В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 32
Текст из файла (страница 32)
+ (1-Р х) З-1~ х[(1+х) — -( х) — '+ +(+х)-'+1 [(1-Р х)-'.] — ! х [(! Р х) -Ь (1 -Р х) -Р... З- (1 -Р х) -Р 11 1 г,'/1 -!- т, — 1 1 )цп х — гО х и' )1Щ = )., х — 10 1) 1 1юсыотрим пг',рв1!Й из этих ! ~/Т+л! — 1 (1+х) — 1 )пп ( и) =1! л — гО х 1 — сов:г 1 1!гц х — «О хв 2 пргщгщов. Ихи!еы 142 попятив емнкпии. Нкгп ь" ывнооть ГЛ. 1 4) Докажем справедливость по<,н.диего равенства (4.12). :ги х' 2 (х(2)и х — 10 (т:,12)и = 1 (см. (4.8)), то 1ш «10 тт 2 Используя соотношения (4.8), (4.12), равенство (4.1) и < имвол о(х) (см, и.
3 2' 2). л<ггко убедиться в справедливости < яедующих формул: ашх = х+ о(:с), Я+ т. = 1+ — + о(<;), 1в(1 + х) = х + о(х), ех = 1 + х + о(х). сов х = 1 — — + о(х ). (4. 13) Докажем, например, справедливость первой формулы. Так как 1(ш '"" = 1, то в силу (4.1) ' = 1+ сг(х).
где о(х) .г — 10 х х бе<коне шо малая в то*<ке и = О функция. Из по<ясдней формулы вытекает, что япх. = х + хо(х), Поскольку хо(х) = о(:с), то явх = и + о(<с). 2. Понятие элементарной функции. Класс элементарных функций. В приложениях вагкную роль играет класс функций, пол)'<ах мых посредством кон<в<ного пила арифм< тических операций над простейшими элементарными функциямп.
ТНК Ках ЗНОМ<<Нато;1Ь ПО<я<<ННОГО Выраж<'.Ния При Х вЂ” т О ИЫ<!Ет предел, равный и (функция (1+х)ь<" непрерывна в точке х = О 1«( -Ь х — 1 1 и поэтому )<<в(1 + <х)"<" = 1), го 1<ш 1у « вЂ” 10 .«-10 х 11 2) Перейдем к доказательству второго равенства (4.12). Имеем ' =1в(1+х) <и'. Доопределим функцию г'(<с) = (1+х)ь«1 1иИ+х) х полагая 1(О) = 1пп ~(0) = 1пв(1+ <с)!<х = е. В результат< мы х-10 х — 10 получим непрерывную в то <ке х = О функцию <(<х). Тогда и ф.1 нация 1в 2' (<с) такт<ге оуд<.т непрер<,<гна в н) левой то*<к<.1 и поэтому 1пп 1в(1+<0)1<х = 1п((О) =!Нс = 1, Итак, йп! ' = 1, х — 10 ' х-<е,г 3) Докажем справедливость третьего равенства (4.12).
ПоЛОЯ<ИМ,'С = 1В(1 + П) И Зг<КИ!ТИМ. *<ТО <ЦИ< Х вЂ” Э О Н<!РЕЬХЕНННЯ 'и с« — 1 и стремится к нулю. Имеем = . Отсюда <яодует, что х !п(1 -<- и) 1пп = 1пп = 1. .г — 10 х: и — 10 !и(1 + и) КГ!АССИФИ1САЦИЯ 'ГО'1ЕК 1'АЗРЫВА ФУ1!!СШ1И 143 а т?>кжс> пог11"1сюыых пртем српслупозлщии этих фУнкцнй. Нищ>имер, фупкпии ха+ 3 сов 2х. 1П ! Иш Зх! — еы"к >ст щ>инадлежат этому классу. %1ы будем называть этот класс функций классом злелсссипарпых 71>усскцасс. а каждую функцик> этого класса — зло?м!'.>!свар!соль Отметим следукнпее свойство элементарных функций " они ненрерыв>сы в коз>сдан то гке области задания ).
Это свойство непосредственно вытекает из теорем 4.2 и 4.3 и непрерывности простейших элементарных функций в каждой точке областсл задания. 3 8. Классификация точек разрыва функции 1. Точки разрыва функции и их классификация. В и. 1 3 3 мы опреде.,силн то ски разрыва функции как точки, в котс>рых функция не обладает свойством непрерывности. Мы будем на:лывать также точками разрыва функции точки, в кото- рых функция не опредс:лена, но в лк>бой е-окрс>с>тнос>ти которых имеются точки области задания функции.
Расс>йп>грим возможньп. тины точек разрыва функции. 1'. У с т р а и и м ьс сл р а, з р ы в. Тачка а, назьсвается тачка!с успсраналсога разрыва фссссеции у = 1?х)), если нрсдсль- ссое з>сача!ив с)>у>скцсссс, в зтай тачке с!!сцессссвсуесп, на в та ске а, с)>су>скцсся у(х) или, >се апредсле>са. али ее чсссп!Пое зпаче>гае 1(сс) в аючке а нс> 1хсв?а> и!>с:деян >юлсу ?гначс>ни>а. Например, функция ? > > — прн хФО, У(х) = 2 щ>и х=О имеет в нулевой тоске устранимый разрыв, поскольку предель- ное >на!висле этой функции в точке х = 0 равно 1, а частное равно 2.
Если функция у(х) имеет в точке а, разрыв указанного тИПа, ТО ЭНН РаЗРЫВ Сиаа>С>7?а УетРа>?исаак НЕ НЗМЕНЯЯ ПРИ ЭТОМ значений функции в точках. от„плчных от а,. Для этого дос:таточ- но определить значение функции в точке а равныьс се предель- ному зна сслнию в эгей Точке. Т?>к, с спи в рассмотренноьс щ>ньсере положить 1'(О) =- 1, то 1пп 1!х) = ДО) и функция будет непре.т — >О рывной в точке х = О.
'л а м е ч а п и е. На практике точки устранимого разрыва встречаются при сосредоточенных распре;селениях физических величин. > Есл>л при этом область >алания функции окажется состоя>цей и,> отлельяых изолированных точек, то осте>>геенно считать, что функция по определении> непрерывна и каждой иэ этих точек. 144 НОНЯТ!ЛЕ ФУНКЦИИ. НЕН1'Е!'ЫВНОСТЬ гл. л 2'. Р а з р и в ! - г о р о д о..
Точка а называется тггчкой разрыва 1-го родо., ссяи в этой точь с функция, !'(х) имеет консгчные, но не ригчные друг другу п!и!вас и левое предельные значения: 1пп ~(х) ~ 11ш ~(х) :г гаго а-га -О (или Г (гл + 0) ф Т (гч — 0) ) . 1. Для функции !"(х) = аапх точка х = 0 является то !кой разрыва 1-го рода (см. рпс. 4.1). Действительно, так как 1 при х>0., 0 при х= О, — 1 при х(0, яяп х то 1ш! а!4пх! = 1. 1ш! а!гпх = — 1. а — чо-~0 ' .г,— чо — О 1 2. Функция !'(х) =,, определенная вен!ду, кроме точки Лч-2Н ' х = О, имеет в точке х — 0 разрыв 1-го рода (рис. 4.32).
В самом деле, есзи (ха) — скодяп!аяся к нулю поги!едовательностьн алек!Опты кото!к!й пол<пкптельи 1 ны, то л — 1 бесконечно гх„! большая поспедовательность с положительными членами, и 2 поэтому (1 + 2!Г '") также О х бесконечно болыпая последовательность. Но тогда последоваРяг. 4.32 Г ! тельность Л! , 1 бескопеч) !+21... ( но малая, и поэтому 1пп !'(х)=0. Если же )ха) скодяшаяся *-га-;-О к пу:по посгедовательногть, элементы которой отрицатчльны, Г ! то 1 — ! бесконг!чно болыпая пос.!е;!свате.!ьность с от1энца- 1ЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНаМИ. Н ПОЭтОМу 1Ш! 2'Ги" = О.
СЛСдОВатСЛЬНО, и-час 1!ш Г(х) = 1. * — гО-О 3". Р и з р ы в 2- г о р о д а. Точка а называется точкой разрыва й-гг> роди если в этой точке функопя Г(х) не имеет, по к1ийнсй .мегре одного из односторонгпчх, прсдслыгых Гьч!ачений ии!и есллл хогогя бы одно из гэд!!осторгпгьп!х предсльнь!х,значений бескингечнгх КЛЛССИЭИКЛЦИЯ ТО 1НК ГЛЗГЫНЛ аЮНКНИИ 145 1 Рассмотрим, например, функцию 2(х) = Вш — (рис. 4.33) '). Эта функция в точке х =- О не имеет нн правого, ни левон! предельного значения.
Действи пщьно, рассмот1знм ("кедуеощие ('хОдуш(ие— ся к н.г(ПО сп1ззваз посл(здоват(',лъности;знач(зний аргу ъпзнта: 2 2 2 2 ;г' би Ви' ' (4т( — 3)-г' 1 1 1 1 Рис. 4.33 Соответствукпцие по( тедователыизсти значений функции и 1 = Вгп — имшот стедугощий вид: 1, 1, 1, ..., 1, ... О, О, О, ..., О, ... Первая из зтих последовательностей имеет предел. равный едишще, и вторая имеет предел, равный нулю. Следовательно, 1 функция 1 (х) — нш — в точке х = О не имеет п[завого предельно- 1 . 1 го значения.
Так как Вш — = — Вш —, то эта функция не имеет — и х и левого гйзсдельн01 О знач(знпя В зтоп то пиь Другим примером функции. имеющей точки разрыва 2-го рода, может с(ужить функция у = с!я х (см. рис. 4.25). Эта функция имеет разрыв 2-го рода в каждой из точек ггн, и, = О, +1, + х2,... 2. Кусочно непрерывные функции. Функция 11 = )'(;с) называ((тс11 киса (1(О Вепйеры(зно(1 на (шменте [озб), спп( Она непрерывна во всех внутренних точках [а, Ь),:за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых имеет разрыв 1-го рода и, кролле того, имеет односторонние предельные значения в точках а, и Ь.
Функция называется кусочно непрерывной на интервале пли бесконе (ной прямой. если опа кусочно непрерывна на .Набом принадлежащем пхл сегменте. Например, функция 1(х) = [г) ) кусочно непрерывна как на любом сегменте, так и 2 на О(зскОнечной прямой. ') Рисунок 4.33 носит чисто иллюстративный характер. ) напомним, ч(о символ ((в) обозначает пелую часть числа т,.
146 ЦОН11ТИЕ ФУНКЦИИ. НЕ!Н'ЕРЫВИОО'1ло Г71. 1 ДОПОЛНЕНИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 'УТВЕРЖДЕНИЯ ИЗ П. 6 $ 5 В настоящем дополнении дается доказательство утверждения из п. 6 е 5. Для удобства сформулируем здесь это утверж гение в следуюлцей форме.
Сушествуепк и, притом единственная„пара функций о(х) и С(х). определенных но, всей' бесконечной прямой и удовлетворязощих следуюизим трем пзребованиям. 1'. Длл любых вещественных чисел х', хо и х вьтолияютсл соотнолигнил Е(х' ч- хо) = Е(х')С(хо) + С(х')Б(со), С(х' + хо) = С(х')С(хо) — о(з>')о(хо), Е (х) ч- С (а) = 1. (4.6') г 3 . Лри 0 < х < — справедливы неравенства 2 (4.7') О < Е(х) < х. Доказательство этого утверждения мы разделим на две части. Именно: сначала мы докажем единсплвсиность, а затем существование функций Е(х) и С(х), у 1овлетворязощих требованиям 1', 2' и 3'.
1. Доказательство единственности. (ля доказательства единственности достаточно убедзпься в справедливости л;тедуюших двух утверждений: 1) Функции о(х) и С(х), обладающие перечисленными свойствами, непрерывны ни всей числовой прямой. 2) Значения функций Е(х) и С(х) определяются единственным обрезом на неногпоролл всюду плотном миооюествс в>очек бесконечной прямой >). Действительно, в силу непрерывности функций Е(х) и С(х) нх частные значения в каждой точке х бесконечной прямой равны их предельным значениям в этой точке.
Если теперь мы рассмотрим сходящуюся к и пол;зодовательность значений аргумента. элементы которой принадлежат указанному вьппе всюду плотному множеству точек. то соответствующие после.1овательности згзачензглг функций о(х) и С(х), в силу сформулированного выше угверж Гешт 2). опреззеляются единсзвенным обр'сзом, а поэтому и пределы этих последовательностей определяются также единственным обрагюм. Но эти пре гелы как раз и являются частными значениями функций о(х) и С(х) в точке,г.. Следовательно, функпии о(х) и С(х) определяются единственным образом на всей бесконечной прямой. ') Формулы (4.5') (4.7') получены из формул (4.5) (4.7) п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
