В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Заметим, что если х — рациональное число н а' — значение в точке х показательной функции.первоначально определенной ляшь на множестве 122 ЦОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕН1'ЕЕ'ЫВИОСТЬ ГЛ. 4 рациональных чисел, то а' и является тем единственным вещественным числом р, которое удовлетворяет неравенствам (4.3). 3". Докажем теперь, что построенная нами функция а' (при а > 1) возрасгпасгп на осей бсскоггсчной прямой. Пусзь д| и ха любыс вешес гвенные числа, удовлетворяющие неравенству х1 < ха. Очевидяо, най,гутся рациональные числа о и,д. удовлетворяющие неравенствам т~ < о < И < х (см.
ттвсржлеггие, доказанное в кошге и. 1 1 2 гл. 2). Пз определения показазельной функции и из возрастания ее на множестве рациональных чисел выгекаюг неравенства а" < а" < о' < < а", т. е. а' ' < аич Воз1застание функции а' доказано. 4". Остаегся доказать неорсрьшносшь построенной вами функции о' в любог1 точке з бесконе;той прямой.
Пусть (г„) - любая сходящаяся к т последовательносзь вешественных чисел. Достаточно доказать. что для .цобого е > О найдется номер Л такой, что при и ) гу справедливо неравенство )а'"" — а'~ < -. Фиксируем произвольное =" > 0 и выберем рациональные числа о и,'3, удовлетворяющие неравенствам (4.2), так, чтобы было справедливо неравенство а — а" < = (возкгоясность выбора тгких сг и 3 доказана в 2'). Так 3 как ног гедовательность 1к„) сходится к г и о < х <,3, то найдется номер Ж такой, что при и > Х справедливы неравенства а < з „< 8.
Пз неравенств о < г < И и о < х„ < д и из свойства монотонности показательной функции вытекает,что а' < и'" < а' и о" < а < а' 1при и > гУ). Так как разность между числами а" и а" меньше а и оба числа а" и о'" я заьлючеяы между а" и а', то )о'" — а') < е 1при и > Х). Доказательство непрерывности завершено. Замечание 1. Встп О < а < 1, то а = 11б, где б > 1.
Поэтому функцию у = а, при О < а < 1 можно определить как функцию у — б ', б > 1. Установим некоторые свойства показателыюй функции )г = = пт. а > 1. 1. Все зиа нгния показатгшьиой фуггкции положительны. Действительно, пусть х — произвольная точка числовой прямой, а х' рациона.гьная точка, такая. что х' < х.
Так как, по опрев де:п.пикк и" ) О и и' < и', то ггс ) О. 2. 1)ш и" = О. 1)ш п' = +оо. я-т — оо к — гэ-гк В самом деле, так как а > 1, то и, = 1 + ы, где о > О и ап = = 11 + о)" ) 1 + гггт. Сле:говятельно, 1гш ав = +зо. В силу п-ээ-сс монотонности функции 1пп аз = + о. Так как а, " = 1/гл", то я — э ос !Ип а " = О, и поэтому 1пп цк = О. и — г~ к — г — ~ 3.
Из свойгств 1 и 2, а такжг из монотонности и непрерывности функции г)=ггл вытекает, в силу леммы 1, гто значения у атог1 г))ункцип заполнлюгл осю положительную полупрлмую р > О. 4. Для лкзбых вешествеииых шсел х и х2 справедливы соотношения (глкг)~' = и' ' -' и 'б ' = 1а . б) ' пглпт' = ашэ л' пгостийшии элимииэтлэиыи елэкпии 123 Действительно, мы уже отмечали справедливость этих соотношений для рациональных показателей. Чтобы убедиться в справедливости этих соотношений для любых показателей, достаточно рассмотреть последовательности (сх„~ н (х„'1 рациональных чисел, сходящиеся соответственно к хэ и хе, 'тогдэа, наэй>име1>, .П .с ах" а.'" = а.'" ' '".
Переходя к пределу при и — > оо н используя сВОЙстВО нсэп)>ерывности показат(эльной функции, мы э>Олучиы а 'а"э = а" "". Аналогично можно убедиться в сщэаведливости и других из перечисленных выпю соотноэпепнй. Рис. 4.10 Рис. 4.9 3 а м е ч а н н е 2. Мы установили свойства 1 — 4 показательной функции у = ас, а также непрерывность и мсэнотонное возрасташэе этой функции на оесконечной прямой для случая а, > 1. Отметим, что щэп 0 < а < 1 функция у = и", в силу замечания 1. непрерывна и монотонно убывает на бесконе >ной прям>Ил.
Кроме того, для этой функции сохраняя>тся свойства 1, 3 и 4., а свойство 2 модифицируется следующим образом: 11Н1 а'с' = +ж, 11Н1 а'е' = О. х. > — ~ т >-Гсс На рисунках 4.9 и 4.10 изображены графики показательной функции у = а" для случаев и > 1 и 0 < и < 1. 3 а м е ч а н и е 3. Свойство а 'э ' = асн а ' может быть положено в основу функционального определения показательной функции у = сэ'. Можно дсэказатэч что существует, п прнтоъэ единственная.
функция «(х). определенная на всей бесконе шой прямой и удовлетворякнцая следующим трем требованиям: 1),1ЛЯ Лкл>ЫХ Веэ>1ес>твсэнных Хэ И а я СООТН01пени1О «(Хэ+Хя) = «( 1)«( а): 2) соотношениям «(0) = 1, «'(1) = а, где а, > 0: 3) непрерывная прп х = О. ТакоЙ с)>ункпиэ>Й н является постросэнная Вэ эше с)>ункция а, .
3. Логарифмическая функция. Рассмотрим пронзаальный, сев>вепш [с, 141 бесконечной прямой. На этом сегменте функция у = ах ст1>ого монотонна и нещэерывна. Поэтому. в силу 124 Гл. с НОН11ТИЕ ФУНКЦИИ. НЕН1'ЕРЫВИООТЬ след!;твия из леммы 1, Е1)ункпия 'у = л сетт) = и' имететт на се'.Гьте!Етте 1ЕТ,Ст], гдс ст = а', р' = аа, обратную функцию х = ! '!у), которунт мы буден! на:тывать лтогартт!!таит!веско!1. Логарифмическая функция обозна тается следующим образом: ЕГ = 1оК„у. Меняя для этой функции обозна гение аргуметгга у на х, и обозначение фупкпиигх на у, мы получим функцию у = 1оК, х. Отметим с:идующис свойства логарифмической функции, непосредственно вытекающие и! ее опредс ли'пня: !'. Логарифмическая функция определена для всех положительных значений х.
Это сщсдуст из того, тто ее аргумент представляет собой тначения показательной функции., которые, в силу свойств 1 и 3 этой функ!тип Ссат. предыдутпий пункт), только пОлОжит('льны и заполня!От Вето положительную полу'- прямую х > О. 2'. Логарифмичс окая функция непрерывна и возрастает на всей открытой полупряълой та > 0 при сл > 1 (убывает при а ( 1), причем при и > 1 1пп 1о '„т: = — сот 1пп 1оК, х = +00. л-сос-о х — те~ С111таведлттвость этого свойства вытекает из свойств показательной функции и из заме.
тания 1 п. 2 э 4. 3'. Для любых положительных хт и хе 1стКи (ЕГт ' х2) = 10Ки ЕГ! + 10Ки ЕГ2. Это свойство также вытекает из свойств показательной функции. Рис. 4.12 Рис. 4.11 3 а м е ч а н и с. Следуе:т особо отметить логарифмическую 1 у тт функпикт у = 1ОКс х, где е = 1пп (! + — ) . Мы будем для этой и — тсс', и функции использовать обосначение у = 1пх. Подчеркнем, что нг<)сткйшии элнмннтлгнык еь нкнии 125 логари<1)к<ячеек!)я <1)ункщ<я у =!пх играет нажну<о роль в математию* и ее прн.<ожсниях.
Логарифмы по основани)о е принято называть натура»)ьныл«<. На рисунках 4.11 и 4.12 изображ<.пы г1гафики:<огарифми «..- ской функции и = 1оп»с <с для случаев и ) 1 и О < и < 1. 4. Гиперболические функции. Гиперболическими функциями называя) пя <ледуи)щие функщп< ): 1'. 1"иперболи и)ский синус вЬх = 2 2'. Гиперболический косинус С'+С' ' сйх = 2 3'. Гиперболический тангенс 1Ьх='"* ="-"" <!):< е" Е е 4'. Гип< рболический котанг<ч« сбйх = С!)Х С -! С кй с с' — сИз опред<'ления гиперболических функций <<задует, что гиперболический синус„гиперболический косинус и гиперболический тангенс заданы на всей п«ловой прямой. 1 иперболический к<пангепс опред<"лен всюду на числовой прямой, за исключ< нпем точки х = О.
Гиперболпчески<. функции непрерывны в каждой точке области задания !это вытекает и:) непрерывности показательной <!)упкции и теоремы 4.2). Гиперболические функции обладают рядом свойств, аналогичных свойствам тригонометрических функций. Например, для г)гг<срб)оли и'.ских <1)уикпий ик<щот место теор<.мы «:<ожения, аналогичные теорет<ам сложения ля<я тригонометрических функций.
Именно: ей1х+ у) = вЬхсЬй+ сЬхвЬу, сй(х+ и) = сйхсЬй+ айхвЬй, На рисунках 4.13-'1.16 изображены графики гиперболп «)ских функций. ') Наименование «< иперболические функции» объясняется тем, что геометрически функции р = к!),) и р = сь я; могут быть определены пз рассмотре)шя равпобочной тип< рболы по тем же правилам, по которым функп)ш И = ьш,г и р = сое,с могут быть определены из рассмотрения единичной окружности. 126 НОН1!ТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ Рис. 4.14 Рис. 4.13 Рис.
4.16 Рис. 4.16 5. Степеш!ая функция с любым вещественным показателем гх. Пусть о произвольное вещественное чи<що. ОпреДЕЛИМ Обп1ую сто!!енную фрвицпза р = Х"'. Х > О, следуюптм об азом: р !1.= х~ = (ам" ) = пи "" (с! ) 1). Из определения степенной функции (щедует, что при н > О опа представляет собой возрастающу)о, а при сс < О убываюп1ую фу нкпию. Рс!с!мотрим предельное зна и ние, < те!п.иной с1>ункции при т, — 1 О+ О.
Докажем, что О при н>О, ха ~-~о~-о' 1 +ж при о ( О. Действительно. НУсть !хи! любаа сходЯщалсЯ к нУлсо справа последовательность значений аргумента х. Так как 1!ш !оЬ'„хи = — ос, то из свойств показательной функции вы- ПРОСТЕ12ШИЕ ЭЛЕМЕН'!А17НЫЕ ФУНКИИИ 127 т1 Каст, Чта 1ПП а"" .х" = О Прн О > О И 11П1 а'"'О"-*" = +СО 77 —.7 ОО и — 7 ОО при о < О.
Естественно положить теперь О" = О при 11 ) О и с 1итать это выражение неопределенным при а < О. 1!ока кем ве711ьерьчвноспчь степенной функции в ли!бой точке х положительной бесконе !ной полупрямой (:17 > 0). Для этого досок!очно установ1иь, что эта функция непрерывна в каждой точке 1г указанной полупрямой слева и справа (см. замечание в и. 1 2 3). Дока1кеы, например, непрерывность этой функции в точке х слева (непрерывность справа доказывается аналогично). При этом ради определенности будем считать О ) О. Обратимся к формул! у = х" = па ил" х, а, > 1.
Пусть 1х„),побая !сводящаяся сз1ева к х посл!адов!с!ель!!ость значений аргумРнта схРНРнной функш1и7 так 1то хв < х. Так как логарифмическая функция Непрс 1Н1вна. то последовательность 1а77). гд11 ав = о 1ой7О х77. у=х", а>0 1Ии 4 17 1'ис. 4.18 у=х,а= ,а>1 а 2р 2!с+! 2р+1 2!с+! а>1 Ри7. 4.19 Рис. 4.20 128 ПОПЯТ1ЛЕ ФУНКЦИИ. НЕП1'Е1'ЫБНООТЬ гл.
1 вш1х' + х ') = вш х' сов хи + сов х' вш х", сов (х' + хи) = сов х' сов хи — вш х' вш х", взп х+ сов Гг = 1. ') (4 г)) 1 Остальные тригонометрические фупкпии р = 78 х, р = с(8 х, и = эес т и у = совсс х опрезсляются через указаиш(е: вшх (овх 1 1 (хх =, с(кх =, вест. =, совосх = совх' ЬШ.( ' СОЬХ вшх Подчеркнем.
что опроделепис фупкпий эш х и сов х с помощью иаглядпых гсомотричоских соображений пе является логически бозупрсчпым, иоо при этом возможпость определить эти фупкпии лля всох всществениых звачепий аргумента х своди)ся к возможности установления взаимпо одно:шачпого соответствия между всеми точками единичной окружности и в(смп вещественными чи(=(ами из сегмента )О. 2я). схолитсн к 11. = Г) )ои„гг, ПРичем Вс(1 эл(зпзнты пи отли(ны От и 1В самОм дР:и', поско;1ьк!' при и ) 1 лоза)1)и(1)х(ич(!свая (1)унк- ЦИЯ ВОЗРаетаст.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
