В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 46
Текст из файла (страница 46)
-|- Ь„<по<си<)ее<<<ее<в<о раева< друг <|ругу, то ., -1 ое =- Ье. а< = Ь<, ..., а„= Ь„. Зля доказательства достаточно к разности указанных многочленов применить утверждение. отмеченное в сноске ) на чтой странипе. 210 ИНТЕГРИРОВАНИЕ В л).<!ЕМЕН!ИРИЫХ ФУНКН!17!Х ГЛ. 7 принимает вид 1(г) = (в — 1>!)(г — 1>2)...
(г — 6„). (7. 17) Сравнивая формулу (7.17) с формулспт (7.12) (при со = 1), полу плм !тле дующие соотпошеция: с = — (61+62+... +6„), с2 — +((>! (>2 + 1>< 1>3 + ° ° + 1>п — <6п) с<л = ( 1) 611>2 ° ° 6п В дальнейшем, если це оговорено противное, мы будем рассматрива!ь 7<р1>всденн<яе м)<ого"<лень!. й 3. Кратные корни многочлена. Признак кратности корня Сре,цл корней многочлепа у(г) могут быть СГ>вт<<зд<зп>тцне корни,.
Пусть а, 6,..., г - различные корни приведенного многочлеца ! (г). Тогда в силу результатов предыду!Него параграфа для 7' (г) справедливо разложение т(г) =- (г — и)о(г — (>) ... (г — с) '. (7.18) В этом разложении еу, )),..., у -- некоторые целые числа, ка)кдое из которых и!. ыеньп!е единицы, при !еы Гу+ Д +... + 7 = и, где п, -- степепь хшогочлепа 7(г). Если для,,многочлена 1" (в) справедлнво тяззлс>ж:ение (7.18), то гоеп<ряп<„'что комплексное. числ!> о, явля< п<ся корнем )<(г) хратт<- носп>в о, кимти<ексное чнс>н< 6 пел<нет<>ся, корнем 1(в) крап<ности , комплехтсное ч1асло с являе>7пся кер71<зм > (г) к))атп<юстпн ')с Корепь, кратпость которого равна единице, принято называть о д н о к р и тп н ы м, а корень, кратпость которого болыпе ед!шицы, привито называть х: р а тп, н и .м,.
Можно дать и другое эквивалентное определение корпя данной кратности: комплексное число а нолывиеп<ся корнем много"!лгпи Г (в) ар<!тип<>стт<н Гу, гслн, для, > (г) ст)р<зведАНОГ> предсп<ав! (я) = (г — и)о<р(в), где р(о) у=' О. (7.19) На!па цель - указатчь пеобходимое и достаточное ус.,ювие для того„чтобы комплексное *!исло а являлось корнем мпогочлоца 7(г) кратности о. Нолт>е<езм.
7!7>Г)извод)ип! м7п)гочл<ни > ( ) много'<л<н > (г), 'полрченнь<й формомоным дифференциро<Г!нпгм ) 7(г) ти> г. Прежде всего докажем следуя>шее утверждение. 1) ) Дифференцирование !'( ) по а производится так, как ес<щ бы = была вещественной перел<енной. 211 К(Х)НЫН КОГНИ МНОГО 1ЛННА Лемма 1. Если ком(ми ктное число а велты(тся корит.,м к1ксттсносппл о многочлгтл «(г), то вто оюе "июли и является ко!всем крипшости (о — 1) многочлеии «'(г) 3 а м е ч а н и е.
В частности, нри о =- 1 чи(;со а, будучи однократным корнем «(г), не является корнем «(г). Д о к а з а т е л ь с т в о. По ус;и>вию для «(г) справедливо (средставление (7.19). Дифф(реннируя формулу (7.19), будем иметь « (г) = о(г — а)'" (р(г) + (г — о)ир (и), или (7.20) « (г) = (г — о)" рс(г), где у>с (г) = жр( ) + (г — а) р (и). Поскольку;ос((с) = (тср(а) в'= О, то представление (7720) означает, что чисто а является корнем кратности (о — 1) ъшогочлепа «'(г), Лемма доказана. Теорема 7.2. Для >ного чтобы ксомнлексное "июло о, являлось корнем критиногтлс о многочлени «( ), необход>смо и догпишпсг>кено, ттпобы былт выполнены следук>щ(се углов((л> «(и) = «'(и) =...
= «св ))(а) = О, «(а)(и) ф О. (7.21) Доказательство. 1) Необкодслмость. Пусть и являетс)я корнем кратности о мпогочлена «(г). Т(>еда, согласно лемктс 1, зто >ке число о, является корнем кратности (о — 1) ъшогочлена «'(г), корнем кратности (ы — 2) многочлена «(г)(я), .... корнем кратности единица ~шогокшепа «( с)(г).
т. е. «(а) = «'(а) =... = «си !(и) = О. Согласно замечанию к лемме 1 число (л нс является корнем киюгочлена «('>)(г), т. е. «(и!(а) ~ О. Выпо,шепие условий (7г21) дою)лассо. 2) Д о с т а т о ч н о с с ь. Пусть вьшолненьс условия (7.21). Требуется доказать, что плеса а является корнем кратности о мпогочлена «(г). Так как «си )(о) = О, число а является корнем мш>гочлена «(в )(г) крап>ностаи не н(с(и>е единтлцьс. Стало быть, на основании лет(мы 1 число а является корнем мпогочлепа «!и )(г) к1>апсноети не н(с(ясе двух, корнем мпогочлеси «(и ')(г) к!хит)ноет(ст>, и(.
н(ся:е т>ц>(х, .... корт(ем тшого*слепа «(г) кратт(ноет>ст>, и» >с(сон>е а. Остается доказать. что кратность корня а мпогочлена «(г) не вы(ие оь Если бы эта кратность была выше о, то, сос(ласло лемме 1, кратность корня и многочлсна «((" ')(г) была бы выше 212 ИНТЕГ!'ИРОВАНИЕ В ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКН11>!Х ГЛ.
7 единицы, откуда следовало бы, что а является корнем 1"(а)(х), т. е. ?~")(гэ) = О, что противоре плт последнему из условий (7.21). 1еорема доказана, й 4. Принцип выделения кратных корней. Алгоритм Евклида 1. Принцип выделения кратных корней, Поставим перед сооой цель — для дапцого многочлева 1(х), имен>щего, вообще говоря, кратные корни, найти такой ъшогочлеп Г(х), который эгмсега гггс г>юг> самые корю!, что и ?(х), но исе кратносгюг едпюгца. Для достижения этой цели введем пекоторые новые понятия. Определение 4. Низг>гэем д с л и нг е л с м двух многочлсное 1(х) и ггс(х) любой мнг>гг>чэгеэг, на когаорый делятг:я, оба мноеочлена 7(х) 'и гг>(х) Определением.
Назовем на ибол,ьш им общим д г. л. 1>, го, с л г.',и децх мнг>ег>чгггэнг>е 1 (х) и гг>(х) и>!экой 'и:с демгтель, котг>рый г)егггэпгся на лн>бой друг!>й делитель гэп!их дгэух мноаочлеэгои. Договоримся обозпачать цап!больший общий делитель двух ъшогочлепов 7(х) и гг>(х) символом РЦ(х), !>>(х)]. Заъ!етиъг, что из определения наибольшего общего делителя вытекает, что оп определен г то шостыо до прои:эвольпого постояппого ъшо>кителя. Возвращаясь к пели, сформу.шровациой в ыачале настоящего параграг]>а, мы теперь легко можем проверить. что искомый мпогочлеп г'( ) имеет вид (') = ?у(ъ)',Р(ъ)] В самом деле, пусть 1(х) = (х — а) (х — Ь)' ...
(х — с)з, (7. 23) где а,Ь,... эс - разэгггчньге корше Тогда, согласпо теореме?.2, для мпогочлепа 1 (х) справедливо представление 1'(х) = (х — а)'" '(х — Ь)гэ ' ... (х — с) ' ~г]э(х), (7.24) где г)>(х) пе содержит мпож>ггелей (х — о), (х — Ь)..., (х — с). 11з сопоставлепия формул (7.23) и (7.24) очевидно, что Р(((х)э 1'(х)] = (х — а) (х — Ь)В ... (х — с)з . (7.25) Из сопоставления формул (7.23) и (7.25) в свою очередь очевидно, что ъшогочлеп Г(х), определяемый формулой (7Г22), имеет вид г'(х) = (х — и)(х — Ь )...
(х — с). (7. 26) л л Вь!Де21ение кРАтных кО1'1!е11. А:1ГОР1!тм еВкл1!ДА 213 Тем самым доказано, что мпогочлеп г'(з). определяемый формулой (7.22), имеет те же самые корни, что и многочлеп у"(2)., по все кратности единица. Таким образом. >адача выделешля кратных корней сводится к построению по данному кпнпочлену !(2) мпогочлепа Г(и), определяемого формулой (7. 22) . Поскольку;>пахпнатель формулы (7.22) содержит паллбольший общий делитель двух мпогочлепов у'(л) и !'(2), возникает задача о нахождении паиболыпего оощего делителя двух кшогочлеяов. Переходим к решении> этой задачи.
2. Нахождение наибольшего общего делителя двух многочленов (алгоритм Евклида). Пусть даны два совершенно произвольных многочлепа 1'(д) и у>(я) и требуется найти их наибольший общий делитель. Не ограничивая общности, будем считать, что степеп>,р(в) пе выше степени !" (я). Тогда, поделив у'(и) на >»>(я) столбиком, мы придем к формуле (7.13) (см. 3' 21 ((в) = у>(я)д( ) + 7!(я), (7.27' ) в которой, как установлено в 3 '2, степень остатка г!(2) меньше степени делителя у>(я). Эт>> дает пам право снова поделить столбиком у>(я) па г! (2). В результате этого деления мы получим формулу. впало! ичнук> формуле (7.13): »»>(и) 7'1(л)7)1(з) + га(и), (7.272) в которой степень ослатка г2(я) ниже степени,»елителя г! (и).
Далее мы делим столбиком 7 !(я) па 72(д) лл т. д. В результате ПОЛУ П1М 7'!(л) = 7'а(з)ср2(д) + 7'з(и). (7.27') га в(л) = г» ~ (2)че ! (2) + г» (и). (7.27е ) Поскольку при каждом делении столбиком степеш остатка будет спи>катися по крий>>ей мере но ес)!»н!»л!у, повторив описанный процесс достато.шо большое чис.!о к раз, мы па (й + 1)-м шагу ПОЛУЧИМ ОСтатОК, РаВНЫй ПУЛК> ), ть Е. гь !(в) = гь(я)уь(я). (7.27»'л:~ ) Докажем, что последний от>плчпый от пуля остаток гв(з) являЕтсти Вл>Л>бс>2»7 77»7>лн 7>6Щ>»СИ 7)СЛП>в»Лед> Л>ВОЯОЧЛ>>НОН У' (Я) И 7»>(Я). Достато шо доказать два утверждения: > Если остаток не обратится в нуль в одном нз промежуточных звеньев описанного процесса, то после >><которого келичеетва и шагов мы получим остаток г»(:) нулевой с>епенп.
тогда следую>ций остаток г»л>(х) заведомо равен нулю (нбо любой многочлен делится на мно>-очлен пулевой степени). 214 интеРРиРОВлние В нг(емен'Рлнных Фмнкп>11!х Рл. 7 1) многочл(>ны 1(г) н (7)(г) д(нгятся на ге(в) (зго означает, что ги(г) является одним из делителей 7(г) и (7)(г)); 2) многочлен гь(г) делится (га любой делитель гв(г) много- членов 7'(г) и ())(г) (зто (жначает, что 77(г) нсп(больилиг), общий делитель указанных многочленов). Для доказат(гльства утв('рждения 1) заметим, !то, в силу (7.271(г'), гь ((г) делится на гь(г)., а тогда, в ('илу (7С27"'), гь 2(г) делится па ге(я) ...
Поднимаясь вверх по цепочке равенств (7.27') .(7.271'), мы, наконец, докажем, что ())(г) и 1"(г) делятся па ги(г). Докажем теперь утверждение 2). Пусть го(г) .- лк>бой .(елитель многочленов 7'(г) и ()7(г). В силу равенства (7.27') г> (г) делится на гв(г), а тогда., в силу равенства (7.272), 72(я) делится на гв(г), в ситу равенства (7.278) гз(г) делится па го(г) ... Опускаясь по цепочке равенств (7.271) — (7,27Я), мы, наконец, докажем, что гь(г) делится на го(г).
Теы самым мы по)шостью обосновали описанный выпи! процесс нахолсдения наибольшего общего делителя двух многочле- НОВ. ЭтОт ПрОцЕСС ОбЬГШО НаЗЫВаЮт ГЬЛгОрингсМОМ ЕОЬ)Лг)до,. П р и м е р. Найдем наибольший общий делитель двух многочленов ) 7'(г) = г — 2г' + Згг — 2 + 1 и ())(г) = йгг — бгг+ бг — 2. Поделив 1'(г) на (7>(г) столбиком, будем иметь г4 — 2гв +Зг2 — 2,г +1 г 83 82 1 — гг + — г 2 2 2 1 1 4 8 — -г' +ге — гг +1 2 2 2 3 8 2 — гг' +-г — — г+- 2 4 4 4 ) 1егко визе'Ггь (тО 77( ) = Г (г). Далее мы должны были бы поделить ()>(н) на обведенный пунктиром многочлен. Однако, поскольку наибольший общий де)1итель Г)г)1)е)деглсиг Г.* шочиостг)ю дГ) 7)рс)ггле)Ол)ьг(ОгО 7>Г)Г>7ш)яггие)ге) множителя, удобно умно)кить обведенный пунктиром остаток ва 4))3 и поделить (Г)(г) на ыногочлен г .— г+ 1.
В регультате 1 в 1'Аз21Ожение и!'Анилы1ОЙ 1'АциОНАльнОЙ ДРОБИ 215 получим 421 — бгг-с-бг — 2 3,1 2+,4 †2 2 42 — 2 — 2 2+22 — 2 — 222+22 — 2 остаток равен нулю. Таким образоъс, наибольший общий делитель многочленов 1 (г) и ср(г) )эавссн г — г + 1, т. еь ду( ) ( )) 2 +) 3 а м с ч а н и е 1. В приведенном вылив примере ыы для простоты взяли много слепы ! (2) и ср(г) с еесцгспъвенньсми коэффициентами. Та же метссдика сохраняет силу и для многочленов с комп.нсксными коэффициентами 3 а и е ч а н и е 2. Следует отметнтъч что до настоясцего времени практически отсутствуют устойчивые численные методы выси!.:!Ения корне;й произвольных много с,н;нов с задашной точностью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
