В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Тогда на множестве. (и) существует первообра ная и дяя функцисс сс(х)ю'(х), причем справедлива формула п(х)и'(х) с!х = а(с)и(х) — ю(сх)сс'(х) Ах. (6.8) | з г ~ ~~ ~ с ~ ~ ~ ~ | 3 а м е ч а н и е. Определение дифференциала и свойство пнвариаптности его формы позволяет записать формулу (6.8) в ВИДЕ (6.9) Дс!я доказательства сформулированного утверждения запишем формулу для производной произведения двух функций и(х) 11 о(х) (и(з:)и(х)) = сс(з;)71 (х) + 'и (х)и(з;). (6.10) Ухсножитс равенство (6.10) на с7х и возьмем интеграл ог обеих частей полученного таким путем равенства. Так как по условя!о для Всех сс; пз множества (х) суп!ествуст /и(с)и'(х) дх н ) (сс(х)и(сг))' й с = и(х)и(х)+С (см. свойство 2' из и. 3 9 1), то для всех х из множества (х) су!пествует и интеграл ) сс(х)и (т) с)х.
причем справе:!лина формула (6.8) (или (6.9)). Формула (6.9) сводит, вопрос о вычислении сснгпег1юла ) и!1!с к вычислен!ив слнтсграяа / ю ди,. В ряде конкретных Осучаев з го г последний интеграл без труда вычисляется. нкош кдклкнный инткс сил 200 !л.а Вычисление интеграла ) и г1ги посрсдствоь! применения формулы (6.9) и называсот гснгпеа1ссгроаассиелс ио частям. Заметим, что при конкретном применении формулы интегрирования по частям !6.9) очень удобно пользоваться таблицей дифференциалов, выписанной нами в п. 2 2 9 гл. 5. Переходим к рассмотрению примеров. с'.
Вычислим интеграл 1 = )':ггс )ссх г1г, (и ф — 1). Полагая и = )пи, гйс =;со г1х и используя формулу (6.9). получим гйл = 1 а+1' = — 1 г; — /Г.:" 1х = — ' 1п: — — ) — - С. сс+1 Са-Ь1) / и+1 гг-Ь1! 2". Вычислим далее интеграл 1 = / х асс1я х г1х. Полагая и = = асс!я:г„г1и = х гЬ: и слспользуя формулу !6.9). будем иметь г1х х г1и=,и= —, 1ч-хс' 2 ' 1 = — агс1езг — — / ' г1х = — агс1ях — — /, г1х = х2 1 1 хс хс 1 Г К1+хя) — 1) 2 2 / 1+хс 2 2 / 1+хс Г 1 Г ггх = — агс1ях — — / г1х+ — / = ' агс)йх — — + С. 2 2/ ' 2/ 1+х' 2 2 3'. Вычислим интеграл 1 = ),гс сов х г1т..
Сначала применим формулу (6.9), полагая и =:г-'. г7и = сов т, г1гг. Получим г1и = = 2:г г1х. и = вшх, 1 =;с:2 вш,г, — 2 ) хвшх с)х. Дгся вычисления последнего интеграла еще раз применим формулу !6.9). полагая на чгот раз и = х, г1сс = вшх гЬь Полу сим гРсс = г1х, и = — сов х, 1 = хя ейп х + 2х сов х — 2 ) соа х г1х = 1х2 — 2) сйп х + 2х соа х + С. Таким образом. интстрал ) ха сов т. гсх вьгсислсн нами посредством двукратного интсгрслрования гсо частям.
Легко понять. 'сто интеграл ) и сов х гЬ: !Гдс: и — .чюоос; цело!! положите.сьпое число) может быть вычислен по аналогичной схеме посредством и-крат!гого интегрирования по частям. 4'. Вычислим теперь интстрал 1 = / е"' соа бх гЬ: (а = со!!в!, 6 = со!!а!). Сначала применим формулу (6.9), полагая и = е"', а г ягсс Ь! г1и = сов ба г1х. Получим г2и = ае 'г1х, и = — ".
в Ь !сг Ьля вычисления последн!то интстрала еще раз применим формулу (6.9), полагая на атот раз и = еа"', г1и = вш6 а г1х. Получим 201 основиыв мвтоцы интвп ировлни>1 сов бх йл = ае" 11х„о — —— Ь + —,, е " сов Ьх — —, 1. с в>и Ьх г> ах г> Ье (6.11) 1аким образом, посредством двукратного интегрирования по частям х>ы получили для ин>1гсрала уравнение первого поряд- ка (6.11). И> злого уравнения находим г л,о.
Ьх -ь Ьв> Ьт, е ". о> -1- 1р где а, Ь. с - некоторые постоянные, и, - любое целое поло>кительное число (см. выше. пример 3'). Интегралы оп>орой группы берутся путем и-кратного применения формулы интегрировашгя по частям (6.9), при п>х1 в ка.гоств>> п(с) ~~~~~й раз следует орать (ох+ Ь) в согни>тсгвук>пшй степгни. ПО1 и.
каждого интегрирования по частям ага степень будет понижаться на единицу. 3) К трет;ьей группе относятся интегралы вида | еахсонйх 11х. ) еахвгцЬх 11х. | нш(1пх) 11х, ) соа(1пх) йх, ... (см, рассмотренный выше прим1>р 4'). Обозначая л>обой и:> интегралов чтой гру>шы 'крез Х и пронзво,(я двукратное интегрирование по частям, мы составим для 1 уравнение первого порядка. Конечно. указанные три группы не исчерпывают всех без исключения интегра.юв, оерущихся посредством интегрирования по частям.
Приведем примеры интегралов, не входящих пи в одну из перечисленных трех групп, но вычислимых при помощи 4>ормулы (6.9). ) В Случае, еели подынтегральная функция годержит в качеетво множителя (агсгкх), (агссок х)>, ..., формулу интегрирования но частям (б.9) придется црименить дважды. Практика показывает, что большая часть инт>тра.юв, берущихся посредством интегрирования по частям, может быть разбита на следующие три григ>гия: 1) К первой группе относятся интегралы, подынтегральна51 функция которых сО.11>ржи> в ка'п>ство множи гел5! Одну из следуюгцих функций>: 1пх, агсашх, агссовх„агсфхз (агс16х)-', (агссовх), 1нр(х), ...
(см. рассмотренные вылив примеры 1' и 2'). Для вычисления интегралов первой группы следует применить формулу (6.9), полагая в ней и(1г) равной одной из ука- '1>ацных выше функций ). 2) Ко второй группе относятся интегралы вида НКОШ КДКЛКННЫй Нити! ! ЛЛ 202 1Л. 6 х Их 5'. Вычислим интеграл 1 = /,," . Этот интеграл не входит / совг ц пи в одну ллз упомянутых трех групп. Тех! не менее, применяя г!х формулу (6.9) и полагая в ней и =:гг л)е =,', получим гггг = сов х = г!.с, е =- 1а х, / в!ггх Нх 1 = гг1кх — 1ах с)х = х1ях — / соь х =.г:1йх+ = хФах+ )лг!соах)+ С. соь х б'. Вычислим, наконец. весьма важшлй для дальнейшего ин- )1 тегРал Кл = 1, г где а, = сопя!, Л = 1,2,...
Этот инте/ (сг+аг)г ' грал также не входит ни в очну из упомянутых выше трех групп. Для вычисления этого интеграла установим для нел о рекуррентную формулу, сводящую вопрос о вычис гении Кл к вычло и!в пило Кл Можно запил ать (нрлл Л у'= 1) 1 / а лн 1 / )(сгч-гг ) — Л )г)1 аа / (12 ! аг)г сгг / (12 1. аа)л 1 )Г г!1 1 / 21г!! 1 - 1 / г1(1~а-а ) аг / Ллг Ьцг)г — г 2аг / 'Лса ! аг)г цг 2аг / 'Лгг Л цг)г' Для вычисления последнего интеграла применим формулу интел)!1 +а ) грирования по частям (6.9).
полагая в ней лг, = 1г с!лл = !Кг -!- аг)" — ! Получим Йп = Ф, и = гЛ 1)глг+ца)г — г' Р Л ' 2 -'<Л вЂ” !Нлач- г)'-' 2.а1Л вЂ” П КЛ-! Из посгтл".дллелГО !)авснстга пату лллм! 1)еку)г))ллллтллбю фо1)мулб 2агЛЛ вЂ” 1)(ла -1- аг) ' аг (2Л вЂ” 2) Убедимся в том, что рскуррснтпая формула 16.12) пошлоляст вычислить интегра.! Кл для любого Л = 2,3,... В самом деле. иглтеграл К! вычисляется элементарно г11 1 г)Ясг) 1 1 =- — агс1 я — + / Кг э агг а / (1Лга)а+! а а После того как вьгшслен интеграл Клг полагая в формуле 16.12) Л =- 2, мы без труда вычислим К' .
В свою очередь, зная Кэ и полагая в формуле 16.12) Л = 3, мы без труда вычислим Кл. Продолжая действовать таким образом дальше, мы вы плслим интеграл Кл для любого натурального Л. Г.ййВА 7 КОМПЛЕКСНЫЕ т4ИСЛА. АЛГЕБРА МНОГОНЛЕНОВ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ЭЛЕМЕНТАРНЫХ Ф'УНКЦИЯХ В предыдущей главе было указано, что неопределенный интеграл от элементарной функции, вообще говоря, не является г.кь ментарной функпией.
Тс м не менее существуют довольно широкис классы функпий, интегралы от которых представляют собой элементарные функции. (Тагсгге классы функций мы будем на:зывать синтегрсгруемылт в элементарньгх функцггях.) Изучение указанных классов функций и составляет основную цель настоящей главы. Поскольку среди указанных классов функций одним из основных является клисс рациональных <Яункцггй, мы должны прежде всего уточнгпь наши представления о многочлснах и рапиональных функциях. Дггя этого в свою очередь требуется уточнить налит сведения о комплексных числах.
й 1. Краткие сведения о комплексных числах Дпа оегцгствснных члюла х гг у мьг будем низывать упорядоченной парой, еслгг указано, какое из этиа: чис:ел, явллвтсл первым, какое вторьгм. Угсоряточенную пару вещественных чисел х и у будем обозначать сягтолом (х, у). записывая на первом месте первый элемент пары х. Комплексным числом ггазывается упорядоченная пира (х, у) велцссппвенныт. чггссл, первое из которых х нигьгвиется действительнсгй частью, а второе у - мнсгмог1 частью этого комплексного числа,.
В случае, когда мнимая часть у равна нулю, соответствующуго пару (х, 0) договариваются отождествлять с: вещественным числом х. Это позволяет рассматривать множество всех вещественных чисел как часть множества комплексных чисел. Дви комплектгых числп, хг = (хг,уг) и гг = (хг, уя) низьюа- 204 интеГРНРОВАн1!е В и:1ементАРных Финки/17!х Гл. 7 |07пся 772777еымп., Г/сл|! х1 = хв, 1/! = 7/2. Говорят, *1то ь|еьмпле.*ьс7!ГЬГ'.
число г = (х, у) раепо ну/ли!е!, есм! х = 0 и у =. О. Определим операции сложения и умвожепия комплексных и!сел. Поскольку веществеппые *плела являк!тся частьн! Зшожества комплекспых чисел, эти операции должць! бьгп определепы так, чтобы в применении к двум вещественным числам они приводили к уже известпым пам из 8 2 гл. 2 определениям суммы Ел произведения вещественных чисел.
Сумм!!|Г, дОУх комплеьсиь|х Е|!!|ел 2! =- (х|.,У!) и 22 — (х/ У2) 7|п„766||м ьзомплГ|ксиОГ! я||ело з епдп =(|1+х2 7/!+У2) ° (7.1) П7ГГ|пзееде!ЬЕ!Гем дейЕ/ес комвлекспь|х чисел. 21 = (х|. у!) и 22 = (х2, у2) |ЬОПОПе:м ь|ом7|ле|ь;с|!Г/6 ч|!сло е 6||да (||1х2 У1У2~ х1У2 + |12 Ч1) ° (7.2) Легко проверить, что сумма и произведение комплекспых чисел обладают теми же самыыи свойствами, |то и сумма и произведение вещественпых чисел. Имеппо справедливы следук|щие свойства: 1'. 21 + 22 = 22 + з~ (переместптельпое свойство суммы). (-! + 22) + зз = 21 + (22 + хз) (сочетательпое свойство суммы).
3'. е+ (0,0) = е (особая роль плела (0,0)). 4'. Для каждого числа = (х, у) существует противоположное ему число з~ = ( — т,. — у) такое, что е + е~ = (О| 0). 5'. з! 22 = 22. 21 (переместительпое свойство произведения). б'. (21 22) хз = з! (ия зз) (сочетательпое свойство произведения). 7'. з .(1,0) =,. (особая роль числа (1.,0)). 8'. Для лк!бого коьшлекспого числа г = (х, у), пе равного пули|.
существует обратное ему число — = ( ( |! 1 , ~ |ь 1 ь Е 1 такое, что и . — = (1, 0). (х! + и2) ' хз = 2! ' Сз + 2 ' 23 (расг|ре/Еелительпе!Р свойс1во произвсдепия отпосительпо сумыы) . Свойства 1' 9' позволяют утверждать, что для комплекспых чисел полпостью сохрапяк!тся все правила элемепта1пн!й алгебры, от|и!сящиеся к арифметическим действиям и к сочетапик/ равспст в. Кроме того.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
