В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 45
Текст из файла (страница 45)
эти свойства полпостью решают ьопрос о еь!'Сппгинип комплексных ОГО|ел как о дейс!вии, обратпом сложению., и о де|Я!/н|1п, кеьм||лтсиь|х чисел как о действии, обратном умножепик|. Р/137!е!Г/7!)ь777 дОЧх ком7|лекел|ы|с чие|ел 21 = (:с1~ у1) |!' и2 (12 |/2) иипыв|и7пся 77!!!ы|/е.
'ьом7!ле|ксиое число 3 кГ!7НО7!Г/Г'. 6 ! 1 1(1'Аткие сведеиия О кОХ!11лексных числАх 205 сумме с гг с)с)еп) г). С помощьк) свойств 1' 4' элемептарпо устанавливается сугцсствовапис и сдппствеппость разности двух любых коъпглекспых чисел '). Легко проверить, что разностью двух комплексных чисел г! = ((ъ!) у!) и гг = ()г) уг) является коъшлекспое чис,ю е вида г =- (:):! — хсп у! — уг). (7.3) '!летным двух комс)лексных) "и)сел, г1 = (х), у)) и гг = (х, уг), вп)орое ив которых не !хи)но нули). наиыси)е/сел то; кое комп,и)ясное число л, кс)торос прп, умноонтппи), на гг даст г1. С помощью свойств 5' -8' легко установить, что ед)п)ствеяпым час тпым двух указанных комплекспых чисел яв.зяется комплекспое число г вида (7.4) х +)/) х 1 у) В операциях с комплгксцымп числами особую роль играет число, представиыое парой (О, 1) и ооозначаемое буквой !.
Умножая эту пару самое иа себя (т. е. возводя ее в квадрат). получим в силу определения произведения комплексных чисел; (О, 1) . (О) 1) = ( — 1. 0) = -1, т. е. )г = -1. Заметив это, мы можем любое комплексное число г = (х, у) представить в виде г = (х, у) = (х, 0) + (О, у) = (х. 0) + (у, 0) (О, 1) = х + су В дальнейшем мы будем широко использовать для комплексного числа г = (:г, у) представление в = х + ъу. Это представление и рассмотрение ъ в качестве ъшожителя, квадрат которого равеп — 1, позволяет производить операции с комплекспыми числами так же, как опи г)роизводятся с алгебраическиыи мпогочлепаыи.
Комплексное число е = (х, — у) =,т — )у принято пазывать сопряженны,м, но опиипие)тк) к комгтекти)му ')пслу г = ((г) у) = =- сг+ ип О невидно, чтс! кс)мплс'кениг число равно нул)() )поядю, и спольъсс) тоедс). когди равно нулн) сопряженна)е ему "спело., ибо равенства х = О., у = 0 эквивалентны равенствам х = О. — у = О. Для геоъ)етрического пзображепия коъ)плекс_#_ых чисел удобно пользоваться декартовой ссряыо1тольпой системой коордипат.
При этом коыплекспое число г =. (х, у) изображается или точкой М с коордипатами (х,у), или вектором 0)1!) идущим из начала координат в точку М ') Это делается точно так >ке, как и для веаиественнык чисел (см. и, 3 'ч 2 сд. 2). 206 интегвиРОвлние в элементАРных Функииях Гл. т При таком способе изображения сложение и вы 1итаппе ком- плексных чисел сводится к сложсник1 и вычитании> соответст- вукнппх им векторов (это псшятпо из формул (7.1) и (7.3)). Если наряду с декартовой системой координат ввести поляр- ную систему координат так, чтобы нолик находился в начале О декартовой системы, а гкелярпая ось была направлена вдоль по- логкительного направления оси От, то декартовы координаты (,г., у) и полярныс координаты (р, 0) лк>бой точки М, как изноет- по, связаны формулами р= ЪУ:т2+у2, агс16 -' при и > О, у (7.5) д = агс16 — '+ каипу при т, ( О.
т = рсоа д д = р81пд ) При атом нредноласветсв, что комплексное число ле не равно нулкк . е. Ре ~ О. '2 —,8НПУ прит,=О. Формулы (7.5) приводят пас к пцтгонометпрнческой форме представления комплексного числа - = (:г, у): л = (х.у) =:г+1у = (рсонд,р81пд) = р(со80+28п10). (7.6) В тригонометрической форме представления (7.6) чис ю р называют лигдулесй а угол 0 ораументом комплексного числа. Аргумент О определен неоднозначно: вместо значения О можно брать значение О + 2л и (где и, =- О, ~1.
~:2,... ). В тригонометрической форме удобно производить операции умножения и деления кохшлексных чисел. Пусть даны дна произвольных комплексных числа иг = (тгм У1) = — (Р~ сов Оы Рг эш 01), в2 (и21 у2) (Р2 соэ 02; Р2 8сп 02) '1Ъгда, по определе|шю ухшожеиия (в си.лу формулы (7.2)), п1юизведепие этих чисел имеет вид з1 з2 = (ч Иг2 — УЪУ2~ 7102 + и2Ч1) (Р!Р2 со8 01 сов 02в — р|р28ш01 вш02, р~рзсо8018(пдэ+ р~ревшд~ со802) = = [(р1Р2) соэ(01 + 02), (рсрз) 81п(01 + 02)). (7.7) Аналогично пз формулы (7.4) таключаскй что частное — ' двух комплексных чисел 2~ = (гам у1) = (р1 совдм р1 вшд1) и 22 = =- (ив, у2) = (Рзсо802.
Р281п02) имеет вид ) 207 лг!Генрли'!ес>1(1|е кн!ОГОч>!е1!ы Из формул (7.7) и (7.8) зак:по тек|, что при умно>иветт дт|х камплг>нснгых |посл их,модули т|е1>ем>гг>г>н>г>н>тлгл, а, ар~ументы складьгваюлпся (п1>г> деленлт двух камилексны г |ии ел, |>и модули делятся, и, аргумскти|ьг вычл>лг>г>н>лтя). Это свойство последовательно переносится па сшу |ай произведения любого конечного чис.та комплексных чисел.
В час:тности, ес ш нерекшожакпся и равных коьшлексных чисел (т. е. если комплексное число возводится в степеш и,), то (рсоа О, р в|и О)о = '1ро сов Оп,. р" в|лук>). (7.9) Из формулы (7.9) при р = 1 получим так наз»>ваемсук> формулу Муавра ) (тв О, ьш О) и = (сов От|о в|н Ол!) . (7.10) Формулу 17.10) можно записать и в другоы представлении: 1совО+1в|пО)а = совуп, + |вшуа.. (7.11) В зак,почение заметим, что комплексное число, записанное в тригонометрической форме, равно пулю в том и только в том случае, когда равен нули> его модуль. Отек>да и из того., что при переьшожении кохшлексных чисел их модули неремножаются, вытекает, что произведен|ге нг:скольких к;омплексньгх чисел, !тано нулю ломил и там случае, когда !>авен нули> хапин бьг сну||и иг сг>м неон>и|пеле >1.
й 2. Алгебраические миогочлеиы 1. Алгеб1к>л>лгег>гим мнигочленам п;и степени называется выра>кение вида 11г) = сего + с|ли ' +... + с„|г + са, (7.12) где г = 1хчу) = х + |у переменное комплексное число, а со, см..., со некоторые ностошшые комплексные числа, первое из которых отличи|> от пуля.
Как известно, любой алгебраический мпогочлен стенепи п, можно поделить лстолб|ском» на другой алгебраический многочлен стенепи пе выше чем п,. Таким путем мы приходим к следующему утверждению: какоасы бы пи были даа, многасалста, 11г) и |р1г) такие, 'ипа степан| |р1г) не василе, че,м 1 1г), ссгрг>ведливг> равенслпва ! 1г) = |р1г) >7(г) + гг,г), (7.13) в котором с!1 ) и > Гг) — некоторые мнагочлены, с|1>|>гнем сп|епеиь г7сг) раста 1>г>внг>г>лг>л>, с|пепси|ей мпогочлвнов 11г) и ср(г), а степень т(г) ниглсе степени |р1г). ') йо де Ъ1уаар английский математик, ао наниональностн франауз 11бб7 — 17бй). 208 интер!'игсгнлние В и:1ементлрных ФУИЕИ11»!х Гл. т По отпошешск» к фигурирук»щим в равенстве (7.13) многочлснам «(г), ср(г), с7(г) и т (и) обы шо нрименян»т вполне попятные термины «делимое».
«де:штель»», «частное» и «остатокк Говорят. что кшогочлен «(г) делится па многочлен у»(г), если в полученной посредством деления столбиком формуле (7.13) остаток г(г) =- О. Договоримся называть мпогочленом нулевой степени любую кохшлексную постоянную. Тот,и соверпгенно ясно. чтпо лнгбой многочлен дслипгся на отллгчнвгй сгпг нуля многлгчлен нулевс»11 степентл. Изучим вопрос о делимости мпогочлепа «(г) па мпогочлен первой степени (и — (г). Определение.
Но!с»с!с!лкл комплексное 'шсгюг 6 к о р н е м ,»и и о г о ч л, е и сл «(г). солт! «(!») рслвнсг нуггнг. Теорема 7.1. Мнсггсгчлен нулевогг степеюл «(г) делтнся, но. дву"ллен (г — 6) тпогдо, тс только тогда, когда 6 ясггсяетсгсгя, корнем многочлена «(и). Д о к а ! а т е л ь с т в о. Залп!шеи! для мпогочленов «(г) и сгэ(г) = (г — 6) формулу (7.13). Поскольку степень остатка т(г) в этой формуле обязана бытпь нснясе степени делителя р(г) = ив — 6, то г(г) -- мтсогсг"ллслтл !Еловой сгттгслтгстлтл.
т. е. т'(г) = с = сс»нв),. Таким образом, формула (7.13) принимает вид «(г) = (и — 6 ) . с)(г) + с. Полагая в формуле (7.14) и = 6. найдем. !то с = «(6). По определению «(г) делится па г — 6 тогда и только тогда, когда остаток в формуле (7.14) с = «(6) равен нулю. т. е. тогда и тсит ко тогда. когда 6 является корнем «(г). Теорема доксюапа. 2. Естественно, во!ни!сает вопрос; всякий ли алгебраический многочлен имеет ко)нш.' Ответ на этот вопрос дает основтгая нсео!лема алгебра! ): сссякслсл мглогочлен нею!лсвс»й спниген!л тлместп хотя бы один корею. Опираясь на эту теорему, докажем, что слгсгслб!ялллчсгсктслй многочлен п,-й степенп нмсстп точно и ксйгней ).
В самом деле, пусть «(г) . хшогочлен и;и степени. Согласно основной теореме алгебры «(г) имеет хотя бы с»;шн кореш, 6г, т. е.;тля «(г) справедливо представление (7.15!) «(.) = (г — !»1)«!(г), в котором через «1(и) обозначен некоторый хшогочлен степени (н. — 1). Ес.гп и, ф 1., то, согласно основной теореме ал! ебры, «! (г) нъсепг хотя бы о;нш кореш 6»ь т.
е. для «! (г) справедливо ) доказательство этой теоремы см. в выпуске «срунктггли комплексной переменнойм ) Прлс атом. конечно, мы считаем, что и ) О. 209 ЛГ!ГЕБГЛИЧЕПКИЕ МИОГО'1ЛЕ1!Ы представление 71(я) = (в — Ьв)ув(х) (7.15Я) в котором через Уя(я) обозначен некоторый мпогочлен степени (и — 2). Повторяя ука|апные рассуждения далее, мы полу'плк| представления (7.15в) Ь(я) =- (я — )зз)Ия): У -1( ) = ( -Ья)Л(я) (7.15в) В последнем из этих представлений через уп(я) обозначен некоторый мпогочл<п пулевой степспи, т. с. 7п( ) = с = сопя!. Сопоставляя между собой равенства (7.151)- (7.15п) и учитывая, что !в(я) = г, будем иметь з (я) — (я 61)(х )Ья) ° (я Ьв)с. (7.16) Отметим, что комплексная постоянная с пе равна пулю, ибо в противном случае миогочлеп 1(я) был бы тождествшшо равен лусио и пе являлся бы мпогочлепом и;й степени ).
Из равепства (7.16) очевидно, что )" (61) = у'(!Ья) ... = у (6„) = О, т, е. каж;|ое из чисел 6| < 6,..., Ь является корнем кшогочлепа ! (я). Кроме того, из (7.16) очевидно, что< каково бы пи было комплексное чиыо 6< отли п|ое от 6|< Ьз,... < Ьв, комплексное число ('(6) пе равно нулкб ибо произведение нескольких комплексных чисел равно пуля> лишь в том случае, ко|да равен иулкз хотя бы один из сомножителей (см. З 1). Таким образом, мпогочлеи )" (я) имеет ровно и, корней: 6|, Ья,, ., < 6п. 1'авен<:тво (7.16) дает ра|ложешле мпогочлена !(я) на множители.
Если пзвостеп вид ушого слепа 7" (х) (7.12), то мы можем определить постогпшую с в равенстве (7.16). Сравнивая в равенствах (7.16) и (7.12) козффициепты при х", получим с = со Я). '<1ногочлен (7.12). у которого со = 1, называется г|р|<нсо|епныл|. Длг! приведенного многочлепа формула разложения (7.16) 3 < ) Здесь мы <юп<о<ьзусм слслуююсс утверждение: осло м<юеочлсн Г(в) = = ие. -~- п<я -|-... -|- а„<я -|- и, яитди.«минно уаеег< нулю, я<е есе еао коаффициеннгя уаени нуля<.
В свмом деле, если !"(в) = О. то при = = О получим а = О. Но тогда т(я) ы я(пег"' + а<-."' + ... + а„.<) = =О. Так как я фО, то выражени< в квадратных скобках тождественно равно нулю, откуда при я = О получим а „< = О. Про.<оля<ая аналогичные рассуждения далее, .докажем, что все коэффициенты равны нулю. е) Здесь мы используем утверждение: если дев многечлена ава" Ч-а< ' -|- +... Ч- и„и Ьеа" Ч- Ь< -"' -|- ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
