В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Теперь мы можем утверждать, что производная любой эле,ментирпой функции представляет, собой тикэюе элеменптрную функцию. Таким образом, операция дифференцирована,я не выводит. нас иэ класса элементарных функций, 9 9. Инвариантность формы первого дифференциала. Некоторые применения дифференциала 1. Инвариантность формы первого дифференциала. В конце 9 2 мы установили. |то для случая, когда аргумент х является яеэаеисимой переменной. диффсренпиал функции у = 180 ОснОВы ДиФФереиЦилльнОГО исиислес!ия Гл. з = 1(сх) определяется формулой йу = 1 (х)дх.
(5.39) В зтоъс пункте мы докажем, что формула (5.39) является универсальной и справедлива не только в слу сае. когда аргумент х является независимой перемесшой, по и в слу сае. когда аргумент т, сам является дифференцируемой фуш(цией некоторой новой переменной 1. Указанное свойство дифференциала функции обычно называют инвариантноспсью его формьс. Итак, пусть дшса дифференцируеалая в некоторой точке х функция у = 1 (х). аргумент х которой представляет со(юй дифференпируемую функции) з: = ср(с) аргумента 1. В таком случае мьс можем рассматриватс. у как слозюпую функцсго у = з [(со(с)с а1нумента 1.
а х как промежуточный аргумент. В силу теоремы 5.5 производная у по Х определяется формулой / = ф (х)(р (1). (5с40) Поскольку переменную 1 мы можем рассматривать как незав(ссимую, производные функций х = (р(1) и у = С [(сэ(с)] по аргументу 1, согласно установленному в конце 3 2, равны отношении) дифференциалов зтпк фус(кций к (1(. т. с. (р'ф = —. у' = (Д(сэ(1)1) Вставлюс зти значения щюизводнык в формулу (5.40), придадим этой формуле Вид т' = ~з(х)'1( (5А1) Умножая обе части равенства (5.41) на (11, получим для ду выражение (5.39).
Тем самым доказана сснвариантность формы первого дифференциала функции. г. е. доказано, сто ксск в случае, когда аргумент х,являегпся ссезавссссслсой с)ереме)с)со(с, так и в случае, когда аргумгнст х сам явл„яепссл дссфференцируамой функцией друг(кй пергмелснвй, дифференциал дус функции у = = 1'(т) равен производной этой функции.
умноженной на дафференцссял (аргументна дх. По-другому свойство инвариантности дифференциала можно сформулировать так: просюводссая функцсис у = ф(х) всегда ') р(с(сна «тнвсиясния) днфф(срвнциала,этой фусса цсслс. Йу к дифференциалу аргумента дх. т. е. (5 с12) ) То е(ть как в глучас, когда аргумент и является независикюй перЕменной, так и в с)сучке[когда х сам является днфференцируемой функцией неко горов друс ой переменной. 1 в нннлгилнтнооть а огмы пкгвого дужек| кнцнллл 181 Доказаинс|е раис'.яство (о.42) позволяс|т нам в дальнейшеы иснй пользовать отношение — '' для обозна'п|нпя производной функ!сх ции сс = «(х) по ар| уыенту х. Заметим в заклк|чение. что после того.
как доказано равенство (5.42), правило дифференцирования сщожнои функции принимает вид простого гож |ества: с12/ 4|/ нх (5.43) сй с|х 4| Столь же щюстой впд приобретает правило дифференцирования обратной функции: (5 44) Подчеркнем. однако, |то раве|птва (5.13) и (5А4) не.,сьзя рассматрив|п ь как новые методы доказательства теорем 5.5 и 5А. ибо формулы (5А3) и (5А4) существенно исполыукп факт инвариантности первого дифференциала. установленный нами именно при помо|пи тс|орс.мы 5.5. 2. Формулы и правила вычисления дифференциалов.
54ы досомали. что дифференциал с1у функции у = «(х) все|да раис|и прснсзвоцной втой фйнкции «(т).. 1множенной на диффсь ренцивл аргумента сЬ. Таким образом, таблица п1|оизводных! выписщ|ная нами в п. 3 3 8, приводит к сс|отвс|тствт |огней таблице диффсренци|шов: Г. с«(х )=ох |с1х. В частности, с1 ( — 1 = — — „, с1(;сх) = |,х|/ х| ' 2;~х 2'. с«(1об„х) = оК'ес1х (х ) О. О < а у'= 1). В частности, с1(1пх) = — 'х.
3'. с1(ссх) = ах 1пссс1х (О < а ф 1). В частности, с1(ех) = ехс1х. 4', с1 вш х) = совхс1х. 5'. с1 сов х) = — вшхс«х. 6', с1(18 х) =,, = (1+ Це х)с|х (х ф — + яи, где и = О, х1! 7'. с«(с|Г8х) = — „' = — (1+ с18ах)сХх (х ~- 'лгп. где п, = О, ||!|г х х1,... ). 8', д(агсншх) = " ( — 1 < х < 1). Л вЂ” |"- 9'.
сс(агс|с|ов х) = — ( — 1 < х < 1). 10'. |1(агс18х) = 11'. сс(агсссй х) =— 182 ОснОВы ДНФФеге!(Цил.'1ы1ОГО нс'!Нсг!ения Гл. а ах+ Ьх) =.~(х)+.(н(х) ~х (5. 46) По формуле (5.46) функция ч' для значений аргумента, близких к .х (т. е. для малых Ьх), приближенно заменяется линейной функцией. В )астности, из фору(улы ().46) мо)кет быть получен ряд уже известных нам из гл. -1 приб.,шженных формул. )Так, полагая 1'(х) = (1 + х) '1", х = О, получим. что (1+ Ьх)1(' =1+ х (5.17) Полагая 1'(х) = я)п х, х = О, ш)лу )им эш (лх — (ах. Полагая. 7(х) = (.', х = О. получим е -1+Лх. (5.'19) (5А8) 11 ) Относительная погрешность равенства (ояу) определяется отношени,1у - (Чу ем ' . Отметим. что, по определению дифференциала, Ьу — 4у =. о(Лх). Из формул (5.16) и из соотнопп)ния (5.39) непосредственно вытскак)т следующие правила для вьг(и(пения дифференпиала суммы, разности. произведения и (астного: (1(11 шп) = (1(1 ш(1ай (1(пу) = ш)и+ п(ай (1( — ") = 3.
Использование дифференциала для установления приближенных формул. Хотя, как мы видели в 8 2, дифферевциат (19 функции у =- „((х)) не равен приращении) Ьу этой функпии. но с то Чностьк) до бесконе(но малой более высоко(-о порядка. (ем (лх. с(О)аведливо 16)иближ()ппое раве)ц:тво 71у =(19. (5.45) Относительная 1) погрешность этого равенства становится сколь угодно малой при достаточно малом Ьх.
Формула (5А5) позволяет приближенно заменить приращение ЛЧ(! функции у = — 1(х) е(' диффсренцигьлом (4(д Преимущество такой зау(сны состоит в том, что дифференциал (19:)ависит от (дх линейно„в го время как приращение Лу. воооше говоря. представляет собой более ()пОжн(1О фу нкци1О От Ьх. 14ун)я В Виду, ьпо приращение функции Ь(у О!О)еделяется формулой (5.1).
а дифференш(ал (19 определяется формулой (5.14), мы придадим приближенноа(у равенству (5.45) следу)ощий вид: 1(х + (лх) — 1(х) — ) (х) Ьх 1)о ш оизводныв и диееврнициулз)ы высших порядков 18З Полагая «(х) .=- 1п(1 + х). х = О. >юлу шм 1п(1 + Ьз)) — Ьзз (5.50) Каждое из равенств (5А7)-(5.50) справедливо с то шостьк> до бе>сионе", )но маз)ой) более Высокого порядка. Нзм Ь~. Равенства (5.4?) (5.50) в форме точных оценок уже были установлены нами в конце ч 7 гл.
1. й 10. Производные и дифференциалы высших порядков 1. Понятие производной тл-го порядка. Как уже отмечалось в п. 2 ~ 1, производная «о(з:) функции р = «(х), опредсгюнной и дифференцируемой на интервале (а, Ь). представляет собой функцллю, тллкжс апределеннйн) на интервале (а,, Ь). Может слъ'1иться, ГГО эта функция «'(х) сама яВляется дифферл>нци- ръох10Й В нлек010рОЙ то'1ке .7: интервала (а, 6). т. )ь имеет В этОЙ точке производнук>.
Тогда указанную производнук> называют второй про)>вводной (илн пранзвод)>ой 2-ао порядка) фънкции р = «(х) в точке х и обозначают символом «( )(х) или у( )(х) '). После того как введено понятие второй производной. можно пощп.довательно ввести понятие> т1>еты;Й щ)оизводной). затем четвертой щ>оизводной и т.
д. Елтти предположить. что нами уже введено понятие (и, — 1)-й производной и что (и — 1)-я щюизводпая дпфференцируема в некоторой точке х иптерва.за (а, 6). т. е. имеет' В этОЙ '10'ПО'. щ)ОизВОдньи). то ука>анн)к) щ)ОИЭВОдную на:>ывак>т п,-й производной (или пронзвадной 11-га порядка) функции у = «(х) в точке х и обозначакн сима)том «(")(х) или , 1и)» Таким образом. мы вводим понятие и-й производной ипдуктивно, переходя от первои прои:>водной к полщедук)щим, Соотношл.ние, О)0>едл.:)як)щее >л-)О производную.
Имев) вид ,1«(а) (1«(а-1)) (5 51) Фрнкцпю, пме>олцую па даппл)м мпонссс)пвс (и) капа лпую про)а>в>од)лрю порядка, и. Обьтнл) )газыгн)ют, и раз д>л>))фсрвпц)лррвмой па даннолл мпоз>состое. Понятие щи>изводных высших порядков находит многочил)тенные применения в физике. Здесь мы ограни )имея тем. что укажем механический смьил второй производ- ИОЙ. Ел Ти фънкпия 1« = «(х) описыва~т закон движения материальной точки по прямой линии. то, как мы уже знаем. первая производная «(х) дает мгновенную скорость движупп>йся точки ') В)орую производную функции В = «(х) обозначают также символом «"(х)или ра(х). 184 ОСНОВЫ '!ИФФЕРЕНЦИЛ'1Ы1ОГО НСе!ИС'!ЕНИЯ !''1 В в мохизнт в(!с хи;ни х. В гаком сщ час. вто(зая щзопзводная ('( 1(сгз) равна скориспт иямегсения скоростщ т.
е. равна ускорсниго движу щсзйсис то !ки в мох!с.нт в(земс;ни х. Заметим, что методика вы пиления производных высшего порядка предполагает умение вычислять только проияеодньзс. первого порядка. В качестве щзимеров вычислим щюизводные п-го порядка некоторых простейгпих элементщигы:с функций. 2. и-е производные некоторых функций. 1'. Вычислим гг,-ю производнунз степенной функции у = хо (х > О, а любое вещественное чнс'ло). Последовательно дпфференпируя, будем имет! у' = ахи '. у(а) = сз(сз — 1)хзо ~, у(~) = а(а — 1)(а — 2)х Отсюда легко уяснить общий:закон (х")(вг =- а(а — 1)(а — 2)...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
