В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Прежде всего, отметим, что нта проблема сводится к проблеме интегрирования |вольно правильной рациональной дроби, ибо всякую неправильную рациональную дробь можно (посредством деления числителя на знаменатель сстолбиком))) пред! тавить в виде суммы алгебраического ыногочлена неправильной рационаи|ьной дроби. П р и м е р. з' — х + ( 2 2 ) .стих+2 х)Ч-;сЧ-2 226 интег!'1и'Овлние В элеые1ГГАРных Финкш1ях Гл. 7 Здесь (1 — -- 2,3,...: Л = 2,3,...; В, М, й(., 5, р и 11 некоторые вещественные числа, причем трехчлен хе+ рх+ д не имеет Р Вещественных ко(пгей, т.
е. (( — — ) О. 4 Докажем, что каждая из 1етырех указанных дробей иптегрируема в элеьн1нтарпых функииях. Дроби вида 1 и П элементарно интегрируются при помощи подстановки 2 = .г, — Ь. Мы получим в ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~~ ~ с ~ ~ ~ ~ | ~ ~ | 7 ~ ~ ~ ~ и ~ ~1 | г 1 11х =  — = В 1п ф + С = В 1п ~х — 5! + С.
(7.55) (Т | (х-Ь)В ",1 1в (3-1)1 (6-1) (':-Ь) (7. 56) Для вычис:и;ния интеграла от дробя вида П1 представим квад- 42 ратный трех 1лен в виде (х +рх+ д) = (х 4- -| + 111 — — 1 и, '2 1, 4 / учитывая„что д — — ) О, введем в рассм1отрение вещесгвенну1о Р' 4 постоянну2о и, = + и — —. Одела~ подстановк1 1 —;г+ —, пулем 4 ' " 2' иметь ЛХР | г ~ т ~ ~ ~ ~ ~ | ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ г ~~ ~ (х~ -1- Рх -1- д) / Р -Ь а~ ,~Х | 21 с(1 / ЛХРЛ | 44 = 2 /1+аг (~ 2 )/ Р+» О = — 1п(1 + а ) -1- ' агс(и — + С = 11 2 2 21у — Мр 2 2а ~п Р Т+— = — 1п(х2+Рх+д)+ ' Р агс(у, +С.
( .5 ) 2 Остается вылив тить интеграл от дроби вида 1Ъ'. Используя вве- Р Р деннью выпи: обозначения 1 = х + —, а. = )| 11 — —, получим )/ Г дх = (х' жри+ 2)4 1 (гг -1-а'")4 2 / ф 1.а..)» (,' 2 / / (1'-'.ьа~)л' ! 8 е!е'Овина!А 1И!!'НРРНЕ'Овяния РАЦНОняльеЕОЙ ДЕгови 227 Интересуюший ннс интеграл будет вычислен, если будут вычис- лен! ! нпгс!!рады /' д! / (!2 Ь и!)г ' с)(! -!- о ) Х ~ ~~ г г (г~ + аг)~ Интеграл Х берется элементарно: (А Ц (!а + ое)г — ! (Л 1) (ге + рг+ с1)г — ! Интеграл Хсл вычислен нами в примере 6 в конце 3 2 гл. 6.
Там мы получили для этого интеграла рекуррентную формулу (6.12), позволяюпгую последовательно вычислить Х! ! для любо- го Л = 2, 3,..., опираясь на то, что Х!'! — — /, ', = — асс!а — + С. д! / '+.' Итак, нами вычислены интегралы от всех четырех простейших дробей (7.54) и доказагю, что каждьш пз этих интегралов представляет собой элемесгенирную функци!о ). Тем самым мы приходим к следу!ошей теореме, ис п.рпывающей проблему интстрированпя рациональной дроби. Теорема 7.6. Вслкил риционильнил дробь ингнсграруепюл о эламенгггаргсмл функцгглг.
В заключение этого параграфа мы остановимся на примерах вычисления неопределенных интегралов от рациональных дробей. Вычислим неопределенные интегралы от грех дробей, рассмотренных в предыдугпем параграфе (7.49)., (7л50) и (7.53). Пользуясь указанными тремя формулами, а также формулами (7.55), (7,56) и (7.57), будем иметь: 2 ! +4г +я+2 с сг. = (г — 1)а(га +:г+ 1) дг+,, дл+ 2 /' 3 /" снг г — 1 " / (.г — 1)в ' / .г'-Ья+ 1 3 2 2ят1 = 21п(.т — Ц вЂ” — + — агс:!и ' + С. :,— 1 3 ьгй Точнее, выражается через логарифм, арктангенс н рациональную функцию. 228 и!лтег!'!!РОВА!л!ле В из!ехле!и!Игных ФУ!лкшлу!х Гл. 7 3:г -1- 2х т Зх — 1 ах = (х — 2)(.га Л-1)а — Йх+ а + = 3 !лл)х — 2! + 2 агс!я т, + — ! 1 ! д(:се+1) 2 / (а -1- 1)а 1 = 3 1л! /х — 2! + 2 гпсйй х —, + С. 2(ха Л- Ц = — 2 1п /х — Ц + — 1п /х ! + — 1л! /х — 2! + С.
8 9. Метод Остроградского М.В. Остроградюлим !) предлолсен остроумный метод вл!деления рацио!лилънол1 чисти интеграла от правильной рац!лональной дроби Р(т)/СД(х). Анализируя вид интегралов от гетырех простейпгих дробей (7.51), можно сделать <н!еду!ощие выводы: 1) Интегралы от дробей вида 1 и П1, знаменатели которых содержат двучлен ллли соответственно трехчлен в первой степени, явллиопюя ююрстцтлонилю!ыми функцнямл! (они равны логарифму или арктингенсу). 2) Интеграл от дроби вида 11, знаменатель которой содержит дву !лен в степен!л !3 ) 1, является, л!)овальной рациональной дробгло со знаменателем, ривныл! гг!ему з!се двучлену в спсепеин )л — 1. 3) Интеграл вида 1Ъ', подыитегральная функция которого содержит в знаменателе трехчлен в степени Л, в коне гном итоге 2) равен, сумме правильной рационилъной дробь со знимеллии!елем, рлвным тому глсе тирсхчлену в огне!!ени Л вЂ” 1, и г!р!!водящегося с!а; к врктиингенсу ни!негро,ли сопи! / (х' Л- р.г+ о) Выводы 1), 2).
3) позволяют заключить. чему равна рациональная ласть всего интеграла от правильной дроби Р(т))ь2(х))., которую мы, кроме того, будем считать несокрагиимойй Пусть знаменатель (,!(х) имеет вид я(х) = (з; — у! )в'... (т — бп,)1й" (гй+р!,с+у!)л' ... (хг+рнх+Чл)А", (7.58) ') й(илтиьа Васильевич Остроградский русский математик (1801. 1861). а) С учетом рекуррентной формулы (6.12), полученной в конце 6 2 гл. 6. 229 мктод оотщогглдокого 1в Тогда рациональная часть интеграла от правильной рациональной дроби Р(т)/С~(х) равна суззмез правильных рациональных дробей, знаменатели которых соответственно равны (х — бз)' ' .....
(:»: — (ззл)З' . (х +рзх+ 90) ' ( 2+, + )л„з 1'ациональная часть интеграла от д1зобззз Р(х)(Я(:з:) представляет собой, о зевидно, праззильнузо рацзлональную дробь Рз (х)Яз(х), знаменатель которой Сзз(х) имеет вид Яз(х) = (х — бз)з' з... (т, — 1з„,)зз"' з(ха+ рзт+е1з)з' ... (х + р„х+ е1„)~" . (7.59) Поде зитасм теперь сумму тек простсйпщк дробей, интегралы от которых представляют собой нерациональные функции. И,'з выводов 1) и 3) ззытекает, что эта сумма равна правильной рациональной дроби Ря(х~)/Яв(т)), знаменатель Я (х) которой 1завен Яя(х) = (х — 5~ )...
(х — Ь„,,)(х +р|х+дз)... (хя+р„х+д„), (7.60) Таким образом, мы приходим к следующей формуле, впервые гюлу генной М.В. Остроградским: у т х (') „т Л(') + Г з(х),т (7.61) Гй(х) Гзз(х) .У Г2з(х) В форнзуле Остроградского многочлены С~з (т) н СзЗ2(х) определяются формулаь!и (7.59) и (7.60) в могут быть вьгпзслсны беа разломи енил многонлезза С2(х) на ззроизеедение ззегзриеодззмьзх мнооюззпзелез1. В самоъз деле, в силу результатов з 4 (см. формулу (7.25)), многочлен Яз(х) представляет собой назлболыпий общий делитель двух многочленов СЗ(х) и СзЗ'(х) и может быть вычислезз при помощи алгоритма евклида (см.
8 4). Много тлен СЗ2(х), в силу формул (7.58), (7.59) зз (7.60), представляет собой частное ®х)ззСзЗз(х) и может быть вычиелеп посредством деления Я(х) на СЗ~ (т) «столбикомь. Остается вычищпггь мнозо тлены Р~(х) и Ря(х).
Поскольку ДРоби Рз(зг)Яз(аз) и Ря(х)Яз(х) ЯвлЯютсЯ пРаззпльными, много з;пззз Рз (:г) осте.огненно задать как азззого злен с ззззоп1зезделезззными кОэффш1ззентанззз степензз на единизЗу ниже, жм С2з(х), а Рв(х) .— как многочлен с неопределенными коэффициентами степени на единицу ниже. чем Яя(х). 11ля вьгппления указаннык неопрсдс:и;нных коэффициентов следует продифференпировать формулу Остроградского (7.61), привести резу:п тат дифференцирования к общему знаменателю и сопоставить коэффищзенты п1ззз огзззнакОВьзх степнзях х В пзшзителях. 230 иллтвглли овлнив в элвмвнтлл'иых функциях гл.
7 Таким образом., метод Остроградского представляет собой остроумный прием интегрирования ралиональной дроби без ~нредварительного разложения этой дроби на сумму простейших. Этот прием особенно эффективен в том случае, когда корни 12(х) в основном являются кратными пли когда вызывает затруднение нахождение корней 12(х).
П р и и с р. методом Остроградского вьглисщить с з б — 7.с — х ' сс слл хл — 2хс + З.сс — 2х + 1 Имеем ц(х) = хл — 2х'л + Зхэ — 2х + 1, (~'(.г) = 4хэ — бхэ+ бх — 2. Ищем („)1(х) как наибольший общий делитель многочленов б)(х) н Я'(х). Заметим, что наибольший общий делитель именно эпплх двух много лленов ) же найден нами в примере, )ласеклот)ленном в конце З 4. Он равен Сс)1(Х) = Хэ — Х+ 1.
Поделив б,)(х) на б)1(х) «столбикомк найдем Я (х) = 72 — х+ 1. Р1(7:) и Рэ(х) задаем как многочлепы первой стл пени с неопределенными коэффициентами. Форклуэла Остроградского (?.61) принимает вид с с б — 7х — х 1 Ахэ-В + / Схэ-Р ( (762) :" — 2. ЭЗ.? — 2х-Ь1 "' ' —;+1 Для определения коэффициентов А, В, С, Р продифференцируем формулу (7.62). Получим б — 7х — х" А(х' — х + 1) — (4х + В )(2с — 1) С с + Р сл — 2хн + З.сс — 2х + 1 (х' — х+ 1Р + (хс —.с+ 1) Резулыат дифференцирования приводим к общему знаменателсо, вошле чего сопоставляем ~и<митесллл.
Посл1 чим 6 — 7х — х2 = А(т, — х+1) — (Ах+В)(2х — 1)+(Сх+Р)(х~ — х+1). Сравнивая коэффициенты при хо, х1, хэ и т,'1, получим систему уравнений С=О, — А + Р— С' = — 1. — 2 — Р+ С = — 7. А+В+Р =-6. 1 со интигс 111 овлиик игглционлльиых выглуккиий 231 Решая эту систему, найдем А = 2, В = 3, С = О, Р = 1. Такимс образом, формула (7.62) принимает вид 6 — 7х —;ге сй:=,," ' + 2сг,жЗ / с)х хс — 2х'с -С- Зхв — 2.г, -С- 1 .ге — .с: -С- 1 ( .ссс — .г -С- 1 Вычислив интеграл в правой исти, окончательно найдем 6 — 7х †.г' 2х+ 3 2 2.г — 1 с)сг =,, + — агс16 + С :гс — 2ге+ Зхе — 2х -С- 1 х' —,г+ 1 згЗ 3 10.
Интегрирование некоторых иррациональных и трансцендентных выражений В предыдущих параграфах мы установили, что интеграл от любой рациональной дроби представляет собой элементарную функцию. В ссастоящем параграфе мы рассмотрим некопсоръсе другие классьс фусскцссГс, интегрссрдемьссд в элемегспсарссьсг функцилт,. Как правило. мы будем посредством некоторой подстановки сводить интеграл от расс:матриваемой функции к интегралу от рациональной дроби.
Относительно указаннои подстановки мы будем говорить, что она рационализирует синтеграл от рассматриваемой функции. 1. Интегрирование некоторых тригонометрических выражений. Договоримся всюду в дальнейшем символоьс )т(х, у) обозначать любую рациональнусо функцию от двух аргумшстов х и у ). В этом пункте мы докажем инпггрируемость в элементарных фусскссиях любой функции вида Л(вш т,, соя л). (7.63) Докажем, что интеграл от этой функции рационализируется .г подстановкой 1, =-1и -". Действительно, 2 .г е ' 2 си — ' 21 ! — сй — ' 1 св вша =, =, совх = 1+ Сйв — 1+ С 1 Ч- Сйе — 1+ С 2 2 в = 2 асс)и и д:г = 2гн 1+И' ) Рацнонацьная функция от двух аргументов определяется гледушшнм образом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
