В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (первый семестр) (1108903), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

В качестве примера рассмотрите функцию f x   x2 и f x    x2 .144Точка, в которой направление выпуклости меняется на противоположное,называется точкой перегиба. Если существует f  x  , то, поскольку в точкеперегиба x0 производная имеет экстремум, в ней вторая производная равна 0,т.е. f  x0   0 .Например, f x   x3 имеет в x0  0 перегиб, так как слева от x0  0 , т.е. приx  0, f  x   0 , а при x  0 f  x   0 .В самой точке x0  0 , f  0   0 .Разумеется, равенство f  x0   0 - это необходимое условие точкиперегиба. Оно не является достаточным, как показывает пример функцииf x   x 4 . Она имеет вторую производную f  x   12 x 2 , которая не меняетзнак, но обращается в 0 в точке x0  0 . Эта функция выпукла вниз на.Достаточное условие точки перегиба даёт такое утверждение:Пусть f x , f  x , ...

, f ( n ) x непрерывна на a, b  и пусть в точке x0выполнены условия:f  x0   ...  f n1 x0   0, f n x0   0 .Тогда если n - нечетное число, то x0 - точка перегиба, а если n - четноечисло, то в x0 - нет перегиба.Для доказательства используем формулу Тейлора, с остаточным членом вформе Пеано:f  x   f x0   f ( x0 ) x  x0  2!n 12x  x0  ... fx0  x  x n1  0n  1!nff  x0 x0  x  x n   x x  x n , 0  0 n !где  x   0 при x  x0145Из условий следует, чтоf x   f x0   f ( x0 ) x  x0  f n x0 nnx  x0    x x  x0  .n !Рассуждая, как в случае вопроса о точках экстремума, получаем, что знакправой части совпадает со знаком f ( n) x0  , если n - четное число, и меняется,если n - нечетное число (при x из окрестности точки x0 ).

Это доказываетутверждение.Далее приводится усложнённый вариант доказателства31.1.Выпуклость непрерывной функцииОпределение 31.1. Непрерывная на интервале (a,b) функция f , называется выпуклой вниз(соответственно, выпуклой вверх), если для любых точекx1 , x2  (a, b) , x1  x2 , и любого числа ,0    1 справедливо неравенство(1   ) f ( x1 )  f ( x2 )  f ((1   ) x1  x2 )(1)(соответственно, неравенство(1   ) f ( x1 )   f ( x2 )  f ((1   ) x1   x2 )) .(1’)В правой части неравенства (1) стоит значение функции f в произвольной точкеx  (1   ) x1  x2 , расположенной на отрезке [ x1 , x2 ] , содержащемся в интервале (a,b).

Левая часть в(1) выражает собой ординату точки координатной плоскости, абсцисса которой равнаx  (1   ) x1  x2 ,0    1 , и которая лежит на прямолинейном отрезке (хорде), соединяющем точки M 1 ( x1 , f ( x1 )) иM 2 ( x2 , f ( x2 ))графика функции f.Итак, если непрерывная функция f выпукла вниз на интервале (a,b), то для любых его точекx1 , x2  (a, b) , x1  x2 , график функции f на отрезке [ x1 , x2 ] расположен ниже хорды, стягивающейконцевые точки графика на этом отрезке (см.

рис.1, а)).146Рис.1Аналогично, заключаем, что если непрерывная функция f выпукла вверх на интервале (a,b), то длялюбых его точекx1 , x2  (a, b) , x1  x2 , график функции f на отрезке [ x1 , x2 ] расположен выше хорды,стягивающей концевые точки графика на этом отрезке (см. рис.1, b)).Обозначим(1   )x1   x2  x . Тогда  ( x2  x1 )  x  x1 , откудаx  x1x x,1    2.x2  x1x2  x1Неравенство (1) принимает видf ( x) x2  xx  x1f ( x1 ) f ( x2 ) ,x 2  x1x 2  x1или, после умножения обеих частей его на множитель(2)x2  x1  0 ,( x2  x1 ) f ( x1 )  ( x1  x2 ) f ( x)  ( x  x1 ) f ( x2 )  0 .Поскольку(3)x2  x1  ( x2  x)  ( x  x1 ) , то после элементарных преобразований неравенство (4)переходит в неравенствоf ( x )  f ( x1 ) f ( x 2 )  f ( x ) f ( x)  f ( x 2 ),x  x1x2  xx  x2справедливое для любого(4)x, x1  x  x2 .Итак, условие (1) равносильно неравенству (4).В случае выпуклости вверх знаки неравенств (2)-(4) следует сменить на противоположные.2.Выпуклость дифференцируемой функции147Теорема 31.1.

Для того, чтобы дифференцируемая наa, b функция f была выпукла вниз (вверх)на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы её производная функцияf  не убывала (невозрастала) на этом интервале.Доказательство. Доказательство проведём для выпуклой вниз функции. Докажем сначала, что еёпроизводная не убывает.Пусть[ x1 , x2 ]  ( a, b) , x1  x2 . Переходя в неравенстве (4) к пределу при x  x1 , получим:f ( x1 ) f ( x2 )  f ( x1 )x2  x1.(5)Переходя в неравенстве (4) к пределу приx  x2 , получим:f ( x2 )  f ( x1 ) f ( x2 ) .x2  x1(6)Из неравенств (5) и (6) следуют неравенстваf ( x1 ) f ( x2 )  f ( x1 ) f ( x2 ) ,x2  x1это и требовалось доказать.Обратно, пусть производная функцияf  не убывает на a, b.

Пусть [ x1 , x2 ]  ( a, b) ,x1  x2 . Следует доказать, что выполняется неравенство (4). Для этого заметим, что f ( x)дифференцируема наa, b, следовательно, непрерывна на a, b и непрерывна на [ x1 , x2 ]  (a, b) .Тогда по теореме Лагранжа, применённой к отрезку[ x1 , x],гдеx1  x  x2 , находим:f ( x)  f ( x1 ) f (c1 ) x  x1  f (c1 ), x1  c1  x .x  x1x  x1(7)Аналогично, по теореме Лагранжа, применённой к отрезку [ x , x2 ],.f ( x2 )  f ( x) f (c2 ) x2  x  f (c2 ), x  c2  x2 .x2  xx2  xТак какf  не убывает на a, b, выполняетсянеравенство(8)f (c1 )  f (c2 ) , из которогоследует, ввиду (7) и (8), неравенство (4), равносильное выпуклости вниз рассматриваемой функции.148Теорема 31.2. Функцияf ( x) , дифференцируемая на интервале a, b,тогда и только тогдавыпукла вниз на этом интервале, когда для любой точки x0  ( a, b) и любой точкиx  ( a, b)справедливо неравенствоf ( x)  f ( x0 )  f ' ( x 0 )( x  x0 ) .Противоположное неравенствоf ( x)  f ( x0 )  f ' ( x 0 )( x  x0 ) ,справедливо для всех,x, x0  ( a, b) тогда и только тогда, когда функция f ( x)выпукла вверх наa, b.Доказательство.

Доказательство проведём для случая выпуклой вниз функции. Пусть сначаладифференцируемая функцияf ( x) выпукла вниз на a, b. Тогда, как установлено в теореме 30.1,справедливы неравенства (5) и (6). Неравенство (5) можно преобразовать к равносильному видуf ( x)  f ( x0 )  f ' ( x 0 )( x  x0 ) .(9)Преобразование состоит в умножении обеих частей неравенства (5) на положительный знаменательи замене обозначений: точкутакже, приx1заменяем наx0 , а точку x2 на точкуx0  x , преобразуем неравенство (6), заменяя точку x1x , считая, что x0  x . Точнона точкуx , а точку x2 наx0 .После этого преобразования снова получим неравенство (9).Таким образом, если дифференцируемая функция выпукла вниз на интервалеx, x0  ( a, b)a, b, то для всехвыполняется неравенство (9).

Для выпуклой вверх функции имеем, соответственно,f ( x)  f ( x0 )  f ' ( x 0 )( x  x0 ) .Обратно, пусть для всехx, x0  ( a, b)Рассмотрим произвольные точкивыполняется неравенство (9).x1 , x2  (a, b) , x1  x2 . Применяя неравенство (9) к точкеx0  x1 и считая x  x2 , получим неравенство f ( x2 )  f ( x1 )  f ' ( x1 )( x2  x1 ) , а применяя его кточке x 0  x 2 и считаяx  x1 , получаем неравенство f ( x1 )  f ( x 2 )  f ' ( x2 )( x1  x2 ) , на основаниикоторых, с учётом условияf ' ( x2 ) x2  x1  0 , имеемf ( x 2 )  f ( x1 ) f ( x1 ) .x 2  x1Следовательно, производная функции f  не убывает на a, b . По теореме 30.1 функцияf ( x) выпукла вниз на a, b.149Геометрически свойство выпуклости вниз дифференцируемой функции f наa, b означает, что еёграфик в пределах этого интервала располагается выше касательной, проведенной в любой точке графика;для выпуклой вверх дифференцируемой функции картина противоположная (см.

рис. 2).a)Y0б)YX0XРис.2Замечание:. Если обозначить( x; x 0 )  ( x )  f ( x )  f ( x 0 )  f ' ( x 0 )( x  x0 ) ,то свойство выпуклости вниз(вверх) дифференцируемой функции f налюбой точки x0  ( a, b) неравенствоa, b равносильно тому, что дляx  0 ( x  0 ) справедливо для всех x  (a, b) . Отметим, что( x 0 , x0 )  (x 0 )  03.Выпуклость дважды дифференцируемой функцииТеорема 31.3. Для того чтобы функция f, дважды дифференцируемая в интервале (a,b), былавыпуклой вниз (вверх) на (a,b), необходимо и достаточно, чтобы f " ( x )  0 ( f " ( x)  0) во всех точкахx  (a, b) .Доказательство.

Согласно критерию монотонности функции на промежутке (теорема29.1), условиеf " ( x )  0 ( f " ( x)  0) для всех x  ( a, b) является необходимым и достаточным условием возрастания(убывания) производной функции f’(x) на ( a, b) . Последнее свойство, согласно теореме 30.1 предыдущегопункта, является необходимым и достаточным условием выпуклости вниз (вверх) функции f на интервале( a, b ) .4.Точки перегибаОпределение 31.2. Точку кривойM ( x0 , f ( x0 )) , x0  (a, b)называют точкой перегиба, еслиона отделяет участок кривой, где функция выпукла вверх, от участка кривой, где функция выпукла вниз.150Если функцияf ( x)дифференцируема на интервале ( a, b) , то по теореме 31.1 в некоторойокрестности абсциссы x0  ( a, b) точки перегиба её производная либо возрастает слева от точкиx0  (a, b) , а справа от неё убывает, либо - наоборот. В первом случае рассматриваемая точка будетточкой максимума производной f’(x), во втором случае – точкой минимума.

Если предположитьсуществованиеf ( x0 ) , то по теореме 24.1 (Ферма), применённой к функции f’(x), получим: f ( x0 ) =0.Это условие играет такую же роль в отношении точек перегиба, какую играло условиеf ( x )  0 в отношении точек экстремума, т.е. оно является необходимым, но не достаточным.Действительно, функцияобращается в ноль приy  x 4 , очевидно, выпукла вниз, но её вторая производная, равная 12x 2 ,x  0.Достаточное условие точки перегиба даёт следующее правило, вытекающее из теоремы 31.3:если при переходе через значениеx  x0вторая производнаяf ( x )меняет знак, то налицоперегиб. Если же знак не меняется, то перегиба нет.Используя формулу Тейлора, так же, как при исследовании функции на экстремум, можно доказатьследующее утверждение:еслиf ( x0 )  0, f ( x0 )  0,..., f ( n 1) ( x0 )  0, f ( n ) ( x0 )  0 , и если n число, то в точкеx0имеется перегиб, если жеnчётное число, то перегиба нет.нечётное151Билет 32.

Характеристики

Список файлов книги