В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 41
Текст из файла (страница 41)
(а — и + 1)х'" Строгое доказательс;тво этого .закона лсзг-ксг проводится методом индукции. В частном случае а = т, где т . натуральное число, получим (хт)(т) = ггг), (хт)(в! = О щзи и, > гн. Таким образом, и;я производная многочзпзна т-г о порядка прп в > пз равна нулю 1). 2'. Далее вычислим и,-ю иронзводнуго показатзап ной функции у = ах (О ( а у'= 1). Последовательно дифференцируя, будем иметь у' = а" 1и а, у( ) = а' 1и а, у( ) = а' 1из а,...
Общая формула, легко устанавливаемая ио методу индукции, имеет вид (а*)( '! = а, 1и" а. В частности (,г ) (п,),.г. 3' Вычислим гг;ю пронзводнуго фуикгппг гг = ягггх. Первую производную этой функции можно заиисаз ь в виде у' =- !зоях .= = аш(:гз+ — ) . Таким образом, дгзфузе1зсгзцировагсгге функции у = = вшх ггрггбаелягпз к аргументу эпгой функции велиешну кг/2. Отсюда получаем форму.су (вш х)(") = вш (х + и — ) . ') Пргз этом мм пепользуем опсо следувппуго очовидпуго формулу (Ли(с)-г-г- Всг(х)]С "г =- Авг"З(х! Е В ° '"'(х), где Л и  — посто!вшие.
Л 10 ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕ1'ЕНЦИА:1Ы ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 185 4'. Совершенно впал!В ично устанавливается формула (сов х)(") = сов (.«> + и — ~ . 2/ ) . В зак>по п>ниг« Вычисти«К! 77-го щ)ои')Водную так ега.'лыВаслах+6 мои дробно-лпне«)ной фг!Нкцгг«7, у =, где а., Ь, с и д -- некогх+д' торые пес!пивные. Пгк)п:довательно днс)>ференцщ)1 я жгу функ- цию. оу.лем иметь а(сх+ г!) — с(г)х -'сь) ( 1 Ь )( ~) — 2 (сх + с!)) у( ) = (ад — Ьс)( — 2)(ох + д)" ' с, у(71) = (ад — Ьг)( — 2)( — 3)(сх + д) лс2.
Легко усмо !реть н общий закон , +1, (и) у(") = ( ' ) = (ад — Ьс)( — 1)" «й(ох+71) (™с" ),сх Л- с! котОрый может бег!! Обоснован ПО методу индук«Н1и. 3. Формула Лейбница для и-й производной произве- дения двух функций. В то время как ус:танов:к)нное вьппе правило вычигглен!ля первой производной от суммы или разно- сти двух функций (7)+7«) = и ~е легко нервно!:птся (например, по метод1 индукции) па с!т, Еай и-Й производноЙ (77, + е)(щ = и(") + и("'), возникают болыпие затруднения прп вычнсшшпги и-Й производной от произведения двух функций иг«. Соответствующее правило нос!лт название формулы Ле«167«гл- ца и имеет следующий вид: ( 7 )(««) (а)е + С!7)( !)7>7 + + С2 (В 21, (21 + Сза(п з)г«(з),, «гг«(п1 (5 52) Легко подметить закон, по которому построена щ)авая часть формулы Лепбнипа (5.52): она сиат«адает, с г!)Орму««о«1 рав>)озсе- «игв бтюма (и + 7 )", я«иаь амеслао степеней п н 77 стоят пра- изаод«гые соопеоетстау«огц«лх порядкот Это сходство становится еще более полным, если вместо самих функций г«, и п писать со- Отвг)тствллнно 77( ) и е( ) (т.
е. екв!и 1)асг:матривать сам1 г)>1нкцию как производнун>нулевого порядка). Докажем формулу Лейбница по методу индукции. При и = = 1 эта форму.ш принимает внд (ги7) = и и + 7)г ., что совпада- ет с установленным вылив (в 8 3) правилом дифференцирования пронзведешля двух функций. Позтокгу достаточно. щ)едположив справедливо!:ть формулы (5.52) для некоторого номера и, до- казать ес, справедливость лля следующего ноъпгра и+1. Итак, 186 ОснОВы ЕЧВФФеРелчЦиллы1ОГО ис'1ис.'!ения Гл. в пусть дтя некоторого номера н формула (5.52) верна. Продиффсрс)н)тнр11)м э)т1 форм?.11 и с)бьс)дтчнилс с")атас;мыс;, стп)ятпис) в п?)т)вой час1И, '1ак, как э10 указано ниже'.: (717))(7)ч 1) = 71(с)т1 и + [Сот)(сг)т)7 + С171(7)?и)1 + (С1и(и,— Ц и(21 + и и и ' + С тл(™т~( )" + )[С т)(' )и(1 ) + С тл(и - )7)(з)1 +...
+ 1)т(и+ ). (5.53) (При эси)м мы воспользовались тем, что 1 = Са). 1?з элемент)рного курса известно. что для лк)бого номера й, не превосходящего п. справс)длпва формула ) Л: — 1 Л: Си + С„= Сит). Пользуясь этой формулой, мы можем следующим ооразом переписать равенство (5.53): (ит))(ит)Л = тл(и+1)7 + С,', иси)ад+ С„и(и 'Чтй Л + ..
+ итало" ') и-1-1 и-~-1 Тем самым доказана справедливость формулы (5.52) для номера (и, + 1). Вывод формулы Лейбница завершен. П р и м е р 1. Вычислить 7);)о производную функции у = —:г- сов сг. Воспользуеъи:я формулой Лейбница, положив в ней в и = сов х, и = т;. В таком случае для любого номера й тс(л) = = сов [х + й — 1. 7)' = 2х. 7)(з) = э. и(з) = с(т) =... = О. Полу птм 9/ ' у(и) = х сов (х + и — 1 + 2нх сов [х + (и — 1) —,1 + + п,(п — 1) соа [сс:+ (и — 2) — 1.
21 П р и м е р 2. Вьгщслить 7).-ю производную функции у = = хас*. Воспользуемся формулой Лейбница, поло)кпв в ней и = = с", и = х". То да дл любо о о. ера й н(в) = с', т' = 3хт. 7)(е) = бх, и(1) = 6, и(ч) = и("1 =... = О. Получим ЧЧ(иЛ = (хз + 37)хз + 3п(н — 1) с; + н(п — 1)(н — 2))с"', Расс:мотренные примеры показывают, что формула „'1ейбнтща особенно эффективна в саучае, когда одна пз двух перемножаемых функций имеет тиань конечное "сигло отпли лных отв нуля 7)РО711)С)Одт)ЫХ.
4. Дифференциалы высших порядков. В рассуждениях настоящего пункта мы будем использовать для обозначения днфференпиала наряду с с:имволом д также и с:имвол Ь (т. е. будем писать там, где это удобно. вместо дх п ду симвс)лы Ьх и Ьу). ') Ворочая, эта фора)у.)а элементарно 7)роаортссчтя. 1 Го ПГ'ОизВОДГГые и диФФеГ'енпия:Гы Высших ГГОгядкОВ 187 Предположим, что функция у = ф(х) дпфференцируема в нс.кото1ГОЙ ок1еестнос:ти точкес:го.
)Осла пс;1ГВЫЙ Диффе1есснпиЗ.з ду:етОЙ с)еуескссееи Гсмсес!т ВГГ Г ) суу = ф (:г)ассс п яВлясстся с))уескГсис',Й двух псе1)ссмсеесных: то'!ксс х н Все сичнны с(:сь Предположим дополните.сьно, что функция (ч(:г) такекс является дпфферснцирусмойс в точке хо н что величина дх имеет Одно и тО же фикссц)ОВанное зесееченссе для Всех точек:с: 1)асс:матриваемой окрестности точки хо. При этих предположениях существует диффоренциал функции ду = — гн(х)асх в точке хо, который мы будем обозначать символом б(дд), причем этот пос;нсдний дифференциал определяется формулой б(ссу) = ЬГВ"'(сс)дсг)! — = (ун(х)инск)'! . Йх = уо(сссо)с)хс(т (5 бой) Определение.
Зссичение б(ду) дифференциала от первого дссфференцсссслсс с)у. Гсзяпсое ирсс бх =- Йх, ниссьсссиюпс в пс о р ьс .и д гс ф ф е р е ес ц сс, сс л сс лс фсснкцсссс у = ф(х) (в точке хо) и, обовничаеот ссслсссололс 0 у. Из формулы (5.54) и Гю определения второго дифференцслеела вытс.каст. что с) д = ф (хо) (дсг) . (бе.о5) Заметим. что так как мы считаем величину дх фиксированной, то нз опредстсния второго дифференциала сразу жс вытекасп, что вто1еой дифференциал псмависпмой переменной сс х равен нулю. Совершенно аналогично последовательно определяк>тся дифференциалы более высоких порядков. Предполагая. что производная порядка (н — 1) функции у = Г'(:ГГ) дифферепцируема в точке:с;О (т.
е. предполагая. что фупкссия у = ф(х) имеет в точке хо пРоизвоДнУю поРЯДка н), мы опРеДелпм Д и ф ф ерснциал нго порядка днуфункцнпу=ф(х) (втсечке хо) как дифференциал б(др Гу) от дифференциала (н — 1)-го порядка д" у, еззятый при бх = исси. Для диффе1етщиала Гс-гсе ГГО1еядка дну метало~ нндукссии элементарно устанавливается формула сн с(сс)( )()с )н, (5 бб) В самом деле, при ГГ, = 1 н н = 2 формула (5.56) сссраведлива.
Предположим. что эта формула с:праведлнва для некоторого номера (н — 1), т. е, предположим, что дн 'у = 7" (и ')(ГГ)(дх)сс ) сегдсе. Со~ласно ОГГрс;дсстсснпю дпд, Гнгсу псм ) ') См. п. 1 з 9, формулу (оц39). ~) Мс с опускаем индекс 0 у точки г. 188 ОснОВы ЕЧНФФеренЦ!члг1ы!ОГО нс'1ис:!ения Гл.
э <1'*7< =- д(ь<" '<у) 1дкГ йк= д[!'(" 1)(хн«х)н ') ! -,, „,, = =. )(")(х)(<Ух)" 'дх!„! = !<в)(<г)(«х)п, т. е. справедливость формулы (5.56) установлена, Из формулы (5.56) вытекает саед)чо<ц< е выражен!<е для производной порядка и: у(в)(,,) <! У (пх)" (5.56') ОЧЕНЬ Ва>КНО ОТКН!ТИТ<ч ЧТО ПРИ 71 ) 1 фо))МУ2!Ы ( <.О6) И (5.56') справедливы, вообще говоря..пппь тогда, когда:г являет<я незаВН<имОЙ порем<',ннО<ч (т.е. ВтОрой и по<ледук<щие дифференциалы не обладают. вообще говоря.
свойством ппвариантностн формы). <<тобы убедиться в этом, расскютрим вощюс о вы ппленнн второго дифференциала (дважды днфференцируемой) функции <у =- ((<г) в предположении, что переменная х является дважды дифф<чр<.<щн)!у<!мой <рункци<ЧЙ некоторого а)<гдаюнта й Используя равенство (5.39) и формулу д(ии) = иди + 7<до, получим «у = д(йl) ! -. < — — 5[7'(<х)<й!) = — [«ХЯ[)'(Х)~)+)'(Х)Ь(«71))[д~ <и — — [«Х [" (711)бХ)! „+~'(Х)й~Х. цтак <!277 )л(т)(<11.)2 + )г<(х)<ах П<кледняя формула отличается от (5.55) наличием в ней дополнительного и, вообще говоря. не равного нулк< члена (<(т),)2х 8 11.
Дифференцирование функции, заданной параметрически В этом па))а<))афе мы ОстаноВимся на а<<у<<!дик<1 Вычи<"и!ныя !Й<оизводнык функции. задапноЙ па)зам<<т)зп «<скн. Пусть х и у заданы как функ<<и<< неко! О)юге !г!)замет)<а й х = — <)7(1). у — <)7(7). При этом з<ы предположим. что функции <р(д) и <)7(1) имеют нужное число пронзводнык по переменной 1 в рассматриваемой об.!асти изменения этой переменной. Кроме того, мы щи<дположим.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
