В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Обозцачиы прсдсл первой из этих послсдоватсльцостсй через Ь, а второй через Ь'. Докажем. что Ь = Ь'. Рагтмотрим скос!яп!у!Ося к а послсдоватс:тьпость ,,г . ..г ! Гт, Х!.,'Г2. ХЭ..... т . Хи.... В сиэ!у дока таино! О в! Ввс гоотвс:тствуюпсая посслс:доватс'гтьцог:ть значсций функции ,г (х1), ! (Г1). г (12), т (тэ). ° .. г (Ги). э (г! и)' ' ' ' является сходящейся. ЕЕО тогда в силу п. 1 2 4 гл. 3 все подпослвдэватсльноспиг, этной гиклгдоваптвльностн, в том чпс"гс () (х )) и ) Е(гг'„с)), сходятся к одному гт, тому эке пределу, т. с, Ь = Ь'.
Тсорсма 8.2 доказана Ацалогично формулируется ус ювис Коши и устанавливается цсобходимос и достаточное условие существования прсдсльцого тначспия функции Е(х) при:Г, — э +сх: и при .à — э — оо. Ограничимся фо)эм)гц!РОВками дл5! с"1у'!ая х -Э +ос. Ьудвм гово)и!гаси "ипо фугскцтся ф(гг) удввлг!Гав!!)!яств, врн и -7 -э +ос услвсиио К!то!!с. если для любого пвложигтвльного савла г найдется гтгтлгтэкгтгпюсьгсгтгт "шсло А и!аког. "ств для ллвбьсх двух значтсий агргулсвтста х' и, х". 7177гтгтгтстгтдяга!тсх А. па)хсвкс)ллг; вэ 'нерва!си!:ггсво ! г (гг; ) — э" (ггт ) ! ( г В полной апалогии с тсорсмой 8.2 доказывается слсдующсс утвсрждсписг дгся !ного чтобьс функция Е(гх) имела коне снгтг! с!ус!даль!с!!с! зьилчвнгав ира э: — 7 + х.
необходимо и дгтстгсатгточнгт, чгпгтбьс вна удгтгсл~.*тгтгтгтрягга гсртс х — + +~ угловато Кот!ив,, й 2. Локальная ограниченность функции, имеющей предельное значение В посццтм гоотвстствии с определением мпожсства вещественчис:с;с, Ог)тапи юп!юго г:всЕтху (с:пиз)) ), вводом ттоиятис функции. Ограниченной тса дасиитм лосххжсьттвв свсрху (сшиу). Определение 1.
гуункцтгя 2"(гх) называется о г р в, и и ч в ни о й с в в р х у (г: н и з у) на лсногэкегттгтве (х). сваи найдется ') См. и. 5 Е 1 гл. 2. локйльнля ог1 Атн1чуйтноогь еь нкции 253 с>>>аког> ветествгн>ше числа М (числв тп), чта для всех значенийй аргулленггсп х пз мназ>сеспгвп (х) г>п1>пвг>г1>>гг>вг> тйхии.пгттвг> у'(гс) < >М (т" (гс) > и>) При этом пп ло М ("ппло ги) называется верхней (нижней) гранью функции ((гг>) па ъшожествс (х).
Определение х. Функц>гя г'(.с) ттальггг>егпся огрпнпчепнагл с обеих шпор>ан тгла >грег:тпа о г 1> и н ц и е н тт а а на, мнг>ааль сптг>е (х)> г.слтт о>гп аграгш гвт>а, нп атас>м м>тг>сюгегаг>г> ц г>г>враль т>, сн>юу. т,. е. егли найду>тия такие веьцесптвенньсе ч»ела, и> и М. "тита для всех знпченсгй аргумента а: е>з мггтг>а>еег>гпвг> (х) ст>уаг едливы нера>>еттства т, < г>(гх) < М Так»кт об1>агзоьт, ограпичстгиогтт фзпткции т'(гт) па мпо>кссп>с (х) фактически означает ограцичсштость множества всех:шачсиий этой функции. 1 П р и и е р ы. 1) Фупкция т (х) = вес х = — па полуссгмсисоа х те (О.
к>г>2) сверху цс ограничена, а снизу ограничена (в качестве нижней грани может быть взято любое чицгю гп < 1). 2) Функция Дирихлс ') ограничена с обеих сторон на любом сстмептс [г>„Ь] (в качестве тттзжнетй грани можно взять лк>бое число кп < О, а в качестве верхней грани лгобое чиггто М > 1). 7еореми Ь'.о. Ег»т функция, г'(х) имхвтп коне гное предельное внпчгнпе в т>и»ке;г = а. гвг> сутцг>г>тг>вуг>ггт, нг>кг>>>таях>я б-г>крг>стт>нг>стаь пи>чка ц ~), пгпкгпя„чп>х> для. всех .значен>и>, аргумента п;> укавтн>г>й б-акресптг>спи>т функция г'(гт>) агрпшл">епа,а), Д о к а > а т с л ь с т в о.
Пугть Ь = 1>тп ((х). Сост>асио новому опреде,лецию предельного значения функции, для некоторого положите.льпого числа е найдется положительное э>тело б такое, что !) (гг>) — Ь ! < е, как только О < !х — г>~ < б. или Ь вЂ” е< )'(х) <Ь+е. как только а — б<х < и+б и:с~а. (8.3) Если значение х = а не входит, в область аттределен»я функции, то теорема доказана (пбо неравенства (8.3) означают, тто для всех значений аргумента х из б-окрестности точки а значения функции у(гг>) заключены между Ь вЂ” е и Ь+ е). Гизи же функция у(гс) определена, и прп х = а и принимает в точке а пекоторос зпачглтис у'(г>). то. обозначив через кп ) Напомним гш функциеа Днрг>хлс называется функция, равная еципипс для гсех рациональных значений атнуисгпа и нулю в,чя всех иррапиональных значений аргумента.
Напомним, ч>о 6-окрсшпшн тыо >печка о называется ингерваа (о— — 6, а -1- 6). где 6 > О. ' ) 31ы не исключаем > лучах, когда функция у = Пх) задана на неко> ором множестве (х), не загтолняюшем сплошь никакой 6-окрестностн точки о. 234 ОснОВные теОРемы О неи1'е1'ыВных Функнне(х Гл. 8 наименьшее из двух пн:ел (6 — е) и «(а). а ЕЧ наибольпн(е из двух чисел (6+ е) я «(о), можно извле !ь иэ неравенств (8.3) ("нзду10щие и(!1заВ(знстВа: т < «'(х) < ЛХ, как только и, — с! < х < о, + (1.
Нос„к(депп( не1111вепстпй о:!нй'!йюг, что функция «(х) ограничена всюлу в б-секрес!тиос!те! гочки а,. Теорема доказана. Иллюстрацией к теореме 8.3 может (щужить 1зис. 8.3. Замечание. Свойство Рис. 8.3 фу нкции у( тае1аВ.1иВй( мое теоремой 8.3, называют локальной ограничение!стью функции., ихикнцей предельное значение. Следстпаие из тпеорелсьа 8.3. Если функцпя «(;с) непрерьп!на в точке х = ач то зта функцс(я ограничена для, всех значений иргусиенпш из некоторой б-окрестносепи п!о (ен( а. (Непрерывная в точке х = о, функция име((т в этой точке конечное предельное значение). 8 3.
Теорема об устойчивости знака непрерывной функции Теорема 8.4. Если функция, «(х) непрерывна в точке х = а а, если «(а) ~- .О, зпо су(цестпвуеп( такая б-окрестность точки сл, '(п(о для всех з!(ачен(нс аргул(ентпа из указанной б-сскрестности функция, «(х) не обраи1ается в нуль и имеет, знак, совпадаюи1ий со хнакол( «(а). Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как функция непрерывна в точке а, то существует 11ш «(т:) = 6, причем 6 = «(а) ф О.
хза ' Согласно новому определению преде.:Еыюго значения функции, д.(я л(вбого е ) О нййд((тся Б ) О тйкое, что 6 — < «(х) < 6+, как только!) а — 6 < х < а+ Б. (8.1) Возьм((м В к;Е.н:ство с положителс.но(1 чи(=н1, удовлетво1зяю(це(1 требованию е < )6!. При таком выборе все три чин!а 6 — е, 6+ е и 6 будут одного знака. Ста.ю быть, в силу (8.4) всюду в (1-((кресте(ос!ти точки а функция «(х) сохраняет знак числа 6 = = «(а). Теорема доказана. Иллюстрацией к теореме 8.4 может (лужить рис. 8.4. ') Пре! этот( нет необходимости исключать значение х =. о, ибо лля непрерывной функции «(х) значение «(а) = Ь также удовлетворяет левым из неравенств (8.4). пгохождкник нкпгкгывной а ункпии 255 3 а м е ч а н и с к т с о р е м е 8.4.
Теорему 8.4 можно перенести на случай функции 1(х), непрерывной в данной точке з: .= и, справа. (Слева). Пусть в — некото- РОС полО)кительегОе ~ВлО. ДОГОИОримся н(кзьгвать )юлусег мент [а. сл+с)) и р авой полуокрестностью точа(с х = а, а полусегмснт (и — (1, сл) левой полуокрестнос 7(с ь ю спички х = сс. 11м(.'еГ месГО а-8 аа.е следузогнсе утверждение: если, функция, 1(х) непрерывна в плочке х = и, справа (слева) и если 1(сл) з- .О, то нийдется, правая, (левая) полуокрестность плочки х = и спикияг 'апо для всех значстт аргумента и;( указанной полуокрестности функция 1'(х) нс обряицистс)а в нул:ь и омлет знак, совпадвюсцст' со знаком 1(сл). Доказательство этого утверждения почти дос донно повторяет доказательство теоремы 8.4, только вмес:то правых неравенств (8.4) мы получим неравенства в, < х < и + й (и — й < х < и). й 4.
Прохождение непрерывной функции через любое промежуточное значение 1. Прохождение непрерывной функции через нуль при смене знаков. Теорема 8.5. Пусть фсуслкц(ся ф(х) )лепр((рьсслна ни сегменте [и, б [, и пусть зна"сения этой функцсги на концах сегменп(а 1(сл) и 1(1)) супсь числа разных знаков. Тогда внутри сеглсенпла [сл, б[ нстдегпся такая, точь;а ~, зни ле)лсле функции в ко)порой равно нулю. До к а с а тел ь с т во. Ради определенности предположим. что 1(с)) < О, д(б) ) О. Рассмотрим множество (х) всех значе; ний х из сегмснапв [о„б[, для которых 1(х) < О.
Это множество имеет хотя йы один элемент х = а (ибо 1" (сл) < О), и огрсиитено сверху (например, значением:г = б). Согласно теорем() 2.1; м(гож()ства (сс) и с)ущс)спвует точная верхняя грань. которую мы Ос)о)на.лим .П,р(п ~. Пр((ждсг всс)1 О, заьк)тим) что то -гка ( является внутренней точкой сегъсента [и,б[, ибо иэ неггрерывности функции а 1(х) на, сегменте [в„б[ и из условий г((л) < О, 1(б) ) О в силу заме")ания к теореме 8.4 вытекает, что найдатся правая полуокрсстность точки:с = а, в пределах которой 1(,л)) < О, и левая Ряс. 8.5 2об ооновнык ткогкмы о нкцгкгывпых еьнкциях гл. г полуокрестность точки к = 6, в пределах которой «(к) > О.
Докажем теис",рть по «(5) =- О. Если бы это было не тйк, то по теореме 8.4 нашлась бы 6-окрссстнсссть ~ — Б < к < с + б точки ~, в 71?седегсссссс 'ко77итрсссЙ срункасгя «(а:) амели бы 071?теде.1сснный знак. Но зто невозтжэжно, ибо, по определению точной вегэхней грани, найдется хотя бы одно значение к из полусегмепта с — Б < а: < < ( такое, что «(к) < О, а для любого эна псния к из интервала с < и < с + 67 «(к) > О. Итак, «(с) = О. Теорема доказана. Иллюстрацис!и к теореме 8.5 можот служить 1сис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
