называют второй производной (или производнойвторого порядка) функции f и обозначают обычно f  . Таким образом,f    f ' . В соответствии с этим f  называют первой производной (илипроизводной первого порядка) функции f.

По индукции определяют (впредположении, что они существуют) производные следующих порядков: f???= (f??)? и т.д. Если f имеет n-ю производную (а значит, и производные всехменьших порядков) во всех точках некоторого промежутка I, то говорят, чтоf n раз (или n-кратно) дифференцируема на промежутке I. Функцию f,имеющую на I производные всех порядков, называют бесконечнодифференцируемой на I. Таковы, например, на всем множестведействительных чисел алгебраические многочлены, показательные функции.Для обозначения порядка производной, если он невелик, используюттакже римские цифры. Так, fIV – четвертая производная функции f. Вообщеже, n-ю производную функции f обозначают f(n) (в частности, f(1) = f?).

Приэтом удобно саму функцию f обозначать символом f(0). В таких обозначениях,очевидно, f(n) = (f(k))(n-k) для всех k, 0≤k≤n.Итак, функция f имеет в точке x0  (a,b) производную f(n)(x0)(обозначение: f  D(n)(x0)) в том и только в том случае, когда в некоторойокрестности U точки x0, U  (a,b), существуют производные функции f(k)всех порядков k ,1  k  n  1 , и функция f(n-1) имеет в x0 производную(f(n-1))?(x0) = f(n)(x0).Вторая производная имеет важный механический смысл. Еслипрямолинейное движение материальной точки описывается уравнением S =107f(t), то, как было показано,V = f?(t) – скорость точки в момент t. Величину j = f??(t) ("скорость измененияскорости") называют ускорением точки в момент t. Согласно второму законуклассической механики, сила F, приложенная к точке, пропорциональнаускорению, F = mj; коэффициент пропорциональности m называют массойточки.Для некоторых бесконечно дифференцируемых функций легко указатьформулу для вычисления n-ой производной.1) f(x) = xα, x>0, α R - фиксировано.

Поскольку f?(x) = αxα-1, f??(x) =α(α-1)xα-2, то, по индукции, получим f(k)(x) = α(α-1)…(α-k+1)xα-k, x>0, k  N .Если α = n  N , то f(x) = xn определена на всем R и (xn)(k) = n(n-1)…(n-k+1)xnk, x R , 1≤k≤n-1. При k  n получим (xn)(n) = n! для всех x  R (так как (xn)(n-1)= n!x, x  R ), и поэтому (xn)(m) = 0 для всех x  R и всех m  n .2) f(x) = ex, x R . Поскольку f?(x) = ex, f??(x) = ex, то f(k)(x) = ex, x  R ,k N .23) f(x) = sinx, x  R .

Поскольку f?(x) = cosx = sin(x+ ), то f??(x) =22222(sin(x+ ))? = cos(x+ )∙(x+ )? = cos(x+ ) = sin(x+2 ), x R , и, по2индукции, f(k)(x) = sin(x+k ), x  R , k N .24) f(x) = cosx, x R . Так как f?(x) = -sinx = cos(x+ ), то f??(x) =22222(cos(x+ ))?=-sin(x+ )∙(x+ )? = -sin(x+ ) = cos(x+2 ), x R , и, по2индукции, f(k)(x) = cos(x+k ), x R , k N .5) f(x) = (1+x)α, x>-1, α R - фиксировано. Как и в примере 1, получимf?(x) = α(1+x)α-1(1+x)? = α(1+x)α-1, f??(x) = α(α-1)(1+x)α-2 и f(k)(x) = α(α-1)…(αk+1)xα-k, x>-1, k N .1086) f(x) = ln(1+x), x>-1.

Так как f?(x) =11(1+x)? == (1+x)-1, то, на1 x1 xосновании примера 5 с α = -1, получим f(k)(x) = (f?)(k-1)(x) = ((1+x)-1)(k-1) = (-1)(-2)…(-1-(k-1)+1)∙(1+x)-1-(k-1) = (-1)k-1(k-1)!(1+x)-k =3.(1) k 1 (k  1)!, k N .(1  x) kЛинейное свойство производных высших порядковТеорема 23.1. Для любого числа n  R , любых функций u и v,имеющих в какой-то точке x производные u(n)(x) и v(n)(x), и длялюбых чисел λ1,λ2 R , функция w = λ1u + λ2v имеет в точке xпроизводную w(n)(x) и w(n)(x) = (λ1u(x) + λ2v(x))(n) = λ1u(n)(x) +λ2v(n)(x).Доказательство. Поскольку каждая производная высшего порядкаполучается из производной предыдущего порядка посредством операциидифференцирования, а операция дифференцирования и первая производнаяобладают свойством линейности, то это свойство переносится напроизводные всех порядков.4.n-я производная произведенияТеорема 23.2.(Г.

Лейбниц). Если функции f и g на некоторомпромежутке имеют производные функции f(n) и g(n), n N , то существует(fg)(n) и(n)(fg)n=  Cnk f ( k ) g ( n k ) = fg(n) + nf?g(n-1) + … +k 0k)n( n  1)...(n  k  1) (k) (nf gk!+ … + nf(n-1)g? + f(n)g.(1)Доказательство. Для n=1 утверждение справедливо по теореме 19.8:вместе с f и g произведение fg также дифференцируемо и(fg)? = fg? + f?g = C 10 f(0)g(1) + C 11 f(1)g(0).109Пусть утверждение теоремы справедливо для n, а функции f и g (n+1)кратно дифференцируемы на рассматриваемом промежутке.

Тогда этифункции вместе со своим произведением n-кратно дифференцируемы, и длянего справедлива формула (1). Так как в каждом члене правой части этойформулы функции f(k) и g(n-k) дифференцируемы, то по теоремам 19.7, 19.8функция (fg)(n) дифференцируема, причем (fg)(n+1) = ((fg)(n))? =nCknC n0 f(0)(f(k )g ( n k 1)  f( k 1)g (nk ) ) =k 0n 1ng ( n1)   C nk f(k )k 1g ( n k 1)   C nk f( k 1)g ( n k )  C nn f( n 1)g (0) .k 0n 1НоCknf( k 1)g ( n k ) C n0f(1)g ( n )  C n1 f( 2)g ( n 1)  ...  C nn 2 f( n 1)g ( 2)  C nn1 f(n)g (1) =k 0nCk 1nf(k )g ( n k 1) и, принимая также во внимание свойства биномиальныхk 1коэффициентов: Cnk  Cnk 1  Cnk1 , получаем(fg)(n+1) = C n01 f ( 0) g ( n1) +n (Ckn C nk 1 ) f(k )g ( n k 1) + C nn11 f( n 1)g ( 0) =k 1n 1Ckn 1f(k )g ( n1 k ) , так что формула (1) верна, если заменить n на n+1 и теоремаk 0доказана.Вторая производная функции , заданной параметрическиРассмотрим уравнение y  y (t ) x  x (t )(2)Где x(t ) , y (t ) − дважды дифференцируемые функции на некоторомпромежутке T ; пусть, кроме того, функция x(t ) строго возрастает (илиубывает) на T и ни в одной точке этого промежутка xt не равна 0.

Характеристики

Список файлов книги