В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Таким обрйсл.т зом, при А ф О первое сзттгаемос АЬх являетс'я глаиной чистью приращения дифференцируемой функции. Эту главную часть приращения называют дифференциалом функции в точке х, соответствующим прнрйтцению аргумента с."тх. Итак, в случае А р= О дттс))д)ереттцтталом фут)к)1сттт у = 1(х) а дитсой точке х.
соотаетс)тотстотцтсм прпраи1етсаю аргумента ЬХ, НильшиЮП1 гЛииНУЮ ЛИННй)ГУЮ) ОтНО)аППСЛЬНО СЛХ ЧиотЬ ПРП- ришенил этной, функ)уст)с в пючкс. х. Принято обозна тать дифференциал функции у = ~~х) символом сну. Если для приращения функции Ьу справедливо представление (5.9), то дифференциал этой функции, по определении), равен 15. 13) ду = Ас))х. В случае А = О слйсаемси Ас."т:т: перестает быть главной частью приращения с'.ту дифферснпируемой функции (ибо это слагаемое равно нулю в то врс*мя, ьак слагй мое стслх, вооснцс говоря, отлично от нуля).
Однако договйриватотся и в слу тае А = О ') Первый опуб.,шкованный пример такой функции принадлежит Вейорсптрас су. 1'анее независимо ог него впало) ичный пример был построен чеке еким математиком Больпано, но этот при сер пе был опубликован. В Попо.шенин к гл. 11 будет указан пример такой функции. )) Напомним, что линейной функцией аргумента х называется функция ви;са у = Ат -Ь В, где Л и В некоторые постоянные. В случае В = О линейная функция н пывается ос!нородной. понятии диээиринцирукмости эй нкции 165 определять дифферс)нциал функции формулой (5.13)., т. е.
счи'Гак)ч) что Он раис'н ну'.лю В этом случаен Если учесть теорему 5.1, т. Ек учсстеч что А = 1)(се), то формулу (5.13) можно переписать в виде у = Х'(х)~1х (5.14) СРорксйла (5.14) дает Выражен)ие .Сиффс.ус нпь)ала ц)у)екесее)е в то )- кс х„соответствующего приршценню аргумента ст,.г.
Следует подчс ркнуттч что дифференциал функции йу в данной точке х, вооб)це говоря, не равен приращсенито функции Ьу в этой точке. Это У особенно легко уяснить нз рассмо- Р трения графика функции у = 1(х) Я (рис. 5.3). Пусть гочка М на криВс)Й У = с" (х) соотВЕ те ЕВУет зна- М Уйу чению аргумента х. точка Р на И той жс кривой соответствует значению аргумента х + Ьх( МЯ— касательная к кривой у = 1(х) в О х х+Ьх х точке М. Пусть далее МХ )) Ох, Р)т' )! Оу, Ц точка пересечения касательной ЛХО' с щьчмой РЛ). То- Рис.
5.3 гла щ)иранц)ние функц)ли Ьу равно величине отрезка Лс Р. В то же врс'мя нз прямоугольного треугольника МЯЛ и из формулы (5.14) ясно, что дифференциал функции йу равен величине отрезка Х(е), ибо величина отрезка Л) с)с равна Ьх„а тангенс угла х' С~МЫ равен 1)(х). Очевидно, что величины отрезков с)'Р и Лгб), вообще говоря. различны. В заключение этого пункта мы установим выражс"юле для дифференциала функции у = ) (г), аргумент:г. которой является )сезон)се)смой переменной ). Введем понятие с)ссфференцс)или Их незашсепмой переменной:г. ПОЛ дич)ферс'н)С)!)клок! Е(х незаВисимой пе'ре'меч)нОЙ х можно понимать .,)юбое (не зависясцес от,г) число. Договоримся В дальнейп)ем бр гть это чис;и) равным прнршцешно Ь:г независимой переменной в).
Эта договоренность позволяет нам переписать формулу (5.14) в виде с)у = 1 (х)ЕСх. (5.15) Под )граном, что формула (5.15) пока ггс) йстанс)идена нами лишь для случая, когда аргумент:с: является независимой не- ) Подчеркнем, что аргумент х функции у = С(х), вообще говоря, сам может являться функцией некоторой переменной. ) Эта договоренность оправдывается рассмотрением независимой переменной х как функпии вила У = х., д.щ которой йд =- йг = Глх. 166 ОснОВы д!1ФФегенЦил.'1ы1ОГО нс'!ис:!ениЯ Гл.
В ременной. Однако ниже, в Ч 9, мы докажем, что формула. (5.15) О(та(т(я сщ)введи!ВО!! и д(!я ()1)чая, коГда ВРГум(нт х н( яВляется независимо!л переменной, а сам представляет (обой дифференцируему)о функцию некоторой новой переменной. Пока что мы можем сделать следующий вывод из формулы (5.15): для ( !учая, когда щ)гумснт х функции у = «(х) является независимой переменной, пронзво.!ная «'(х) этой функции равна отношению дифференциала функпии (1у к дифференциалу аргумента (1х, т.
(. «(;г) = (1!)«дх. В 6 9 буд()т докйзйно, что это соотноннлние сщ)йв(дтиво и В (лу— чае, кОГдй ВРГу:!Рнт х сйм яВляется диффРРРнцщ)уРмой функ- цией некоторой новой переменной. я 3. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного (5. 17) 1еорема О.З.
Етии! ко!Ведал иэ («)уикций и(х) и и(х) ди(«)Е («)ерст(ци!)ут(мт! о данной точке х, то сумма. риш(ость. т!роиооедение и частное этих («)ункци(1 (чистное при услооии. чтпо и(хз) ф. О) тикэюе ди(«н«)(1)енцируемы о этой. точке.. 1)ричем именна место !уормулы [и(х) х и(тх)) =- и (х) х и (:г). [и(х)Ч((х)) = о, ((;)и(;г) + и(х)и ((х). (5.16) 1' ' — у и(х)) и (х)о(х) — и(хЧВ (х) и(х)) х)(х) До к аз ат Р л ь г т в о. Рассмотрим отдельно случаи суммы (РВЗНОСЧ'И), ПРОИЗВСДЕНИЯ 1Л ЧЖ'ТНОГО.
1'. Пусть у(х) = и(х) х и(х). Обозначим символами Ьи. Ьи и ()У !Ц)Щ)йпгениЯ фтнкпий и(х), и(х) и У(!) В Дйнш)Й то 1ке х, соответствующие приращению аргумента Ьх. Тогда, очевидно., (")у = у(х + 1:)хз) — у(х) = = [и(г, + Ьхз) х и(х + Ьх)) — 1[и(х) х и(х)) = = [и((х + Ь:х) — и(х)) ~ [и(х + (),,х) — о(х)) = (),и ~ (.")и. Таким образом, при (.")х ~ 0 ()у ()и гии ()х (хх Ьх Пусть теперь (,")х — ) О.
Тогда В силу существования производных функц!лй и(х) и и(х) в точке х существует предельное значение щ)йВОЙ !й(ти (5.17), рйвно(' и'(х) хч)'((г). Стас!о быть, существу(т предельное знйч('ние (при Ьх — ) О) н !и'вой !асти (5.17). По 167 НРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ !)и!излечению ззроизводной указанное пред!а )ьное зназчсзние равно у'(х), и мы прихг)дз)м к требуемому равенству у (х) = и (х) х п(.г), 2'. Пусть далее у(х) = п(х)п(х). Сохраняя за з".з)л., Ье и >Агу зот же смысл, что и вьш)е, будем иметь Ьу = у(х + Ьх) — у(х) = п(х + злх)т>(х + Ьх) — и(х)п(х) = = [)з(х + )з.х)п(х + Ьх) — и(х + злх)т>(х)] + + [п(х + злх)!)(х) — п(х)п(х)] (мы прибавили и вычли слагаемое и(х+ зХх)!)(х)).
Далее можем записать: Ьу = п(х+ Ьх)[н(х+ лх) — п(х)]+ п(х)[зз(х+ Ьх) — и(х)] = = и(х+ сзз)>Ьп) + т(;г)Ь)з. Таким обраюм. при злх ф 0 — '~ = п(х + Ьх) — е + п(х) — и. (5.18) Пусть теперь Ьх — ) О. Тогда в силу дифференпируемости функций и(х) и п(х) в точке х существуют предельные значения от>.'>з> сто ноп!ений — н —, соответственно равньп) 'и (:г) и и (т).
Дььпг'.е Ьх ззх ' из дифференцируемости п(х) в точке х, в силу теоремы 5.2> следует непрерывность и(х) в этой точке. Стало быть, существует пред!лыка" значение 11)т! >л(т:+ ззх), равное )л(х). Таким об,ъаЬзь ->О зом, существует предельное значение правой чш>ти (5.18) при злх — ) О, равное >з(х)п'(х) + )з(г)п'(х), Ста.)О быть, суп!ес>твует )туг)де)>ьное значение (при злх — > 0) и левой части (о.18). По определшппо про~)зводной! указанное предельное значение равно у'(х), и мы приходим к требуемой формуле у (х) = и (х)п(х) + и(х)п (х). 3 . Пусть, з)аконеп, у(х) = †.
Тогда ) с ...,, а(з) н(х) Ьу = у(х + злх) — у(х) = я(з ->- ззт) и(з) )( '+ ~з:) )(х) а(х ->- с>т)е!т! — е(х + ззх)а(х) а(х)о(х + >ах) ) Так как в дальнейшем в знаменателе фигурирует значение с(х -Ь Гзх), то слЕдует доказат>ь что это зцачвпис Отлично от нуля длл есе:с досггинг>о >но малых ззх. В самом деле. если бы это было не так., то нашлась бы бесконечно малая нос зедовательнонп значеяий >ах„такая, что о(т, -Ь Ьа>а) = О. Но поскольку функция х(х) непрерывна для значения аргумента х, то мы получили бы из условия а(з: + сзх ) = О, что п(х ) = О, а это противоречит условию теоремы.
168 ОснОВы ДНФФВРентЧ!чл51ытОГО нс'!Исс!ения Гг!. в Добавляя и вычитая в тислителе стагаемое тл(х)7>(х), будем иметь: (и(х + Лх)7)(х) — и(х) и(х)) — (н(х -~- 1)х) и(х) — и(х) и(х)) и(х)и(х ч- ттх) с(х)(и(х+ Ьх) — и(х)) — и(х)(и(х: ж ттх) — и(х)) и(х)С)и — и(х)С)и с(х)и(.г + Стх) и(:с:) и(х + тих) Таким образом, при Ьх ~ О сзт) тли и(х) — — и() )— р .Ь,т ах (5.19) ах и(х)п(х + дпт:) Пусть теперь т:тх — ) О. В силу дифференцируемости (и вытек)иотттт)Й из пее ттепрсрывности) с))ункттий 77(х) и п(х) в ~он~с х су!цс.ствую1 прттдс льньп значения 11Ц1 — = и (х), 111п — = 7) (:т:).
11Ц1 п(,т; + т.т,тт) = 7)(:11). Лт — )О тих Ъх — )О ах а:г — )О Тттким образом, носк!)льку п(ст:) ф О, сутцествует тй)сдельное )начет!не при Ьх — ) О правой части (5.19), равное и(х)и (х) — и (х)и(х) и'( ) Стало быть, суптествует предельное значс-ние (пртл Ьст; — ) О) н левой части (5.19). По определенин) производной у!и)ванное пре- 117-льттое зпачепис- равно р'(сг), и мы получим требуемую формулу и'(х) (и:) — и'(х)7«хО 9 сх) = ся(х) Тсторстма 5.8 полностью доказттна. з 4. Вычисление производных степенной функции, тригонометрических функций и логарифмической функции В атом параграфе мы приступим к вьгпп н)тптк) производных !Ц)остс'ЙПП1х этементарных функций, 1.
Производная степенной функции с целочисленным показателем. Начнем г вычистп*ния производной степенной ф)'нкции 7/ =:с, показатсп1ь н кОтороЙ яв„15п'тс.'я 7!сльтлт 1И).1Ожитсльнттьт число~ '). Случай степ!иной <$)уттктттттт. Ноказатстпь которой являетсит любым Остптсс)птненнитм (не обязательно целым) числом, отложим до З 8. ) Эта производная уже рассматривалась в гл. 1 с помогпьн) интуитивного представления о пределе. 169 вы">ис пение и!'ОизВОднык Ьу = >йп (сх+ Ьх) — вш:г. = 2 сов (х + — ') аш >ах '> . >ах 2 ) 2 Таким образом, п!>и >Ь:г ф 0 сл>х вн1— — = сои )х+ — ) (5 2!) Ьх ~, 2) Ьх 2 Так как функция р соа х является нтрермоно>2 в любой точке х бес>коне>чно>1 и!>Ны~Й ), то с у|пествуе> п!>1>дсс>ьнос значсннс 1ш> соа Ь+ —,') = сок:г.
с>х '> (5.22) ла> чо Далее, в силу ос'новного результата п. 2 2 6 гл. 4, сусцествует предельное значение С>Х В>п— й 2 И 0 2 (5.23) ' ) Это доказано в п. 6 З 3 гл. 4. Впрочем, непрерывносз ь функции у = сов х легко доказать, неволь>ув роаиосгннл>в форму условии непрерывною и. Используя формулу бинома Ньк>тона, можс'и записать: Ьс! = (х + Слх)в — хв = 2 = 'х" +мха ь>х>+ ' ' хв (с.">х) +... + (Кх>!)" — ха = — итв 'С.'>т+ ~и гв >(сл ) + + (Ь')в 2 Таким образом, прп с.'>.г ф 0 — = 1>хл' ' + ~ хв 2Ьх+... + (Ьх)в '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
