В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Поск(>зьку для функции х = сов у в окрестно- сти лн>бой точки у интервала, 0 < у < Чг выполнены все условия теоремы 5А, то7 согласно этоЙ тео1к>ьн;, функция 7! = йгссовх дифференцируема в любой точке х = сову и для ее прои:)вод- ной справедлива формула 1йгссов(г) =, = — —. = —, . (5.30) Г 1 1 1 =(7»2) .,Г=:.*', 7 . «, « . Г ГГ = -';/~ — т г 7 7 . Г ) ) 7 тервале 0 < у < )г. Принимая во внимание. что сову = х, из формулы 15.30) окон (ательно найдем 1агс(>ов х) у(1 — х) Полу п>иная формула, как уже отме (йг!Ось в процессе ее вывода.
справедлива для всех значений х из интервала — 1 < х < 1. Перейдем к вьппнленшо производной функции у = агс1йх. Э!н функция„будучи (лгределена на бесконечной прямой — со < < х < +НОГ служит обратной для функпии х = Чй у. определен- 7Г 7Г ной на интервале — — < у < —. Поскольку для функции х = Чу у 2 ' 2 в окрестности лк>бой точки у >п(тервяла — — ' < у < — ' выполне- 2 ' 2 ны все у(ловия теоремы 5Г1, то. со(ласно этой теореме. функпия 77 = яг(:гй х зи())фереицируеыа В л(обОЙ то'пн( х = РГ 7/ и дзя ее щ)ои:!Вод(н)Й сщ)аВедлиВя (Ч)Орму)!а Г 1 1 (а!'с( а' 7:) 1!яд)' Чч-(агу' Учитывая.
что гн у = х, окон !ательно получим (аг(ййх)7 = 1 1 Ч-хг Пол > *и'.Ннйя формулй сщ)йве,!ливй д:!я Вснк то н>к х бескогн"(ной прямой. 1 7 ГГВЛВГГЛО ДИФФЕРЕГ!ЦИРОВЛНИЯ ОЛОжНОЙ ФУНКЦИИ 175 Остается вычислить производнун! функции у =- гггсгсй8 х. Эта функция, буду*ш о!И!ел!с!она на, ос*.с:кон(.зной пряьссгГ! —:зо < х < < +:ю, с.зужит обратной для функции:г .= сан у. определешюй на интервале О < у < гт. Поскольку для функции х = сй8 у в окрестности ли!бой точки у интервала О < у < хс выполнены все условия теоремы 5.:1, то. согласно -!той теореме, функция д = = агссоб!к;Гифференцируема в любой точке х = !!18 у и для ее производноГ! справед.шва формула 1 1 (агсгсг18 и) (с!я гг)' 1 -г- сг Учигываг!.
"Гсо сй8'у = х. окон"сительно получим (агсгсйб:г) 1 Ьхг' Эта формула справедлива для всех точек х бссконе" гноГГ прямой. Таким образом, мы вьпппьшли производные всех простейших элементарных функций. за исключением степенной функции с лнгсбым вещественным показателем. Отк,тадывая вычисление производной этой последней функции до 5 8, займемся обоснованием правила дифференцирования сложной функции. й 7.
Правило дифференцирования сложной функции Цельк! настоящего параграфа является установление правила. шснволякгщего найти прсгизводнунг сложной функции у = = «[ср(1)], ес Ги известны производные составлякицпх ее функций у = «(х) и х = оэ(1). Теорема й.~. Пуст! фуггкцпя х = ср(1) дпфферюгцггруема в нскогаорсгй точке Го. а функция и = «(х) днфференцируема в соотвелиствуюгцей гпочкэе хо = ср(йо). 7оеда слонсноя функцпя «'[еэ(1)] дифференцируема в укаэаннсгй точке Го.
причем для производной этой функции сгграведлгхва следую!с(ая формула '): 0 [ср(1о)]) = «(хо)р (Го) (5 81) Д о к а з а т е л ь с т в о. Придадим аргументу Г в тсшке уо произвольное, с!и!личное. опг, нуля приращение с!1. Этому приращении! соответствует приращение с."сх функции х = ср(1). Приращению глх в свою очередь сюответствует приращение Ьу функции у = «(:г) в точке хо.
Поскольку функция у = «'(х) предполаингтся дифференцируемой в тстке хо, приращстие этой функции в точке хо вложет быть записано в виде (см. Ц 2) сду = «(хо)Ьх + ОЬх. (5.32) ') Символом (ДЕ(ге)))' мы обознвчвевг нроизвоцнуго сложной функции у =- «(тг(!)) в точке С = Со. 176 ОснОВы ДНФФегегчцил.'1ьнОГО нс"1ислеиия Гл.
В где Гпп гг = О. Их — >О Поделив равенство (5.32) на г."11. будем иметь —,' = У (хо) — + Π—. Ьг! .> Ьх Лх Ь! ' ,М (5. 33) Пусть теперь в равенстве (5.33) >51 — > О. Так как из дифференци- 1>угнести функций х = г>>(С) В то гке Го Вытекае! Иепрг>1>ывность этой функции в точке ГВ, то.
в силу разпостной! фоГэмы условия непрерывности, Лх — > 0 (при гэ! — > 0). Поэтому можно утверждать, что суэц!!с'г'Вугч !' предельно!> зна"и'ни!! 1!ш О=О. (5. 34) иг->о Кроме того. в силу требования дифференцируемости функции гг = Ч>(Р) в точке ГВ существует предельное значение 1пп — = 'э> (го). (5. 35) дг->о л! Сушествование предельных значений (5.34) и (5.35) обеспечивает существование предельного значения (при г.гР— > 0) всей правой части (5.33). равного 7"'(хо)>р'(Го).
Стало быть. сугцествует предельное значение (при г>à — > 0) и левой части (о.33). По определения> производной указанное предельное значение равно производной !ложной функции 7' [г>>(!)] в точке Г ь Тем самым нами доказана дифференцируемосгь сложной функции в точке Го и установлена формула (5.31). Теорема 5.5 доказана. 3 а м ! ч а н и г>. Х!ы 1>ассматрнвали !"Чожнук> функция> 17 =,г (х), где х = >>>(!), т. !'..
бра.гги гв В качеств!> проне>к!'то'!Ного аргумента. а Ч в к!честно окончателг,э!ого;ц>гумента. Этн обозначения. конечно, могут быть изменены. Часто удобнее бывает рассматривать слоэкнуго функци>о Вида р = Г(г!). Где н = г»(х). т. с. брать х в качестве окглгчательного аргумента, а некоторук> переменнук> и в качестве промежуточного. Для этой функции формула дифференцирования (5.31) принима! т вид 17' = О ( (и)))' = Х'(и) Р'(х) (5.
36) (мы опус1или у соотВетс!В'зо1цих;эначений аргу>!!энтон гв и и нули. имевшие вспомогэтельный характер). Приведеэг примеры !гено!ыован!чя только гто докгв!анно>о правила дифферегширования сложной функции. 1'. Вычислить производнук> фу!поппи р = еже!к'. Эту функция> будг-'м рассматривать как гггожнукэ фуг!кцпк> вида р = сц, где и = а!СГа х. Используя формулу (5.36), получим ц = (е ) (агсЧЯ т) = е ,, = с 1 Е х-' 1 Ч- х-' 177 5!О!ЬЛРИФМИс!все>КЛ5! ПРОИЗВОДИЛЯ | 2'.
Вьгпплить производнун> функции у = 2з . Эту функции> будем рассматривать как пс>ожнун> функпию вида у = 2вс где и = з: . Используя формулу (5.36). полу шм у' = (2")'(хз)' = (2~ 1п2)2х = 2х е|х1п2. 3'. При рассмотрении указанных двух примеров мы отдельно выписывали функпии, сос тавляющие даннун> сзожнун> функцию. В этом, кон|| шос пе| пнкакоЙ пеооходимости, н на яр |кти|«> дифференцирование сложной ф>п|кции производится сразу без расчленения на отдельные гоставлян>шве функции. Например. ! г,с 75 Й=: с 76..
с — — Сс| > — оса>| с — (в..>с (здесь /х! ( 1/75) 4'. 1еорема 5.5 и содержащееся в ней правило п|н>ледовательно пс>1зеноснтси и на ||л|'|ай |ножной фУнкпиис Явлин>пн'.Йси сУ- перпозицией трех и большего "ш|с|а функций. Рассмотрим пример такой функции. Пусть требуется вычислить производнун> функции у = 5"сс'|к(* 1. Последовательно применяя правило дифференцирования сложной фу|п|ции, получим у = (басс|с" >" ! 1п 5> ( ) 8з ' , |з 'й 8. Логарифмическая производная. Производная степенной функции с любым вещественным показателем.
Таблица производных простейших элементарных функций 1. Понятие логарифмической производной функции. Пусть функция у = 7(х) |голооюитвл| нв и дифференцируема в да~~ОЙ точке х. 1огда Р этой то и«> стп|ск>тенет 1иу = 1п7(з>). Рассматривая 1п7(х) как |пожнун> функции> аргумента зд мы можем вьг|ислить производнун> этой функции в данной точке хс принимая у =- с(з) за промежуточный аргуна нт. По»зим (1п У(з:))' =:/Ъ (5.37) Величина. определяемая форму.н>й (5.37), называется логарисс>- мичвской с|ро>|эводно|1 функции у =- 7'(з) в данной точке зь В ка |естес примера вычислим логарифмическун> производну|о так называемой сгепенно-показательной функции у = и(х)'(х1. Мь! уже знаем из и.
2 3' 7 |л. 4с что эта функция определена и непрерывна для всех значений хс для которых и(з:) и и(х) непрерывны и и(х) ) О. Теперь мы доно.|нительно потребуем, чтобы и(х) и о(х) были дифференцируемы для рассматриваемых 178 ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИЛГ1Ы1ОГО ИС"!ИС:!ЕНИЯ ГЛ.
о значений х. Тогда„поскольку 1пд = о(х)!ив(х), мы полу !им. !то .логй>ифми п«кая прои!Чвс!дная ра1!ма1риваемой функции равна — = [п(х)!и чт(х)!' — -- п'(х) 1п п(х) + п(х) — '. (5.38) р (и) Из равенства (б!.38), учитывая, что 11 = сЧ(х)с!к!, Волу !им !ше11укнцук! форму,!у д,.
Чя производной! степ!",Ино-показат!',льной функции: р = и(х)'(" (!! (х) 1и п(х) + п(х) и(;е) ] 2. Производная степенной функции с любым вещественным показателем. Приступим теперь к вы пилению производной степенной функции р = хо с произвольным вещественным показателем ос Мы будем вьг1ислять производную этой функции для тех значений х, для которых эта функция определена при любом и. а именно для значений х, принадлежаших полупрямой ) х > О.
Имея в виду, по вск!ду на пачупрямой х > 0 функция у =:во полооклипельна. вьгппсшм логарифмическук! производнук! этой функции. Так как!и р = ст!их, то логарифмическая производная равна Р ( 1 )! о Ч/ х Отсн!да. учитывая, что !7 = х", получим формулу для производной степенной функции (х ) =сгх Такигл образом, нами вычислены производные всех простейших а,!еы! нтарных функций. Собирая воедино все вычис:и;нные производные, мы получим сЧ!едукчщук! таблипу, уже выппсаннун! нами в гл. 1. 3.
Таблица производных простейших элементарных функций. 1 . (х") = ахо . В чап!ности, !х-) = — —,, (х/х) = ( — ). ) хя ' (,2тгт 2'. (!ойо х)'= — 1ойа е (х > О, О ( и ф 1) . В частности, (!п х)' = —. 3'. (аа)' = ае1па (О ( а ~ 1). В частности, (ег)' = сг. 4'. (в!их)' = сов т.. ! ) В сЧучае, когда а = 1/пЧ, где т — целое нечетное число. функция и = и" определена ни всей бесконечной прямей. Однако и в этом случае достато"шо вычислить проиэводнуя! укаэанной функции лишь для Зншюпий х > О, ибо укаэанная функция является нече!лией и ее производную дтя значении х ( О легко получить нэ этого соображения.
1 в инвлгилнтпооть догмы пкгвого дне ил кпциллл 179 иго (соч т)/ 6'. (16 х)' =, = 1+ еед х (х 7= — + кн, где н = О, х1,... ) . 7'. (сФбх)'= —, = — (1+гФбах)(хф-кп, где п,=О,х1....). а!гг .г 8', (агсв1пх)' = ( — 1 < х < 1). ;/1 — х"- 9'. (атосов х)' = — ( — 1 < х < 1). 10'. (агсгб х)' = 1 Ч- х'-' 11 . (агссгя'х) В ч 4 гл.
4 мы ввели гиперболи теские функции у = вЬх. у = сЬх, у = ФЬх и у = сййх, которые являя>тся простыми комбинациями показательных функц1пь Из определения этих ф1нкцнй з,;шхгентц>но вытекак~т следукпцие выражения для их производных; 12'. (вЬх)' = сЬ х. 13". (с11х)' = кЬх. 14'. (1Ьх)' = с1гэ х ' 16". (свЬх)' = — ., (х ф. О). Указанная таблица вместе с правилами дифференцирования суммы, разности, произведения и частного (т. е. формулами (5.16)) и правилом дифференцирования сложной функции составляет Основу дифференциального пс гисленпя. Установленные прави,та и формулы дифференцирования позволяют сделать один важный вывод. В 9 7 гл. 4 мы ввели понятие элементарной функции как такой функции, которая выражасн я через простейшие элементарные функции посредством четырех арифметических действий и суперпозиция, последовательно примененных конечное 1исчо раз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
