В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Рнногочденом и-й сгеценн от двух аргументов х и д называется выраженне вида Р„(х. д) = ооо + осев+ ппсд+ птах + оссхд+ осмд + т... т оъ д". с де ош, о ш, п,н,..., по — некоторые постоянные *шсша. Рацнональной функцней от двух аргументов называется отношение вида Р„(х, СС)/сг„,(х. д), где Р„(х, д) — цронзводьцый многочтен от двух аргументов стецецн и, а С2,(х, д) нронзводьный многочден от двух аргументов степени т, 232 интеГРировлние В илементлрных Функпллу!х Гл. 7 так что Пое!кольк) рационаллная фйнкция От !зал(повальной функции п)пллингвлвст собой также. !заииональнрго фУн!силл!о, то ив гезгРеил, стоящий в правой части поц11едне!о равенства. является интегралом От рациональной д)тоби.
Подстановка 1 = (и —, хотя и является универсальной подста- 2 вовкой, рационализиругощей интеграл от функщли (7.63), часто приводит к громоздким выкладкам. В связи с чтим мы укажем несколько частных случаев, в которых интеграл ог функции (7.(!3) может бьгп рационализирован с помо!цыо других более прост!1х подстаногок. Прежде всего отметим два злементарных свойства рашюнешьной функции двух аргументов В(и, и): 1'. Ес-еи рациональная функция Й(и, и) не меняет своего значения при изменении знака одного из аргументов (например и). т. е. если Л( — и, и) = В(и„и), то эта рациональная функция может быть приведена к виду В(и, и) = В1(и, г), где В! — некоторая рациона,льная функция своих двух аргументов.
(Эта функция содержит лшпь четные степени и.) 2'. Если же при изменении знака и функция В(а, и) также меняет знак. т. е. Л( — и„г) =- — Л(и, и), то она пртеодится к виду В(и,и) = Вг(а, и)и. (Свойство 2' сразу вытекает из свойства 1', если применить его к функции й(и, и)ееи.) Рассмотрим теперь вопрог о рационализации интеграла от функции (7.63) для некоторых частных случаев. 1. Пусть В(и, и),меиле!и знак при изменении знака и.
Тогда, согласно свойстви 2'„ В(вшза сов г) де = ( Вг(вш .х, сов х) вш.с елх = = — ~ Вг (1 — сов! х, сов х)е)(сов.е). Таким образом. интеграл от функции (7.63) рационализируется подстановкой ! = сов х. П. 1!устав далее., функция В(и, г) мгилгш,знак ири измгиеиеле .знака и. Тогда, согласно тому же свойству 2', В(в!их сове) де! = / Лз(вше сов х) сов х дх = = / Вл(вшз.
1 — вш х)д(вшз), т. е. интеграл от функции (7.63) рационализируется подстановкой 1 = веп:с. 1. Пуетть наконец. функция Л(и, е) ие хлгнлееп соагга зиачгиил при пдиаеремениахл изменении знакаа и, и а, т. е. Л( — и, — и) .= В(и, х). 234 интеГ!'иРОВлние В иу!ех!ентлрных Фмнкц!11!х Гл. 7 — ~! + '2 С вЂ”,=// а 2= й аС 1 ~ соа:г -!- ь/22 2ь'2 ~ соа х — з?2 в!и х сов х 3) Вычислить интеграл /а = / г!х.
,/ вш' х + сов' т Так каь подынтегральная функция сохраняет значение при одновременном изменении знаков ьзпх и сова, то, согласно 111, следуес сделать подстановку / = !их. В резульпвге получим Г Гс!/ 1 /' с/С! ) 1 з 1 Гз = = — /, = — ахс!Е(! ) ж С = — агс!и(!Е х) + С. / /з+! 2/ (/з)аз! 2 ' 2 2.
Интегрирование дробно-линейн!ях иррациональностей. В атом пупк ге мы докажем интегрируемость в злеап,нтарных функциях любой функции вида Л х, ' ' . !7.64) где а. Ь, с и с/ некс!торые постоянные. н — люоое г!сжк! положительное число. Функцию такого вида мы будем пазыватг с)1/обно-лл//нег!но!1 иррациональное!нью. Докажем, гто иптстрал от функции !7.64) при ас/ — Ьс у'= 0 а/.:, +Ь рационализируется подстановкой 1 = !'./ . В самом де:и, ~/схд-/ с/Ь а — с р' ' !а — с/")а а ат -гЬ сх -Ь г/ так что и ~ и~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ | ах -!- Ь ) / / г /'с/!' — Ь „') сас/ — Ьс)п! ' 'Ч-.«( "-./ ~.-«."? /а — с/.) Поскольку рациональггая функция от рациональной функции представляет собой такжс рациональную функцию.
то интеграл. стоящий в правой части посте?!не!о равенства, является интегралом от рациональной дроби, Тем самым доказано., что интеграл от дробно-линейной иррациональности (?.64) рационали:!ил ахЕЬ руотся подстановкой 1 = ~ )/сажам /' //+ Их П р и м е р. Вычис' !ить игпеграл 1 = ~ — —. Сделав / Так как псьдьппегральная функция меняез знак при изменении знака сйцх, то, согласно 1. следуег слела|ыгодстановссу / = соах. В резулгпате полгчикс !!!!'!'Вгр!!!7оВА!!!!В !!!'рАП!!77!!йг!ып7!а в!7п7лтай!!!!7! 235 подстановку 1 = ~~7 1- = —,:; =,, !,. = 1~ + ! !-Е 17 — ! 41 71! ~/ 1 —; "' 1 —.:' !а+ 1' (1'+ 1) полу !им 1 = 2 ! „' = 2 1 Ж вЂ” 2 1,, ' = 2! — 2аг77!к!+ С = / !а+1 / / !э+1 Г+ Г~:, = 2 ~( — — 2 агс71 у; ~( — ' + С. 1 —:с 1 — х 3. Интегрирование биномиальных дифференциалов.
Винамиальным д71ффср77777!71алом называют выражение вида 7: (а -7- 57:")' 71х, 1, (а Е бх") 7)х (а 1 Ь.)т.,'11 "' =-!' „г ! 1' 71, (7.65) Подынтегральная функция в правой части (7.65) представляет собой дробно-линейную иррациональность ви 7а 77 (х. ъ7аач- б"). где х . знаменатель рационального числа р. Таким образом, во втором случае биномик 1ьный днфференцна.1 рационализируезтя подстановкой ! = Оса+ Ьх = /а + бх". 1'п7 + 1 3'. '1'ретий случай соответствует цс,лал7у числу ( -1- р). Подын- 77 тегральная функция в правой части (7.65) представляет собой дробно- .,) +ЬхЗ! линейную иррациональность вида 777 ". 7( , зак что ннтеграл от биномиального дифференниала рационализируется подстановкой вида ,1а+ Ьх ~)7 а ГДЕ а И Ь вЂ” ЛЮбЫЕ ПОСТОЯННЫЕ, а ПОКазатЕДИ Стсисисй П7з П И Р вЂ” НЕКОТОРЫЕ рациональные числа. 11зучим вопрос об интегрируемости в элементарных функциях биномиалызых дифференциалов.
Прежде всего отметим 7при случал, когда интеграл от биномиального „1ифференциала доиускает раиионализирующуго иодстаиовку. 1'. Первый случай соответствует целому р, Виномиальнь7й дифференциал представляет собой дробно-линейную иррациональность вида й (г, 67х) 7(х, где г — наименьшее общее кратное знаменателей рациональных чисел п7 н и. Стало быть, интеграл от бнномнального дифференциала в этом случае рационализируется подстановкой 1 = ~/:7з 7и+1 2'.
Второй случай соответствует целому числу . С.телав по,1ста- 71 тл-1 новку = = х" и положив для кратности — 1 = у, будем иметь 71 236 ннтнг11н овлннн в элнмннтлрных функциях гл. 1 —,+Ь, х= а ,уа хо иà — Ь ,7асе17 зу(17 — Ь )а будем иметь ж С. 2) Вычислить интеграл 1 = ~ х" (1 — х' 1 7п-1.1 и = 2, р = ††,так что = 3 (второй 2' п ) 17а 71х. В.занном случае т = Ь, случай). Сделав подстановку 7 еР 71х =— и71 17 ' 7 = 1,71 — х'-'.;х = 1771 — 17. оудем иметь 1=-/'(1 -7')'67 =- ~ 12 ~2~1'дз ~7"67= = — 7 -е — 77 — — + С = — 1771 — ха + — ие(1 — ха)' — ж С.
2 и7(1 хтаа))оо 3 Ь 3 5 4. Интегрирование квадратичных иррациональностей посредством подстановок Эйлера. В этом пункте мы докажем интегрируемость в элементарных функциях .;побой функции вида П(.../, Зз. .г в), (7777 где оз Ь и с — некоторые поспзянные. Функцию такого вида будем называть квадратичной ир)звззвоззалиезоспзизо. При этом ъзыз конг'1но. с 1итаех!, ч гО квад)затный т)зехчлен в:г + Ь:е+ с не нмсет равныт, корзсей (иначе корень из этого трехчлена может быть заменен рациональным выражением).
Х(ы докажем, что интеграл от функции (7.66) вссзда рационализируется одной из так называемых подстаз*овок Эйлера. (",начала рассмотрим случай. когда квадратньпл трехчлен охй + Ьх + с имеет комззлексезые корни. В этом езлучае знак ква- ) Пафнутий Львович Чебышев — ве.тикий русский математик (1821- 1894). В середине нрошлозо века П.„1. '1ебышев ') доказал, что указааньзма еише. и рс.ия случаялзи асчерпьзвазозпся ьсе случаи, краз)а бинолзиальнь771 ди77)зсрззнцззал иптеериррепшл в олемснепарнмх 7)ззрнкциях.
дх П р и м е р ы. 1) Вычислить интеграл1 = ' = 1 х а(а+ + Ьх ) 7 71х. Здесз пз = — 2, и = 2, р = — 1772, так что +о= — 1 77 (третий случай). Сде,зав подстановку гаггткггияг'Овлггггй ггг'глцггс)ияггыгык выййоккггггй 237 дратного трехчлеиа совпадает со знаком а.. и поскольку по смыслу квадратный трекчлен (гв которого извлекается квадратный корень) полой)сипгелен, то о > О.
Таким образом, мы имеем право сделать следующую подстановку: !=и . +1~. р,а. (7.67) Подстановку (7.67) обычно называют первой подспгиновкой Эйле~ю. Докажем, что зтй ИОдстановка 1)ациО«В.:)изиру()т интегрйл от фуикции (7.66) дггя 11йсс.гат1игвйемг)гг) плучйгг. Во:)вг,ггпйгг в «. а ° а) ° .« ~ ..«:- Лл рт.7! =ь-: Л,..сй. Ьг + с = 12 — 2 „Га, Ьт, так что — с 2+ 6 +,/аг -Ьаг+с)га х = ах' + Ьс+ х =- 21)аг-)-Ь 2угаг ж Ь )х 2 г/а г + Ьй, -с с)гса Ь (2;/а г -)- Ь) Таким образом.
Г л(.,а.л+г +~ гл= — с 1Гаг Ч Ьг же)))а гга г -)-Ы Ееа г Ь г 2)гаг+Ь' 2гггаг+г) ! (2 гаг+Ь) В правой части под знаком иггпгграла сгоьгг рациональная дробь. Рассмотрим теперь случай, когда квадратный трекчлеп ах2+ + Ьх + с имеет несовпадающие еепйестпееппьге корни х) и;с . В таком случае ахо+ Ьх+с = и(х — хг)(х — хя), Докажем, что в этом гглучае иптеграл от функции (7.66) рацигпгализируется посредством подстановки ь Ъя+Ъгг (7.68) а .с1 называемой обычно второй подстаггоекой Эйлера. В самом де- «"Л р .: ачлттг.,~ = 21. —,) сокрапгйя полученное равенство па (х — хг), получим о(г,— хг) = = Ь (х — х,г), гак что гг — а " Ьг — а 2а(хг — хг)г (гг — а)а 238 унтк! ! ивовяник в элкмкн!и! них еъниниях ггк г Таким образом И(яр~/.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
