В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (первый семестр) (1108903), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

+29.5. Пусть в окрестности U ( x0 ) точкисуществуют и непрерывныf ( x) ,x0… f ( n 1) ( x) и пусть существуетf ( n ) ( x0 ) . Тогдаf ( n ) ( x0 ) nnf ( x0 )  f ( x0 )x  ... x  o((x) ) при x  0 .n!Доказательство. ОбозначимTn ( x)  f ( x0 )x  ... f ( n ) ( x0 ) nx , x  x  x0 , Rn ( x )  f ( x )  Tn ( x ) иn!рассмотрим отношение  ( x) Rn ( x). По правилу Лопиталя( теореме 28.1),( x  x0 )nприменённому n  1 раз, имеемRn ( x)Rn ( x)Rn ( n 1) ( x ) 1f ( n1) ( x )  Tn( n1) ( x)lim...limlimx  x0 ( x  x ) nx x0 n( x  x ) n 1x x0 n!( x  x )n! x x0( x  x0 ) n000lim127Из определения Tn ( x ) следует, что Tn( n1) ( x )  f (n 1) ( x0 )  f ( n ) ( x0 )( x  x0 )Поэтомуlim  ( x )  limx  x0x  x0Rn( n1) ( x)n ( n 1)( x  x ) 0 f ( n 1) ( x)  f ( n1) ( x0 )1 lim  f ( n 1) ( x0 )  n ! x x0 x  x01 (n)f ( x0 )  f ( n ) ( x0 )  0 .n!Это означает, что Rn ( x)  f ( x)  Tn ( x) =  ( x )( x ) n  o ( x) n , x  0 , чтои требовалось доказать.128Билет 28.

Разложения функций ex, sinx, cosx, lnx, (1+x)µПрименим доказанные формулы Тейлора к функциям, перечисленнымвыше.1) Так как (e x )'  e x , для всех k  N выполняется равенство(e x ) ( k )  e xСледовательно, все эти производные равны 1 при x=0.Поэтому e x  1  x x2xnx n 1 ...   e , где ξ – некоторая точка между2n!(n  1)!0 и x. Другая запись для точки ξ : ξ = θ x, 0 <  <1. Это – разложение ex состаточным членом в форме Лагранжа.Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано для exпринимает видex  1 x x2xn  n ...

 o( x ) , x  0 .2n!2)Перейдём к функциям sinx, cosx:(sin x)'  cos x , (sin x)' '  (cos x)'   sin x , (sin x)' ' '  (  sin x)'   cos x ,(sin x ) ( IV  (  cos x )'  sin x и т.д.Эти равенства означают, что (sin x) ( n)  (sin x) ( n 4 k ) для любого k  N .Поэтому имеет место формула (sin x) ( n )  sin( x n) , которую легко проверить2для n=0,1,2,3, а для остальных n она верна ввиду установленного равенства(sin x) ( n)  (sin x) ( n 4 k ) .Поэтому при x=0 имеем:производная порядка 4k равна sin( 0 4k)  0;2129производная порядка 4k+1 равна sin( 0 4k  )  sin( 2k  )  1 ;22производная порядка 4k+2 равна sin(0 4k  2)  0;2производная порядка 4k+3 равна sin(4k  33)  sin( )  1 .22Следовательно,x3 x5x 2 n1x 2 n 2sin x  x  ...

 (1) n 03! 5!(2n  1)!(2n  2)!2n  3)2x 2 n 3 ,(2n  3)!sin(  где ξ лежит между 0 и x.Здесь – небольшая хитрость. Мы разложили функцию до членов степени2n+2 , что позволило сделать погрешность меньшей. Конечно, член0  x 2 n 2(2n  2)!выписывать не надо, он равен 0, а здесь он был помещён только дляразъяснения вышеупомянутой «хитрости». Итак3sin x  x 2 n 15xxx ...  (1) n3! 5!(2n  1)!2n  3)2x 2 n 3 .(2n  3)!sin( Аналогично,n) и2(cos x ) n  cos( x 2cos x  1 4n2nxx(1) x ... 24!(2n)!2n  2 ) x 2 n 22(2n  2)!cos( Разложения для sinx и cosx по формуле Тейлора с остаточным членом вформе Пеано имеют вид:x3x 2 n1nsin x  x  ...

 (1) o( x 2n  2 ) , x→03!(2n  1)cos x  1 x2x 2n ...  (1) n o( x 2n 1 ) , x→02!(2n)!1303)Перейдём к функции ln(1  x) . Её последовательные производныеравны:(ln(1  x ))' 1 (1  x ) 1 ,1 x(ln(1  x ))' '  ((1  x) 1 )'  (1  x ) 2 и т.д.(ln(1  x)) ( k )  (1) k 1 (k  1)!(1  x)  kВычисленная при х=0, производная порядка k равна (1) k 1 (k  1)!Поэтомуln(1  x)  x x2 x3(1) n1 n (1) n x n1 ... x  (1   ) n 1 ,23nn 1где ξ – некоторая точка между 0 и х.Разложение с остаточным членом в форме Пеано имеет вид:ln(1  x)  x x2(1) n 1 n  n ... x  o( x )2n4)Наконец, вычислим последовательные производные функции 1  x  :1  x     1  x  , 1  x      11  x 1  x       11  x  . 1k 2, , kВычисленная в точке x  0 , производная порядка k равна   1  k  1.Поэтому формула Тейлора с остаточным членом в формеЛагранжа имеет вид:   1 2    1  2 3   1   n  1 nx x x 2!3!n!,   1   n   n 1 n 11    xn  1!1  x  1  x 131где  - между 0 и x .

Это так называемое биноминальное разложениес остаточным членом в форме Лагранжа. Та же формула с остаточнымчленом в форме Пеано имеет вид:1  x   1  x       1  n  1 x n  ox n ,n!x  0.В качестве примера применения формулы Тейлора рассмотримзадачу нахождения 10 1000 с точностью до 0,001.Сначала подготовим ее к применению формулы Тейлора. Дляэтого, зная, что 210  1024 , перепишем вычисляемую величину в виде1000243 2  10 2  10 1  21 10241024 128 110.Используем биноминальное разложение при13, x.10128Число n членов разложения выберем, исходя из заданнойточности.

Для этого найдем n такое, чтобы:11 1  1  n n 110  10   10 1   101 n1    3   0,0005n  1! 128 (1)(тогда при умножении на стоящий впереди коэффициент 2 получаемтребуемую точность 0,001).Очевидно, что:11 1  1  n 10  10   10  1 1 ;n  1!10 n  1132Далее,  - между 0 и  128  125 n 1 128  125 1n 1101 1   10n 13125, поэтому 1   1 и128128 1,поэтому1 n 1101    3  128 n 1 128 3  125 128 n 1 3  125 n 1 1   40 n1Итак, абсолютная величина левой части неравенства (1) небольше, чем111.10 n  1 40n1(2)Поэтому если число (2) окажется меньше, чем 0,0005, то иостаточный член формулы будет меньше 0,0005 и требуемая точность будетдостигнута.Сразу ясно, что при n  1Число1 1 11  2  0,0005 .10 2 4032000Поэтому требуемую точность для приближенной величины даётприближённая формула:101000  2 2  3 3.  210  128 640133Билет 29. Правила ЛопиталяПриведённые ниже теоремы принадлежат, в основном, Лопиталю(G.F.de l’Hospitale) и И.Бернулли (Joh.Bernoulli).29.1.

Неопределённость типа00Теорема 29.1. Пусть: 1) функции f(x) и g(x) определены впромежутке (a, b], 2) lim f ( x )  0, lim g ( x )  0, 3) в промежутке (a, b]X a 0x  a 0существуют конечные производные f’(x) и g’(x), причём g’(x) ≠ 0, инаконец, 4) существует (конечный или нет) пределf ' ( x)lim g ' ( x)  Kx a 0Тогда иf ( x)lim g ( x)  Kx a 0Доказательство. Дополним определение функций f(x) и g(x), положивих при x = a равными нулю: f(a) = g(a) = 0. Тогда эти функции окажутсянепрерывными во всём замкнутом промежутке [a, b]: их значения в точке aсовпадают с пределами при x→a + 0 [ввиду 2)], а в прочих точкахнепрерывность вытекает из существования конечных производных [см.

3)].Применяя теорему Коши, получимf ( x ) f ( x )  f ( a ) f / ( c),g ( x ) g ( x )  g ( a ) g / (c )где a‹c‹x. То обстоятельство, что g(x) ≠ 0, т. е. g(x) ≠ g(a), естьследствие предположения: g′(x) ≠ 0, как это было установлено при выводеформулы Коши.134Когда x→a, очевидно, и с→a, так что, в силу 4),f ( x)f / (c )K,limlim/x  a 0 g ( x)c  a g (c )что и требовалось доказать.Таким образом, доказанная теорема сводит предел отношения функцийк пределу отношения производных, если последний существует. Частооказывается, что нахождение предела отношения производных проще иможет быть осуществлено элементарными приёмами.Теорема 1 легко распространяется на случай, когда аргумент xстремится к бесконечному пределу: a =   . Именно, имеет место, например.Теорема 29.2.

Пусть: 1) функции f(x) и g(x) определены впромежутке [c, +∞), где с›0, 2) lim f ( x)  0 , lim g ( x )  0 , 3) существуютx  x  в промежутке [c, +∞) конечные производные f′(x) и g′(x), причёмg′(x) ≠ 0, и, наконец, 4) существует (конечный или нет) пределf ' ( x)lim g ' ( x)  K .x Тогда иf ( x)lim g ( x)  K .x 1tДоказательство. Преобразуем переменную x по формуле x = , t =Тогда, если x→+∞, то t→0, и обратно. Ввиду 2), имеем11lim f  t   0 , lim g  t   0 ,t  0а в силу 4),t  01.x135limt  0 1f / t   K . 1g/ t 11К функциям f   и g   от новой переменной t можно применитьt t теорему 28.1, что даст нам11   1 1f f /   2 f / t t   t  t   K ,limlimlim11   1 1t  0g   t 0 g /      2  t 0 g /  tt   t t а тогда иf ( x)lim g ( x)  K .x 29.2.

Неопределённость вида.Обратимся к рассмотрению неопределённых выражений вида, т. е.исследуем вопрос о пределе отношения двух функций f(x) и g(x),стремящихся к +∞ (при x→a + 0).В этом случае применимо то же правило Лопиталя: следующаятеорема есть простая перефразировка теоремы 28.1.Теорема 29.3 Пусть: 1) функции f(x) и g(x) определены впромежутке (a, b], 2) lim f ( x)   , lim g ( x)   , 3) существуют вx  a 0x a 0промежутке (a, b] конечные производные f′(x) и g′(x), причём g′(x) ≠0, и, наконец, 4) существует (конечный или нет) предел136f ' ( x)lim g ' ( x)  K .x a 0Тогда иf ( x)lim g ( x)  K .x a 0Теорема 29.4 Пусть: 1) функции f(x) и g(x) определены впромежутке[c, +∞), где с›0, 2)lim f ( x)   , limg ( x)   , 3)x xсуществуют в промежутке [c, +∞) конечные производные f′(x) иg′(x), причём g′(x) ≠ 0, и, наконец, 4) существует (конечный илинет) пределf '( x)lim g '( x)  K .x Тогда иf ( x)lim g ( x)  K .xТеоремы 28.3 и 28.4 даны БЕЗ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА.

Характеристики

Список файлов книги