В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 51
Текст из файла (страница 51)
рр.р ) ри = р о з р р / — ахр -!- ин а(ио — и )11 2а(гр — яр)! !и — а ' !р — а (!р — а)- В правой части под знаком интеграла стоит рациональная дробь. р!ир ирв..кр.. Ии. » - . рг: р= ! Пв:, .ртр .р гр» ° .. *г р.; р р корни, сделаем первую подстановку Эйлера р= Б р'рр-,- Ь: .. ° ° «-.рр, .рь ° - р . ихмг,'Л~ , рТ = р — ..
получим хв -)- х -1- 1 = 12 — 2йх -!-;гв или х -1- 1 = 12 — 21х. так что :и, = . а!х = 2 ', пг. !и — 1 В+1-ь1 ! -ь 2! ' (! -ь 2!) и Таким образом, Неопределенные коэффициенты А, В и С легко вычисляют- ся: А = 2, В = — 3. С = — 3. Окончательно получим 1 = 21п(г( — -'1п)1+ 2г)+ + С = 2 2(1+ 2!) = 21 я р р р .~- — — ь 1 к 2, р р~/: 'г' * р р 2 + + С.
р! 2. 2яррксц р1т, 2)ир;х=р".пр квадратный трехчлен 1 — 2х — хв имеет вещественные корни х! —— — 1+ ъ'2 и,г2 = — 1 — ъР2„сделаем вторую подстановку Эйлера (7.68) х+!з-Я И: рр 6в гк р Т вЂ” 2.,—, = р(ьр + 1+ ~/2), бурдем имегь ( — 1)(х+ 1 — ай) = г2(х+ 1+ у'2), твк что — ! (ъ 2-Ь 1) + ррР2 — 1 2 2мР2 х= !Р + ! 1 — 2т,— хв = .'-'+ ! 1' 1!о и!!три!! ировлпиви!хвлциоплльныхвы!тлжнп!й 239 Р+ ! ' (ет э- !)т Таким ттбртцтохт.
— — 4 2 1т1! Рт -Ь 1) (!э -Ь 2 игй ! -Ь 1) т ~ э Получаем интеграл от рациональной дроби, вычитщение которо- го ттредоставлаем читателю. б. Интегрирование квадратичных иррациональностей другими способами. Хотя подстановки Эйлера всегда рационализируют интеграл от функции (7.66), но обьтно эти подстановки приводят к весьма т ромоздким и слажным выкладкам. Ввил„у этого на практикс часто пользуЮтся другими сттособаъттт интетрировання функции (7.66). Этим сцогобам и посвящон настоящий пункт.
в, собой многочлен, мы хюжем представить функцию (7.66) в виде суммы Л(та й) — йт ! г) + йт тх) т я где йт !х) и Лт(х) некоторые рациональные функции одной переменной. Поскольку интеграл от Лт !х) берется (в элементарных функциях). нам достаточно заняться вычислениелт интеграла от функции Лг(х)ттд. Л!ы уже знаем '), что всякуто рапиональную дробь Л, (тт) можно представить в виде суммы мнот очлена Рбс) и ирооильиоб рациональной дроби йт(х). Правильную рациональную дробь йт(х) в свою ттчередь можно разложить на сумму простешттих дробей.
Имея это в визу, мы можт'м утверждатв, что проблема интегрирования функции Л, (х)тттт сводится к вычис.- лению интегралов слелуювтттх трех типов: 1 Р(х) 1. / — т1х, тле Р(х) — мноточлен. У в и. / 4х, где А и Л вЂ” некоторые постоянные, а натуральное у (х — и) й пи;то. Ъ|х -Ь тЛ' 1П. „т)тк где 81, тч, р и т! - некоторые постоянные, Л-- у бгт+рт; -ей)ху р натуральное число, причем й — — > О. Огтоновилтся на вьтислении ттттттттгралоо титто 1, и и 1П о отдслъттостви. 1. Д.,пт вычнс;гения инок.гроло титта 1 прежде всего установим реку!трентную формулу для интеграла т" х"" т)х 1„, = / ., где т = О, 1, 2, тт Для этого, предполагая, что т > 1, проинтегрируем сзедутощее проверят мое посредством дифференцирования тожлество: х'" (х й) = тло — + ~ттт — -ут Ь +~тт — 1)с д 2 д Д т) См. начало Э 8.
240 интег11пговлниевэиехсенти1ивсхеуниииих гги7 Интегрирование что|о тождества приводит нас к равенству х = п|а1„, з; ~1|| — -1| Ь1,„| -1- (и| — 1)с1 (7.69) Беря в равенстве (7.69) и| = 1, найдел| 1 Ь 1| = -у — — 1о. (7.70) а 2а Полагая затем в равенстве (7.69) т = 2 и используя уже вычнс сенное значение 1| (т. е. формулу (7.70)), найдем 1 | 1| = —,(2ае — ЗЬ)у+ —,(ЗЬ вЂ” 4ае)1о. 4ае ' бао Продолжая аналогичные рассуждения далее, мы придем к следующеи общей формуле: 1„= Р„, с (х) у ч- с, 10. (7.71) где 1'„, |(х) - аекоторый многочлен степени т — 1, а с„, — некоторая постоянная. Если в интеграле типа 1 Р(т) представляет собой многочлен степени и,, то интеграл типа 1 будет равен сумме интегралов 1о, 1|,..., Х„с не| оторыми постоянными множите|жми (козффнцнентами многочлсна Р(т)).
Стало быть, в силу равенства (7.71) мы окончательно получим для интеграла тина 1 следую|цую формулу: !' " дх=()о с(х)у+Со 1 — '. ' Р(т) 1 дх (7,72) В втой формуле с)„|(х) есть некоторый многочлен степени и, — 1, а Со— некоторая постоянная. Для определения многочлена Ц„ |(х) и постоянной Со используется метод неопределеннмх коэдх)1ициенглое. Зйногочлен Ьд„| (х) записывается как мно|очлен с буквенными козффициентами Ю„с(х) = Ао з- А|х -р... + А„,х' '. Дифференцируа равенство (7.72) и умножая рес|ультат дифференпироваш|я на у. полу щм Р(х) = 1зЗ'„с(се)(слх З- Ьх -1- с) -~- -Гд„|(х)(2ах т Ь) з- Со.
(7 73) 2 В обеих частях равенства (7.73) стоят многочлецы степени в. Приравнивая их козффициенты. получим систему и -1-1 линейных уравнений, нз которых определяются Ао, А|,..., А„| и Со. Разрешимость полученной системы вьггекает из справсдливогти формулы (7.72), уже докгщанной нами. Остается добавить, что интеграл, стоящий в правой части (7.72), приводится Ь к табличному посредством линейной замены переменной 1 =:г, -~- —. При 2а 1 |1х помо|пи укжщнной замены интеграл — с точно|:7'ып до нос|гааги|ого |шоу житела сводится к одному из следую|них двух интегралов: = 1п 1 сг усс'о х )св -1- С (у = сопвС > О) сй ьЛ'ГР или 1,г с11 =- агсвш — ч- С.
л/Г:T 1 !О ин'Ге! РиРОВлпие и!2!слЦНОплг!ьныок Вьп'луке1п!Й 241 П р и м е р. Вычислить интеграл 11х. Для рассматриваемого интеграла формула (7.72) имеет вил г 2: о=11 + 2: '1*',1 722* — * сс ! 2: 2п - иь' 2Р221 Дифференцируя эту формулу и умножая резуль газ дифферояцировация на х' = (А1+ 2Агх)(! Ч-2т, — хг) -Р (Ао+ А!2: -1-Агхг)(1 — х) Р Со Сравнивая коэффициенты при х,;г 2 х .
х' в правой и левой частях, по- 3, г 1,,0 лучим систему уравнений — ЗАг = 1, оА2 — 2А1 = О, 2Аг Ч- ЗА1 — Ао = О, .41 -Р Ао + Со = О. Решая зту систему, найдем 42 = — 123, Ас .= — 5226, Ао = — !9226. Со = 4 Интеграл, стоящий в правой части (7.74), вычисляем посредством замены ! =:г — 1. Ползчим ) Иг: I' сй . 1, . х — 1 — с= . ' с.
+2х — * .1 2— Окончазельно будем иметь 2 хг 19 5 ! х — 1 ,2. =( — --' --2Л) 2 ь- * ° 2,;;а" с. ,Ь ь ~ 2 2 2 У22 П. Переходим к вычисленисо ингнсграла глина П. Покажем, что этот 1 интеграл сводится к интегралу типа 1 посредством замены Ь = . В .г — А сак!ом деле, пос1сольку М г (Ага -!- АЬ Ч- 2.)!г -1- (2аА -2- Ь)! -У а с(х= — —, ах +Ьх+с— гг' !г МЫ ПОЛУЧИМ =- /' В /' Вг '111 Их =— (х '1) у,! (Ага ч- АЬ ч- с)!г ч- (2ОА+ Ь)1+ а П1.
Займегшя2 наконеп, вычислением интеграла типа В Е Прежде всего вычислим интеграл типа 1П длл частного случал р = О, Ь = О, т. е. вычислим интеграл Л|х+ Л фг. (:гг-Р 2!)ху221:го+ с Этот иятеграл распадастея на Сумму двух интегралов =, /' 2 2 -.=-/' х с(х /' 112: К,=,, ', К=с! (х2 1. у)л,гаго -Р г ! (ог Ч-2!)Лисагр+ с б 10 интву1 ун~овлнив и1грлционлпьныуд вырлидвний 243 '1акнм образом, коэффициенты и и и определятся из системы уравнений 2ри+ р(р 4-и)+ йд = О, 2риа+ Ь(и+ и) -~-2с = 0 или из системы эквивю1ентных уравнений 2(с — ад) ср — Ьд и+и= —, и и= Ь вЂ” ар Ь вЂ” ар Стало быть, и и и явлшотся корнями квадратного уравнения -1- = 4- = О.
е 2(с — ад) ср — Ьд Ь вЂ” ар б — ар (7.77) Остается доказать. что квадратное уравнение (7.77) имеет веществевпые н различные корни. Для этого достаточно доказать, что дискрнмннвнт этого уравнения положителен,т. е. достаточно установить неравенство (с — ас1) > (ср — Ъд)(Ь вЂ” ар). (7.78) Пегьо убедиться в том, |то неравенство (7.78) эквивалентно следующему неравенству: (2(с 4- ад) — 1уЗ~ > (4д — р )(4ас — Ь ).
(7.79) Поскольку квадратный трехчлен (ад 4-ра+ д) имеет комплексные корни, то 4д — р~ > О. Неравенство (7.79),заведомо имеет место, если 4ас — Ь' ( О. Докажем. что это неравенство справедливо и в случае. ко~да 4ас — Ь' > О. В этом с т ад случае д > О, а~ > 0 и 4 уасд > рб. Поэтому. учитывая, что ' > 'сад, 2 оудем иметь () (1 + д1)ллЛа11э + с1 (7.80) где ам с~ и д1 — некоторые посзоявные, а Р(1) — многочлен степени 2Л— Р(1) — 1. Разложив ) дробь „на сумму щюстешлнх, мы сведем вопрос: (сэ + д1)л о вычислении интеграла (7.80) к вычислению суммы интегралов вида ~11 ()с = 1.
2, ...Л). (се Э- д,)ь~l а11' 4 ., ') Пр Л>1. (2(с+ аф — бр)э > (4 Яде — рб)е = = (4д — р )(4ас — б ) + 4(рллас — блуд) > (4д — р )(4ас — Ь~). В написанной цепочке неравенств имеется хотя бы один знак строгого неравенства >, ибо первый знак > обращается в знак = лишь при с = ад, но при с = ад, в силУ того. что Ь ф аул заведоь1о (Рл7щс — Ь /У) Р О. н 1пхэтомУ второй знак > не абра|пастон в знак =. Итак. нами докжзшю неравенство (7.79), т. е. доказана возможность выбора таких и и и, нри которых в полученных квадратных трехчленах отсутствуют члены первой степеви относил ельно и Сделав замену (7.70) с указанными и н и, мы приведел~ интеграл типа П1 к янгу 244 унтк!!1и овйник в илкй!кн"!и! Вк!х еънкнивх Ртк 7 (р т и -~ 1)!а э'- [Зри -!- (И + в) т 2]! -Е [ва -!- и + 1) [! Г д .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
