В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 24
Текст из файла (страница 24)
СОВОкупность всех чйстнь(х значений функции образует вполне определенное множество (д). Называемое 3 множеством всех значений функции. 2 В Ооозе1й'ше1ии (д .= > (3:) б1 кВй «нйзыВВ(.тся характеристикой функции. Для обозначения О 12 3 4 х аргумента, функции н ее характеристики могут употребляться различные буквы. Рис. 4.3 Приведем примеры функций: 1'. у =- х . Этее ф(пипия зйдш(й на б((скоп(1 шой прямой ,2 —.>с < х < +Ос. Множество всех значений этой функции полупрямая О < д < +Оо (рис.
4.1). 102 ПОНЯТ!ЛЕ ФУНКЦИИ. НЕП1'ЕРЫВПОСТЬ ГЛ. Л 2 '. у = У71 — 77:'л. Функция задана на сегменте — 1 < х < +1. Множество всссх значений функции — сегмент 0 < у < 1 (рис. 4.2). 3'. у =- н!. Эта функция задана на множестве натуральных чисел и = 1,2,... Множество всех значений этой функции —.
множество натуральных чисел вида 717 (рис. 4.3), 4'. Функцигс Дирихле ') О, если х -. иррациональное чис.чо, у = 1, если х - рациональное чгн ло. Эта функция задана па оескоссечной пряхигй — хг < х < +ос, и хгножссство ж»;х с;71 зиа 1ссний состоит из двух го.7ек 0 и 1. 5О +1, сх'1и х ) О, у=аппх= О, если х=О, — 1„если х < О. (Терагин вип происходит от латинского слова в!ин77777 . знак.) Эта функция задана на всей бесконечной прямой — ОО < х < +Ос, а множес:тво всех ее значений состоит из трех то пск: — 1, 0 и +1 (рис, 4.4).
6'. у = <х). где [х) обозначает целую часть вещественного числа х. Читается: «у равно витье ха (от французского слова епбег . целый). Эта функция задана для всех вещественных значений х, а множество всех ее значений состоит нз целых чисел (рис. 4.5). 2. О способах задания функции. В этом пункте мы остановимся на некоторых спосос7ах задания функции. Часто закон, устанавливакпцпй связь хссггкду аргументом и функцией, задает— — — ся с помощью формул. Та- КОй с:ПОСОО задания функции 7771зьгвас7тся сгнел777асилс- Ег.,е .' „,р Фм «и« » »е;еляться разными формулами на разных участках области с:воего задания. Нсгп)г!7хсс;)г, ф) нкдин вгнг при х<0, у = х при х)0 ') Петер Гуетан „"Лежс7н-Диритле — немеикий математик (18!18 1859).
ПОНЯТИЕ ПГЕДЕЛЫ1ОГО ЗНАЧЕНИ51 ФУНКЦИИ 1ОЗ задВнВ Внйлитических1 спосОООы нВ 1)сей ОесконечнОЙ прямОЙ (рнс. 4.6) ДОИОльнО !)Йспрост!)Йненпым спОсоооы задания фупкц1П1 является 771716личиый, способ, заключакппзппя в задании таблицы отдельных значений аргумента н соответствукп)щх нм:значений функции. При этом мож- у но приблн>кенно вычишппь нс содержащиеся в тйб>шце значения функции, со- р=а!и х у=а' ответствунпцие промежуточным значениям аргумента. Для нспсшьззд)тся способ )штерн оляцп)1, заключа)ощнйся в замене функции между Рис.
4.б 1)Е ТВОЛИЧНЫМП ЗНВ П;)ШЯМИ какои-либо простой функцией (например, линейной или квадратичной). Примером табли )ноп) задания функции аюжет 1щужить расписание движения пое:зда. Распнсшше определяет местоположение поезда в отдельные моменты времени. Интерполяция позво.шет приближенно опреде:шть местополо>кение поезда в любой прохнзжуточньш момент в!)емени.
В практике физических измерений используется и еще один способ задания функции графический, при котором соответствие между аргументом и функцией:задается посредством графика (снимаемого, например, на осциллографе). Й 2. Понятие предельного значения функции 1. Определение предельного значения функции. Рассмотрим функцпк) у = «(х), определенную па некотором множестве (х), и точку а. быть может, и пе принадлежащую мпо>ке«тв) (х), по об.:1адйкпц)зо тем свойстве«1, что в лк)бОЙ еокрестности точки и имен)тся точки множества (х), отличные от и. Например, точка а может быть П)анпчной точкой интервала, па котором определена функция.
Определение 1. Чиец)о 6 иагь)еиепи:я, и р е д е л ь и ь) м ,з н и, ч е и и, е м ф у и к ц и и у = «(х) и и, о ч, к е х = а ()ьаи пределом функции при х — >а), еслидлялн)6ой)ходя- и!ей!)я к а последоииетелспзоспт хз, хг,..., ха,... Йпиичеаипл аргу,МЕНХПа Х, иЛЕМЕИти Хп КитиРой ОтЛ7)Ч))Ы, От а ') (Х ф- а). СОП)П; ое)7)шпиухнция последовательность «(хз), «(:ги),..., «(хв),... значений фу)зкции, сходи)пеня к () ') Это ) ребованве обьясняется, в частное) и, им, *по функння «(х) )и>не) бьиь не определена в точке и.
10й Гл. ! ПОЦЯТ1ЛЕ ФУНКЦИИ. ЦЕН1'ЕГЫБНОСТЬ Для Обозна «.Иня пргдельллого зна,*«;ния <))ункцип использ)'- ('тг51 (с«дткппа5! ('имВОлика: 11ш з (х) = Ь. Отметим, что футскция д = 1(х) мооюе«с иметпь а таочке а пю)лько одно предел( !!ос зт(аче<сие. Это вытекает из т<юо. что последовательно<!Рь (1(х )) может имел ь только один щн дел. 1 5)ссхютрим не('кол)ко примеров. 1, Функция ! ((1!) = с иуп'('1 пред(лтьноо знач('.ни(' В каждоЙ точк(' б< скоп(зной щ)яь«)й. В самом де 1Р, ( <) ли хл, хи,...,.Ть.... ('.<'Ть .
1«)бая сходящаяся к а по<ледоват<нльность зна лений аргум(нта, то соотве<птВЛЮИ(ая ио(1!«Довапльнос!ь значРННЙ <))Ьнкции имеет вид с, с,...,с,... и поэтому сходится к с. '1аким образОм, щ)(ДРльноР зна «н1« этОЙ <))ункцин В любОЙ точк( х = а равно с. 2'. Пр< делю!о( знач('ци<' функции !'(х) =- з: в .побой точке а бес«Он("!ной! щ)яу«)Й равно и,. Д(Й(твит<хльно, В этом < пуча< Ног.пдовательногти знанний щ)гбмента и <))ункции тол(лестн(н- НЫ, И ПОЗТОХ!У, РНЛН ПОС:)РДОВВ)Р:)ЬНОСТЬ (Хь) СХОДИТСЯ К а,, (О П последовательно('ть (1(х„) ) также сходится к а.
3'. Функция Дпрпхле, значения которой в рациональных то 1ках раВны РдиницР, а В щ)рациональных нулю, нР имРст предельного значения ни в одной точк< а бескоп(чной прямой. Дей(таит<льна, для сходяп«)йся к а, последовательности рациональных зна !гний аргумента предел соответствующей последоват(з1ьности зн<«ний флнкции равен Рдингщ(г, а для сходящРЙ- ся к а последовательности иррациональных значений аргумента предел соответству«нцей по(ледовательности значений функции равен нулю. В дазьнгйшем мы будем использовать понятия односторонних пр(дельных значений функции. Будем считать.
(то множ< ство (зх), на котором задтила <))Ь нкция Я!х), для „побега е ) 0 имеет хотя бы один элеи!Впт, люкащий на !лнтервале (а„а + е) (соответственно на интерваг«! (а,— — е, а,)). Определение х. 'Э(с<я!о Ь тс<сзтааетт!ся и р а а ьс м (л е а ти, м) предельным значением фтттскг(и(1~(х) отпочкех=а, егли для лтобой сход.пцейся к а тсоследоа<сттсельтсоетттгс хл, х), ... ..., з!я, ... зтоечеиий арг<йметспта, тз этсеметсттстя х„котпорои больтие (меньше) а, сои!!с<зев)с!!сот!то«лая пос.г(доаатт!ель!сость 1'(х!), з (ха), ..., 1 (х,), ... з!ючетпсй фгдтскцигс сходипюя к Ь. Для правого предельного значения функцилл используется обозначение 1)ш т'((!!) = Ь нлп 1" (а + 0) = Ь. .г-сь-50 Для левого предельного значения употр< бляется обозначение 11п! з (х) = Ь или з (<с — О) = Ь.
х — )а — 0 ПОНЯТИЕ П!'ЕДЕЛЬНОГО зпгп!ЕНИЯ ФУНКЦИИ 105 В качестве примера рассмотрим функцию ! ()с) = нс,тсх !). Эта с()ункцня пмс)с г В ну:и гй)авог и левое прссдгльныс'. значения, причет! Вкп(0+ О) = 1, а няп(0 — О) = — 1. В самом деле, !с)лп (ги) л!Ооая сходящаяся к нулю пос)тодовас ГедьнОс тъ зна чений аргумента этои функш)и. элементы хн которой больпк- НУЛЯ (Хн > О), тО В!Пгеео = 1 И ПОЭТОМУ )ПП В ПХ„„= 1.
ТаКНМ 71 — г со образом„справедливость равенства н1,'п(0+ О) = 1 установлена. Лна.,югично доказывается, что ндп(0 — О) = — 1, 3 а м е ч а н и Р. Есэ)11 в псвчке а !Чгавве и, левов п1)седсеэсвиьи: зис). Гноил с))уик!!ии 1 (:11) равны, тв в точке а су!цвствует»рвдвлюсве зиа"!Свив этой фсункс1ии, раси!Ое указсии!ым односторонним п1)еделсисквм значвниияк Этот наглядный факт мы снабдим доказательством. Пусть (хн) — любая сходяп!аяся к а посследонатслыикггь значений аргумента функции 1(:1)). элеш нты которой нг равны а. Пусть (хс ) подпоследовагвльность этой последовательности, состоящая из всех больших а, элементов последовательноСтн (Эн). а (Х! ) — ПОДПОСЩРДОВатРЛЬПОСтЬ, СОСтОЯЩаЯ ИЗ ВСЕХ ХН НЬШИХ а ЭЛЕМЕНТОВ ПОС:ЛРДОВатСЛЬНОСтн (Хн) Я).
ТаК КаК В СИ- лу и. 1 5 4 гл. 3 подпоследовательности (х!Т„) н (хс,„) сходятся к в, то из существования ириного и левого 10)Сдельных значении функции ((сх) В точкР в, ВЬГпкаРт, *1то посл!дона!сльности (1()ХЕ„,)) И (се(СГ1„,)) ИМЕЮТ ПрЕдЕЛЫ, КОтарЫЕ ПО УСЛОВИЮ раВ- ны. Пусть Ь предел этих шхледовательностей.
1ля любого > 0 мОжнО указать нО:)ср )т такой, ч!О ВсР эдРмРнть) пос'1РДОВатРЛЬПОСтой (!(ХУ,,„,)) И (У'(СВ! )), ДЛЯ КОТОРЫХ !Стн > 1)С И 1н, > т)1, улов, !отворяя)т неравенствам (~(схь,„) — Ь( < в п ()(;1)! )— — Ь) < в. Следовательно, при и > 111 выполняется неравенство /~(С)г)) — Ь! < В, т. С. ПОС.ЛРДОВатРЛЬНОСтЬ (1(Хв)) СХОДНТСЯ К Ь. Тгм Сам~~ дока:)ано, )то пред!)льпос) зна гение функции 1(х) В ГочкР а супсРстВувт и раВнс) Ь Сформулирус м Опус)дел! пия 1Ч)едсс,)нного )начепия функции при ст1н)млении аргумш!та х к бе скслн"снос:ти н к бс)скопе пкн:ти определенного знака.
Будем считать., что множсство (:г). На котором задана функция у'(х), для любого А > 0 )смс)сч хотя бы один э.н мснг,н жа)пий вне сегмента [ — А, +А). Определение 3. Число Ь иазысэаенссл и, р е д е л ь и и эн з и а ч е и и в эи ф у и к ц и и, 1(сс) и р и х -) оо (или ) Определение функции у = в в.г дано в и 1 1 1. ) эиы нсклгочвеи нз рассмотрения случай, когда у носидоввтельностн (,г,„) лишь конечное свело элеменп)ое лежит правее (левее) точки о. ИМ)том случае сходимость (Т(х„)) очевидна. 100 ЦОцят!ле Функции. Неп!'еныицООть Гл. ! и р е д е л о м ф у >с к ц сс и п р и х — ) оо). если длл лт)бой беско)селии бо,лсииосй последоеапсельнстпш значссстй ссргсЛмесспса гоопсостгл)юуютал последооателтсоси>гь тсачс)тй фу)ск)Л)си сходппюл к 6.
Для обозначения прс дельного значения функции при х — ) оо используется с.п)дующая символика: 1ш! 1(:г) = 6. ъ-)ж Наконец, будс.г ~~~~~~~, что множс ство (х), на котором задана функция )'(сс), для любого А ) 0 имеет хотя бы один э.ньн нт х, удои.,)с"! воряклций ус"ювик) х ) А (:с ( — А). Определение л. Число Ь назьлоаепюя ироде>гьнслм зпаче)сиелс фу)скцсссс 1(х) при стремлсссии аргумента х к полоз«панель!сей (отрицателтсой) бес)ко)сеч)сосссси, сюли с)лл ллой>ой бсткопе'то большой последооате,ть)!ос))с!с значсиисй с>й>с!уме)!!па, элем!петля кос>сарой, >с!с"с!с!сан с >секоосо1«ого ссомсра !солса«:сипсслтсъс (о)))1)ицсспсс)льссьс), соопсаетспсоунпцал последоаательссосгпь си)шчсншй функции сходнпсгл к 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
