В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 27
Текст из файла (страница 27)
ГЛ. ! ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕП1'ЕЕ'ЫВНОСТЬ Приведем примеры монотонных функций. 1. Функция ('(х) = х + абпх возрастает на всей шсловой прямой (рис. 4.7). 2. Функция 1'(х) = внпх является пеуоываннцей на всей числоьой прямой (см. рис. 4А). 2. Понятие обратной функции.
Монотонные функции, имеющие обратную. В этом пункте формулируется поцгепле обрати!)й функции и устанавлнван)тся условия существования обратной функции для монотонной функции. Пусть фуглкц)ля, у = 1(х) задана на еегменнле [а, Ь]. и пусть многасестоом значений этой функции является сегллент, [о, р]. Пус)пьэ далее, каэгсдг)му у лы сегментгл [о.л)] еоотое)псплаует, только пдно значян)н) х из сегмента [а„Ь], для кптпорогп ('(гс) =. = у. Тигдгл на сегменте. [о, й] ллоэюно определит,ь функцию х = = ( ' (у), стаоя о спптаетстоие кагнсдому у из [о,13] то зна; чение х ллз [а,.Ь], для кота!юга З"(х) = у.
Функция х = З" '(у) назеааается о бр а т, н п й для фуикцгга у = 1(х). В указанном определении оместа еегментоа [а..Ь] и [о,г)] можно было бы рассматривать интервалы (гл, Ь) лл (о, )З). Можно также допускать, что один или оба интервала (а,. Ь) н (о, )3) превращан)тся в бесконечпун) прямую или в открытун) полупрямун).
Отметим, что если х = 1 (у) обратная функция для у = = ('(гн), ТО. о лев!)дно, г[)ункция у = ('(г)) является обратной для функции х = 1 '(у). Поэтому функции у = ('(х) и х = (' '(у) называя)т также азии,мно обратными. Взаимно обратные функции обладая)т следуннцимн очевидными свойствамп: .И '(у)) = у: 1 ' У(х)) = 1'ассмотрим примеры взаимно обратных функций. 1'. Пусть на сгтмснте [О, 1] задана г[)ункция 1"(х) = Зх.
Мно)кеством значений этой функции будет сгтмент [О, 3]. Функция (у) = — у. определенная на сегменте [О. 3]., является обратной 1 3 ' для заданной функции 1(х) = Зх. 2". Раг:смотрим на се)менте [0,1] функция), определенную следующим образом: ~х, есаи х †. рациональное число, у = ((х) = (1 — х.
если х иррациональное число. Функция х = 1" ' (у), заданная на сегменте [О, 1] н определенная равенствами рациональное пило, иррациона.!ьног) чис.)о, ]1 — у, если у ! И НЕКОТО1'ЫЕ СВОЙСТВА МО1НЗТОННЫХ срУНКЦНИ 115 будет обратной к данной. В этом нетрудгю убедиться непосредственной проверкой. 3 а м е ч а н и е 1. Пусть на сегменте [а,б] задана строго монотонная функция у = 1(х)., и пусть множеством значений этой с]11 нкцпи яелясзтс:я сегмент [сс, )з].
Тсзг,!а, в силу ст1зсзгой монотонности фУнкЦип У = 1(х), каждоалУ У из [сгз Я соответствУет тгллько одно значение х пз [о,. 6]. для которого 1'(х~ = у, и поэто- мУ на сегменте [о. гг)] сУществУет фУнкппЯ х = 1' (У), обРатнаЯ для функции у = 1(х). Более того. ес;!и фупкпия у = 1(х) является возрастакицей на се~менте [а, 6).
то функция х = 1 ! (у) также является возрастанзщей на сегменте [сг, Я, если же у = = 1'(х) — фУнкциЯ, Убывакипаа на [аз 6), то х = )' '(У) ЯвлЯется убывакнцей на сегменте [гг)з сг). Убедимся. пап!!имер, что ег зи у = ) (х) — возрастаницая функция. то и х = 1 (у) также возрастающая функция. Действительно, ессп у! < уя, то и т:! < хг (х! = 1' '(у!) и ггг = 1' '(уй)), ибо пз неравенства х! > хл и из возрастания функции у = 1(гг) сшедовалсз бы.
что у! ) ув, а это противоречит неравенству у! < уа. Лемма 1. Для пюго чтсзбы сгп11гсзггг монтаонная на сегменгпг [а, 6] функция у = ) (х) яолялась непрерывной на этом сегментег необходслмо и дастин!очно. чпзобы любое число у, заключенное .методу ч!лслами сс = 1(сл,) и, лз = ~(Ь)з бегло з!лачелл!лем зттл' функции. 11ными си!вамп, для топ! чтобы строго монотонная функция у = ф(з;) была непрерывна на сегменте [а, 6], неооходимо и достаточно, чтобы множеством значений этой функции был сегмент [Ог 1з] (или [лз. О] пРи 1з' < ст), гДе сг = 1(сл) и 1з = ф(б). Доказательство.
1) Необходимость. Ради определенности рассмотрим возрастакпцую непрерывную на сстменте [сгч 6] фУнкцикз У = — 1'(х) (длЯ Убываипцей фУнкпии доказате.!ьство аналогично). Покажем, что если О < у <,'з'. то существует внутрешсяя точка, с сегмента [ггз 6], в которой 1(гз) = = у (в силу возрастания функции г(х) на сегменте [по 6] такая точка с", будет единственной). Обозна шм через (х) л!!!сзжество то*и!к сгсзгигс;нта [а„Ь], длз! кото1зых 1(х) ( у (этому множсзству пРииадлежит„напРимеР.
то зка пч ибо 1'(гл) — сл < У). Мнсзжество (х) ограни ино сверху и поэтому имеет точиукз верхикзкз грань с. Докажем. !то 1(с) = у. Озасетикс, что лкзбое !испо нз сигм!зита [а, Ь ] г ажньпизе с, п1зннадлсзжит множсзстеу (х) ), а лкзбое шсло, прсзвосходящее с, не п1зинадг!сзжит этому множестеу ). Покажсзи, что с внут1хзнняя то'ска сзсзгэ!!зита [оч 6]. В ) Ибо по определешпо точной верхней грани для ллобого х, меньшего г, найдется тг "!акое, что х ( х' и 1(х') ( ",, Но тогда из возрастания 1(х) следует что и Л (х) (,, т.
е. х принадлежит (х). ~) В силу определения точной верхиеи грани. 116 ПОПЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕП1'Е1'ЫВНОСТЬ ГЛ. 1 самом деле. пусть, например, с = Ь. Рассмотрим сходящу1ося к Ь возрастакпцую последовательность (х„) зна"н1ний аргумента функции й =- у(х). Так как у(х) непрерывна в точке Ь сп1ва, то 11ш у(хо) = (). С „.И1угой стороны. у(х„) < .у ), и поэтому о-чж в силу теоремы 3.13 !пп (х ) < .у. Таким образом, 11 < .у, что и — 1 ос противоречит условик1 у < )8. Полученное противоречие доказывает, .что с < Ь. Аналоги шо можно убедиться, что а < с.
Так как с вн) 1ренняя 1очка 1е1 мен1а [а,. Ь), 1о наидт гся (х ) и (х ) сходящиеся к с во:зрастакпцая и убываиицая последовательностии значений аргумента х. Поскстльку 1(х) непрерывна в точке с, то йш (х'„) = 1пп у(х",) = у(с). Но у(хо) < у, а, у(х,'„') > 71 — гпо и — гос > ух). Поэтому 11ш ('(х'„) < у, 11ш (х,",) > у. откуда 1.1едует, п — >х ' о-чх что у(11) = у.
2) Л о с т а т о 1 н о с т ь. Проведем доказательство для возрьп1такпцей на сегменте [и, Ь) функции у = у'(х) (для убывак1- гцей функции рассуждения аналогичны). Пусть с — лн1бая точка сегмента [и, Ь) и у =,1 (с) знап1пис фушсции д у = )'(х) в этой то па1. Убедимся, что чис:ю у является правым и левым предельным у зна 1ени1'.и 111) нинин У (х) в г( . ) то'1ке с (если с грани'1ная точка сегмента [П.Ь), то .у '~ ' 'Г """ ' аиче' " ' 1 Ь х значением в этой граничной точке). Пусть а, < с < Ь:, Рис.
4.8 докажем, что у яв.шется левым предельным значением функции в точке с. Пусть с столь малое положительное число. 1то ст < у — е (рис. 4.8). Поскольку по условию леммы число у — е является значением функпии у (х), го па с<шмсптс [ач 6) мо11спо указать точку 11', такую, "1то у (11) = ч — е. Так как функгшя у (х) возрастает, то д < с.
РассмотРим теп11Рь:побУК1 схоДЯЩУюсЯ к с пос 1еДовательность (хо) значений аргумента х, элементы которой меныпе с. На шная с некоторого номера уУ. все элементы х„ этой последовательности ЬловлотвоРЯК1т нейавьчптвам 11 < хо < с (один такси эл11мент изображен на рис. 1.8). так что в силу возрастания )'(х) при и > Л справедливы неравенства у(д) < у(хо) < у(с).
Так как ') Таь как исе х меньше с и, стало быть, принадлежат (х). ) В силу того. что х'„< с < х",, дли любого и. н1 остейшие нлементА)ные ех нкции 117 ((11) = !' — е и 7(с) = 7, то из пос:н)днях неравенств вытека!)т, что при и > 11' 0< У вЂ” 1(х„)<е, т. Е. П1КИЕДОВатЕЛЬПОСтЬ (Г(!Сн)) СХОДИтен К У, а ПОСКОЛЬКУ (Хп) —. ПРОЯ!)ВОЧЬНВ)1 сходища~с~ К С СН1,ва ПО111ЕДОГВТЕЛЬПОСТЬ значений аргумента., то тем самым доказано, что левое предельное )на)ение в точке с существует и равно у = 7'(с) ).
Если а < с < Ь, то. рассуждая аналогично., можно доказать, что 7 = !(С) является правым предельным значением функшп) в точке сс Мь) доказали, что правое и левое предельные значения функции у = !'(х) в любой внутренней точке с равны частному ее значении) ф(с), а это, в силу замечания в и. 1 ~ 2, ознагает непрерывность !'(х) во внутренних то )ках сегмента. Непрерывность этой функпин в граничных то )ках сегмента следует из ТОГО, '1тО ОООтветствук)п!Ве Односторо)пгие щ)едельньн) зна'и",— ния ((х) в граничных точках сегмента равны частным значениям функции. Лемма полностью доказана. Следствие.
17усть )га сегменп)е [щ Ь),н)дана строго монс)- т!пиная непрерывная функция у = Г(х). и пусть н = Г(а), ))' = = ((Ь). 2!)гда, ота функция имеет, ни. сегменте. [и,))) (или [55,11), если ()' < сг) строга монс)то)п)у)о и непрерь)аную Обрати)у)о функцию х = ( '(у). Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу только по доказанной леммы множеством значений функции у = )(х) является сегмент [ОчЯ, а тогда, согласно заме )ашлю 1 этого пункта. на сегменте [н, Я существует обратная строго монотонная функция х = (у). ъгножеством значений которой является сегмент [а., Ь) и которая поэтому, в силу той же самой леммы.
нещ)ерывна на сегменте [о, ))[. 3 а и е ч а н и е 2. Отметим. что монотонные функции имеют правое и левое щ)сдельные значения в каждой внутренней точке области задания. Доказательство этого предложения 1ц)сдоставляем читатели). й. Простейшие элементарные функции Простейшими элементарными функциями обьн)но называн)т 1ЛЕДУИПЦПЕ фУНКЦИП: У = Хо, У = а'. У = )ОИ Х, У = В)ПХ, У = = сов х, у = 1и х., у = С1и т,, у = агсв)пи., у = атосов х., у = агс1й х, у = агсс1й х. Из э;н)ментц)ного к11к:а читатель имеет щ)едставлсние Об этих функциях и об их графшсах. Некоторые из этих функпий. ) Мы рассмотрели случай столь малого е > О, что о < Л вЂ” е.
Если а > -!— — Е, то доетаточно положить И = о и повторить проведЕнныЕ раееуждания, используя очевидное неравенство Т вЂ” =- < 1'(о). 118 ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ Гл. 1 напри>сер у =- а ., б<!з труда опредсмсякг!ся для рациональных значений аргумента х. <1ы вы>к:ним вопрос об определении прост<>йшпх элемс нтарных <)>упкций для всевозможных вещс>ственных значений их аргументов. Этот вопрос нс является простым: неясно, например, как возвести произвольное веп<ественное "шсло х в произвольную вещественную степень о. ;<1ы изучим также вопрос о непрерывности простейших элементарных функций во вс:ех точках области их задания. Нами будет обосновано то поведение щюстс>йших элементарных функций, которое наглядно вырисовывается из рассмотрения их графиков.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
