В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Д о к а 3 а т с >! ь с т и О. 1) П!'сть с!Ва'!зла 'сиг !о Ь являетс:я предо. !ьпым зпачеиием фсгс>) в точке в, по новому оггределеньио. Докажем, что это жс число Ь является предельным значением !" >гг>) в точке и и по стссрому опрес)сленспо. Пуссгь (хп) любая сходящаяся к *пи,!у а с!ос>!сдовательиос!ь значений аргумента, вес элементы которой отди шы от а. Треб>уст!!я дока !ать. что сов!Всчгпвукнцая пес!дедова!еды!осггь (у(х„)) !пачений функции сходится к числу Ь.
Фикс>ируеы любое е > О. Оог>олспо новому ) Старое определепиЕ предельного значения функции назыяа>от сакже определением предельного >начения по Гейне. а нояое определение определением предельного значения по Евши. ! 1 нОВОе Оп!'еДеление нвеДельнО!'О знА'1ени51 Функции 249 оирсдсчспию прог!Сльного значения функции, для мого с найдени:я б > О такое, что ) 7(х) — Ь ! < с для всех значений аргумента х, для которых О < (х — а! < б. Так как последовательно!:ть (ха) сходитсЯ к числУ а, то Дла Угогганного числа б > О найдется номер Х такой, что О < )ггг„— а! < б при п > Ж. Стало быть, ))'(ха) — Ь! < с иРи и > Ж, а это и озпачасг схолимоггь ПОГЛСДОВатСЛЬПОСтн (!(Гга)) К 1ИСЛу Ь. 2) Пусть теперь нило Ь является продольным значением 5'(ггг) в точке а по сига!юму гтрггделггнлгггю.
Докажем, что это жс чиг'- ло Ь является прг'дельным значснисм 1' (.с) в точке а и по новому Оирсдслснгио. Предположим, что это нс так. Тогда для нггкгггпгь рого положительного числа с нс найдется гарантирующего положительного числа б, укагзаиного в новом определен!1и, т. с. для это!'о с и для сколь угодно милого пгтлгтлгсггтггльнггегт б найдется хотя бы одно значение аргумента х такое, что О < )х — а) < б. но 'Ьг(х) — Ь! > с. В г:илу 1 казаши1го мы можем взять посгсдоватсльноггь ба = = 1гг71 '(и, = 1,2.3,...
) и утверждать„что для каждого сс элемента б, = 1гп най !стоя хотя бы одно значение аргумента х„ такое, что О < (хгн — 71~ < —, но Ц(ггга) — Ь ! > с. ( ) О' ,'1свос из неравенств (8.1) означает, что последовательность (гга) гхо.!ится к чьчлу О, и состоит нз элементов, отличных от а. Но тогда, согласно старому определению предо.зьного значения фУнкпии, соотвстствУ|оЩаЯ иосгсловатсльногггь (1(ха)) значении функции сходится к чип.гу Ь, а этому противоречит правое из неравенств (8.1), справедливое для всех номеров и. Полученное противоречие доказывает теорему.
Новое определение продольного значения функции позволяет нам сформулировать новое определение непрерывности функции в точке х = а ). Функцггя 7(:7) называсгпся нспрс; рьганой с !почке х = а, сс71717, для люйосо гго7гоогсгтгггльнг1ггг чнслгг. с 'набдг17пся. 7!О.лггогсгппггльгногг 'июла б юг!кос, 'чгпа для ггсех Зна'мггггт глряумсгппп х. удоолггнгсорялогцнх нгг!Ягггсггсгггггу ~х — гг~ < 75 сггриггггдлигггг нсраеснсгпОО (~ (х) — 1 (а) ! < с. (8.2) 3 а м с ч а н и с 4. В этом определении нет необходимости наклад!!вать Огратгггчсниг'.
О < ):71 — а(, ябо ири:7; = а .зевая часть неравенства (8.2) обращается в пуль и неравенство (8,2) заведомо справедливо. ') Коггечно. прн этом прелполагаетсн. по функпнн у = !(Я) опре.гелена н а самой точке а. 280 ООНОВные теОвемы О нен1'е1'ыВных ФУнкЦиЯх Гл. 8 По аналогии с вышснзлохкснш >м формулируется >ювао онрсдслснис предельного значения функции н доказьсвастся эквивалентность этого определения старому опрсдслсцшо н для случая, когда одно или оба ч>юла, а н б с>б1ми»а>отс>я в +со >сл>с — оо. Ограцичимгя тс.м, что сфорь>улнрусм новос онрсдс. >синс предельного н>ачсшгн функции для случая, когда и = +ос: число б называется предельным. г>юченнем 1 (х>) прил сс; — > +ос, если для любого пюлоаюнлпслыного ° >псла найдется пс>лоо>ес>лпс»сьное тс.ло Л >с>с>кое, четв для всех ана"сепий' иргулсенса>и х.
удовлегнвс>ря>о>цс>х неравс>нсгпву х ) А. справедливо нермсвенепгво )('(х) — б! < е. Рисунок 8.2 разъясняет указеишос онрсдслсциг. Рис. 8.2 В заключение сформулируем новое онрсдслсцис правого и левого предельных з>ичсний функции 1(:с>) в точке а: числ>> б нас>ьсвиесис я. п1>авьсм (лс вьсм) пред> львылс с>алчен>сс>,и срункцссс> 1 (>е) с> пн>чкв> и. с:с>лн, для.
любого палс>глсиснельнвго "нюла е >шпдтпея полоытнсюллнсое 'тало б пи>кое, чтс> для, всег,значи>ний' аргуменпса х. удс>в>се>псаря>с>иунсг неривенству О < х — и < б (О < а — х < < б). сирс>с>с>сЬ>нвс> >сер>>с>е>сс>гс>с>о /~(х) — б ! < е. Дока>аттыьство эквивалентности этого определения старому определению правого (левого) продольного зцачсция совершенно аналоги шо доказательству теоремы 8.1.
2. Необходимое и достаточное условие существования предельного значения функции (критерий Коши). Пользуясь эквнва,зснтногтью старого и нового онрсдслсний предельного:сначсння функцнн, установим необходимое н достаточное условие сугцсствования у функции 1(се) предельного значения в точке и. Определение. Будем говор>ннь> "сто с1>ункцс>я 1'(>х) удовлетиворяет в п>очке т. =- а условию Копн>, сели для л>с>бого полоаю>инельного шола, е найдется полооюипгельное "спело б такое, чтс>, кокс>вы бьс ни были два зкчсчешся с>ргвулсс»стс> х' и х".
удов- ! 1 НОВОЕ ОП!'ЕДЕЛЕЦИЕ НРЕДЕЛЬНО!'О ЗНА'1ЕНИ51 ФУНКЦИИ 251 лепи!ори«щ е !1«1я!«снег!!вам 0 < )х' — а( < д, 0 < ф' — а~ < б. для е«вп1«стет«у!«1ц1ьх значений: функ!!ии ст11я1вед и!оо 51«!я!вене!!1«о !~(х ) — 1(х )! < е. Теорема 8.х (критерий Коши). Для пюв«чтобы функц!!я ф(х) имела к«неч!юе н11едельное значение в и>«"ске х = и, не«бходг!м«п доепмпп«ин«. 1тобь1 функция ф(х) удовлетпворяла в зпигв 1по'!ке уеловню Коип!.
Доказатель1 тво. 1) Нсоб1ходиь!ость. Пу1ть существует конечгтос предельное зна п.иие !зп! 1(х) = Ь. Дока«. Еа жом, что фупкция 1(х) удовлетворяет в точке:г =- а ус!зови!о Коши. Возьмем прои !вольное е > О. Согласно новому определению предельного зпачспия функции для положитсльпого числа е~'2 Найдется поло>китс,зык!с ч!и:ю д ~~~о~, !то, ~а~~~~ бы !и! были зпачспия аргуч!сита а и х", удовлстворякпцие неравенствам 0 < )х~ — а! < д, 0 < )х« — а! < д, для соответствующих зиачспий функции справедливы Неравенства !1(х') — ь( < е,12, (ф(х«) — Ь | < е/2. Так как модуль суммы двух величин нс превосходит суммы их модулей, то из послсдпих первее!и:тв получим /((х ) — 1(х )! = !() (х ) — Ь) — (1(х ) — Ь)! < < Ь1(х) — Ь!+!1(х ) — Ь! <е.
Тем самым дока1апо, что фупкция 1(х) удовлетворяет в точке х = а ус.повию Коши. 2) До с тат о ч и ость. Пусть функция ф(х) удовлетворяет в точке х — а условию Кои!и. Докажем„что функция ! (х) имеет предельпое значение в точке х = а. Пусть (х,,) — любая схо:шщаяся к а посзсдователы!ость значений аргумента, все элементы хп которой отличны от а.
В силу старого определения прсдельпого шачепия функции достато шо доказать, что соответствующая по1шсдовательцость (1(х„)) зпачепий функции сходится к пскогорому числу Ь, причем э со чис,ю Ь одно «, г!ю же для ш ох скодящикся к а, последовательностей (ха) таких, что х„ф а. Докажем снача,!а еходимостг!ь г!в!бой поспедоватечьности (ф(х«)). Пусть задапо 1111«ил«опт!«е е > О. Возь>!ем то положите.тылов число д, которое соответствует этому е согласно ус !овию Коши, и, пользуясь сходимостью посшедоватсчьпоети (х„) к а, выберем для этого д номер й! такой, что 0< (хв — а,) <д при г!) й!.
При этом для любого натурального р (р = 1. 2,... ) и подавно О < (а:аэт — «~ < д при н > Х. Пос;1еднис два перавс1п:тва в силу у<шовия Коши приводят к псравеппгвч ('! (х„э р) — !(ха)! < е при и > У. т. е. доказывантг 252 ОснОВные теОВемы О не!н'е1'ыВных Фгункци!1х Гл. 8 фУНГ)с!я!в!!с!!с!гсвг!статс!в !ТО!Стог!сия!Си Исгтса () (Ггтгс)). В СИЛУ тг)!вторив Коши для пос.тсловатстьпости (т.
с. теоремы 3.19) последоватслыюстть (Е(гхи)) сходитса к некотоРомУ тис тУ Ь. Дока>ком тспсрь, по всх послсдоватслыцхти (т'(гг„)), соотвстствующис всевозможным г:ходящихюя к а постсдоватсльвостям (х„'), ил!в!оп! од!си, и твт, жгг предел Ь. Пусть (:Ги) и (х'„) — любьсв двс сходящиеся к сс посчсдоватсльцости:шачсш!й аргумспта, всс элсмсцты которых отличны от гь В силу докатапцого выше обо поглсдоватсльпости (Е(хгс)) и ()'(гх'„)) сходятся.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
