В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 42
Текст из файла (страница 42)
что функция х = «2(1) в окрестности рассматриваемой точки имеет обратную функцшо 1 = <72 (х) ). По<ледне<1 предположение дает нам возможность рассматривать у как функцию аргумента х. 1~ ) Это ойсспе*плвается сутнегтвованием первой производной Чм(<), отличной ог нуля в некоторой окрестности рассматриваемой точки < (см. и. 4 '2 2 гл.
15). ФУНКЦИ11, ЗАДАННАЯ НАРАМЕТРИ"!ЕСКИ 189 Поставп)я задачб о вычи(л((н)п( про)г)водных у по а)пум()нту (г. Эти производньп( договоримся обознач пь символами (2) (з) 1/т, Р,, Р'е,... В силу ('войства инвариантпости первого дифференциала можем записать ) 11( = иа, се(1 = ())((1)сИ., (7ж = (р~ЯсИ,. (15.57) Из этих формул получим следующее выраженно для первой производиойп ~81) ' 15.58) Аналогично вычпсчяются производньп вьпхпих порядков. Так. для вычисленця второй производной у ., достаточно предста- (2) ВИ'1'Ь ()Е В ВИДЕ [г) 4ь.',) Ухе 4. и воспользоват( ся формулой 15.58).
третьей (к( формул 15.57) и прави.том дифференцирования частного. П р и и е р. Вычиспгть первую и вторую производные функ- ции, заданной параметри и'.ски; :г = о() — вш1), р = а11 — сов 2), — ос < 2 < оо. Кривая, определяемая эплми уравнениями. называется цинк(аидой 2). Получим ( акга( 1 уи = ' = с18 — ' 12~ 2кй, где lс - целое), и(1 — сов() 2 11(2) = и(1 — сов 1) 4и Ив 2 5) При этом мм бором ((и и (сг в одной и той же точк( 1 и д.,(я одного и того же М, а) Б)(клоида представляет собой траекторию некоторой фиксированной точки окружности, катя(вейся боя скольжения по прямой линни. ГЛЛВА 6 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ В агой главе будет рассмотрена задача о восстановлении функции по пзв(стной производной этой функции. Актуальность этой задачи была выяснена в гл. 1.
я 1. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла 1. Понятие первообразной функции. К числу важных задач механики относится задача об определени(л закона двил(61ия х(ат((риальнОЙ точки по задапнОЙ ('е скорости. а таке(('. задача об определении закона движения и скорости матерна:и- нОЙ тОчк1л НО заданному ее )скорению ). Эти задач~ приводят к мат((мати и".ОКОЙ п)зоолеме оо(ь(гкьии(л функц(ы(, по заданной пронлводной в(пой функции, Пе)к:ходим к )г(с(мотренп(о этой прон:к(мы.
Определение. Функция. Г(х) иавтлваен(сл, п е р в о о б р а пи о й ф у н к ц и е й (илп прон(ли и, е р в о о б р а в н о й) длл фуижц(п( ("(х) на пньоервале (а, Ь), если в ли(бой точке х анп(срвала (а, О) функции Г(х) дифферепь;аруема и ил(вега про(ыводиую Е'(х), равную 1((с). 3 а м е 1 а н и е.
Аналогично определяется первообразная для функции 1(х) на бесконечной прил(ой и на опзкрып((г(1 полупрлжой 2) . П р и м е р ы. 1) Функция Е((г) = Д вЂ” хв являепгл перво- образной для функции ф(:г) = — на интервале ( — 1, +1). ') Вместо ускорении материальной точки можно задать действуюп(у(о на то (ку силу (иоо, со(летно втором~ закон( Нь1отопа, сила онределнгт ускорение (той точки).
) И вообпп: на снобом плотном е гсбс множестве (х). Определение плотного в себе множоства см. в $ 3 гл. 2. нггрвооврлз!!лт! Фу1!кцня н нионгидилинный ин'ги!'глл 191 11 ибо в ли!бой точке х этого интервала ~т/1 — Р) Г! .ОГ ' 2) Функция Г(х) — — аГпх является первообразной для функции 1(х) = сов х на бесконечной прямой ( — ж, ос), пбо в каждой точке х ГГесконечпой прямой (зшх)' =- сов х. 3) Функция Р'(Гх) = 1и х является первообразной дта функции 1 ф(х) = — на открытой полупрямой х ) О, ибо в каждой точке х Г 1 ьчой полупрямой (!пх) = —. Если ГГ(гг) являГГтся первообразной,тля ф! нкцни ф(х) на интервале (а,(1), то, очевидно., и функция и'(:г) + С.
где С люоая постоянная, явгГяетГя первообразной д:Гя Грунин!!и 1" (ГГГ)»а интервале (а,Ь) Естес твенно, возникает вопрос. как связаны между собой разли шые первообразные для одной и той же функции ф(х). Справедлива следующая основная, теорема. Теорема о.1. Если ГГ (х) Га ГГа(Гх) — любые. первообразные для фуикцшГ Г'(х) на интервале (а, Ь), то всюду на этом интервале Г!(х) — Гг(х) .= С, где С вЂ” некоппГрил ГГостоянная.
Другими с.иовами, две любые первообразные ддя одной и той же функции могут отличаться л1ппь на постоянную. [ о к а з а т е л ь с т в о. Поло ким Ф(х) = ГГ (,т,) — Гог(х). Так как каждая из функций Г1 (х) и ГЗ(х) дпфференцируема на интервале (а, Ь ). то в силу теоремы 5.3 и функция Ф(х) днфферепцнруГГМа На Иитг риад11 (а, Ь). Пр1цГГГТГ ВГ;Юду На ЭТОМ Иитсрась111 Ф'(х) = Г,'(х) — Г.,'(и) = ((х) — ((х) = О.
В 3 10 1;1. 8 апГтодами, Гп1 Гц:по.Газу!о!ними рГчз1.льтатов э!той главы,'. будет доказана теорема 8.13 сдедуи1щего содердгания: !1 если функ!!ия Ф(х) дифференцируема всюду па интервале (а. Ь) и еГГГш всюду ца этом интервале Ф'(х) = О, то функция Ф(х) является постотпГГГой на Гштервале (а, Ь). Из этой теореь|ы получим, что Ф(х) = Гц (х) — Га(х) = С = = сопв1, что и требовалось доказать. Следстпвие. Бслн Г(х) о д и и, пз Гг рвообразиых фуикцГгй для, функцГт 1(ГГГ) ГЯГ ГитГе1юилг (о„Ь)„пю л, КГ 6 а,и пдрвообз разная, Ф(х) для, функции 1(х) на пнп1ервале (в,,Ь) имеет внд Ф(х) = Г(х) + С, где С некопюрая поспготшая. 2.
Неопределенный интеграл. Определение. Совокупность всех иервообразиые функинй для данной функции ф(х) иа нГГГГГГГрвсые (о„Ь) назывГГГГГГГся и со и р е д е л е н н ы .и и н т е г р и л о м от фуикцГи1 ф(Ге) ') Заметим, что главы б и 7 бгз угнорба для понимания этой книги могут чизатьгя иосдо гд. 8..'11ы выдвигаем г.ивы 6 и 7 виород, побь1 текорить 311акОмстао читато:Гя с '!Окиикой инто!'рщГОВдиия. нкош ндклинный инткп ял 192 ]тса этом интпервиле) и обогни сигтся силсволом (6.1) ]" (х) дх. В этом обоза гнпии знак ) называется знаком инпсеграла, выра- ?К(сннс! 11х) дх педнтнссег]хсльтням сгсссрсссэнс>е'.тстссс с. и сама функция 1]сс>) иодынтегральной' фтункцссей. Еюш Г]х) одна пз первообразных функций для функспш т'(х) па интервале ]а.
Ь), то. в силу следствия из теоремы 6.1, (6.2) ]" (х) грх = Г(х) + С, с т с т где С вЂ” — любая постоянная. Под теркяем. что ее.лтс первообриэная (и си?ало быть, и неопределенньсй интегра,.л) для с)>тутскцтстс 1(х) ни интервале. (и, Ь) сутцествуепс„пи> тсс>дынпсегральнос. выраэюение в форлсуле> (6.1) тсредсгиаоляет собой дтсс]х1серенцтсс>л ллобой' тсэ этлсе иервообриэиых.
В самом деле, пусть Г(х) — любая из первообрезных для функции 1(х) на интервале (а. Ь). те. для всех х нз интервала ]а, Ь) Г']х) = 1 (х). Тогда 1 (х) дх = Г ]э>) дх = ЙГ. П р н м е р ы. 1) ацг = Д вЂ” хг+С на ннтервад Я ле — 1 < э> < 1. нбо функция Г(х) = ъ'Т вЂ” хг является одной нз первообразных для функции 1'(х) = ', на указанном интервале. 2) д совх дх = вшх + С на всей бесконечной прямой — ос < < х < ос„ибо функция Г(х:) = вшх является одной нз первообра:шых для функции 1]х) = сов х на бесконечной прямой.
В этой главс. вты нсс будем заниматься воссросоис о суи]тн>псвова; нтш первообразных (илсс неопределенных сштегралов) для широких классов функпнй. Здесь мы лишь отметнхт, что в ч 7 гл. 10 будет доказано. что для всякой 4утскцтссс ]" (х>), нелсрерывной на интервале, (а, Ь), сутцеспсвует но, этом инпсервиле тсервообригная суункцтся (сс тсеотс1>еделетстстс1 интеграл). Операцию нахождения первообразной нли неопределенного слнтегралсс (от фусскцпи 1(х)) принято называть и н т е г р н]> о В и н и с.
и (фусскссссн ] (х)). 3. Основные свойства неопределенного интеграла. Прежде всего отметим два свойства, непосредственно вытекаюШисс ссз опредсс,тест?ля ссеопрссдседс.>с>того исстеграла: 1'. с] ) )1х) Йх =- >"(х) дт,. 2'. ] дГ]х) = Г]х>) + С. т т ттеРВООБРАзнАЯ ФмикциЯ и иеОпт'еде.тепный интеГРАл 193 Свойство 1' означает, что знаки (4 п [ взаимно сокращаются в (шу тае.
если знак дифференциала стоит перед знаком интеграла. Свойство 2' означает, что знаки ] п (1 взаимно сокращаются н в случае, ести знак интеграла стоит перед знаком дифференциала, тн> в этом случае к Г(х) (шедует добавить щ>оизво:и ную постоянттуто С. Д:тт! устттновленпя свойства 1' доспночно вз>пь дифференциал от обеих частей формулы (6.2) и у п>сттч что (1Р(х) = Г'(х) (('х = 1(х) ()х ,т(ля установ. ~>нпя (войства 2' достаточно в левой части (6.2) воспользоваться равенством (1Р(х) = 1" ((г) (стл Следующие два свойства обычно нтвтывают л(и)е(1!)ымп, свойспшимп инте! рала: 3'.
$ Ц(;г) ~: я(х)] (2х = [ 1" ((х) ((.(> х ] йт((г) ((х. 4'. ['[Л,('(х)] дх = А [' )'(х) дх (А = сот)а1). Подчеркнем, по равенство в формулах 3' и 4' имеет у(п)овный характе1п его с>сдует понимать как равенство правой и .те- ВОЙ частей с тО'тностью до прон:!вольно! 0 НОстоянноГО сзаГ>емого (это понятно., поскольку каждый из интегралов„фигурирующих в формулах 3' и 4'.
определен с точностью до щюнзволь- НОГО НО('ТОНННОГО слаГаех!ОГО). Поскольку две первообразные для одной и той лп: функпии могут отлтлчаться;шшь на постоянную, то для доказательства свойства 3' достаточно доказать, что ес:ти Р(:г) . первообразная лля ((х), а С(х) псрвообра,)ная для Ет(х), то функция [Г(х) х ст(х)] яв>шется первообразной для функции т (х) х о'(х).
Это последнее непосредственно вытекает из того, что производная (алгсбраи п>ской) суммы функций равна сумме производных этих функций, т. е. [Г(г) х Ст(т)]' = Г (х) х СЯ(х) = 1(х) х я (х). Аналогично доказывается свойство 4'. В этом случае используется равенство [АГ(г)]' = АР'(:г) = Л1'(х). 4. Таблица основных неопределенных интегралов. В тст. 5 мы полуьтилп таблицу производных прост(.йпшх элементарных фунютий (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
