В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 30
Текст из файла (страница 30)
тО СПРаВЕДЛИВО НЕРаиснетВО 7(в ( и). В СИЛУ непрерывности поквпательной функцзт последовательность 1(1,"„~ сходится к Г!'. Иными словами. последовательность 1(з представляющая собой по(шедовательность !х)) значений ст(- !Инной (1)ункции, соотв(!Тстйу(ошу!О по(п1(доваг(льнОсти 1х))). сходится к ао ""' х, т. е. к х". Непрерывность (тепепной функпии в точке х ) О слева доказана. Аналогично доказываепя непрерывность этой функции в то (ке х ) О справа.
11о непрерывность функпии В то 1к(1 х ('.:!Рва и сщ)аВа означа(т. что (1)ункция н('щ)Р- рывна В азой точке. Отме)им, ч(о (з( зи Г( ) О. То ст(пенная функция 71 = х" непрерывна также и в точке х = О. 3 а и ( .1 а н и (. Отметим, зто Р()зи показат(.ль О ст()п(зшюй (1)ункпии щ)едставля(зт гобои рапиона.зьно(. чи( ло тг)Г(гз, зле о нечетное целое число, го степенную функцию у = хо можно определить па всей числовой оси, полагая для х < О у = ф", если о — 711)п и )п, .
четное, 7/ = — /:11/, ('.(З!И ГУ = 71111( И )П НЕЧЕТНОР. На рисунках 4.17 4.20 изображены графики степенной функции 71 = х" для разли зных значений сс 6. Тригонометрические функции. В курсе элементарной мат('матики с помощью наглядных геоузетрич('ских соображений были введены тригонохютрические функции й = в!их и р = = совх '). Перечислим н(которьп" важньн. для дальнейшего свойства тригоном( трических функций 1'. При любых в(шественпых х',:ки и:г справедливы следующие соотношения: нгостнйшии нлнмннтлгнын м пинии 129 2с ьшО = О.
сов О = 1 14.0) вш — =- 1, сов — .— -- О. 2 ' 2 3'. Е(гли 0 <:г < —, то 2' 14.7) 0<вшх<х. Указанны('. Свой(став усттлн((Вли(лаются НОсредсте(Ом Г(лом("трических рассужд(ний. Мы не будем давать здесь известные из курса эл(м(нтарнОй ма"гсматики Г(.0- метрические выводы свойств 1' и 2'. Оста- и новям(я лишь на геоллетри"«хколл выводе М неравенств 14.7). Кроме неравенства (4.?), х мы установим неравенство х < 1вх 1при О<:л:< — ). 2 О лч" А Рассмотрим окружность радиуса 1 с Пщ(т1(ом е то.лке О и то лку А на этой окружности 1рл(с.
4.21). От точки А против часовой стрелки буд('м отсчитывать дуги окружности. Пусть М вЂ” точка Рвс. 4.21 окружности, находящаяся в первой чет- в верти, и х — длина дути АЛХ, 0 < х < — ' 1х — радиапная ме- 2 ра угла АОЛХ), л( основание перпендикуляра, опущенного и! ЛХ па ОА, В -- точка пер(с( «ния перпендикуляра к ОА, восстановленного из точки А, с продолжением отрезка ОЛХ. Тогда ЛХЛ(( = вшх, Ол(( = сова, АВ = 111 т. Так как треугольник ОМА сол(((1эжится в (.екто1л(." ОЛХА, кото1льп! в свою о «'.?лель сод((1лжится в треугольнике ОВА, и плон(ади пере ш(тленных ()и(гур соот- 1 . х 1 ветствснно равны — вш(лл — ' и — 1а х, то пмщог ь«сто неравенства 2 "2 2 ь в!!эх <х< Фйх, 0 < я < —.
При указанных значениях х вшх) О. 2 Таким образом, справедливость неравенств 0 < вшх < х < 1ях 1прл! 0 < х < -) установлена. 2 Свойства 1", 2', 3' могут быть положены в основу определения функций вшх и совх. Можно доказать, что су(оествует,. и притом единсп(венная, п(лра функций... определенных для всег, вещественных лналлен(лл(л' аргуллента, нерву«! (лл которых ллы обознач(лм через вшх, а вторую через (овх. удовлетворяющих (п?лебован(лям 1', 2', 3'.
Показательство этого утверждения приведено в дополнении к этой главе. В В.я. Ильип, ГСГ. Позвак. часть 1 1ЗО ПОЦЯТ1ЛЕ ФУНКЦИИ. НЕП1'Е!'ЫВНООТЬ Гл. ! Подчеркнем, что из свойств 1'. 2и и 3' функций вшх и сов х можно выв<сти все известны<" из элеуюнтарного курса свойства тригонометрич<лских функпий ' ) . Докажем непрерывносгпь трш онометрнческих функций в каждой то <ке области их:<алания. Уста!!овну! Она «ша неп)ирывцость фупкпии у = вшх в точк< т: = О.
Пусть 1хи) . произво;1ьная сходящаяся к то'<к<', 7! = О справа последоват<'льно<ггъ :<начений аргумента х. Из неравенств (1.7) имеем О < вшхв < < хв. Ото<ода, в силУ т<оРемь! 3.14, вытекает. что последовательность 1вшсгп) имеет ПРедел, Равный нУлю.
Таким обРазом. 1ш! »Йпх = вшО = О. Так как при ( —.т<<2) < х < О справедливы х.»О»О неравенства х < ьйпх < О"!. то рассуждая аналогично., получим !пп в!пх = вшО. Мы устаноги.ти, что в точке х = О функция о — о у = вшх непрерывна справа и <лева„т. е. является непрерывной в указанной точке. Для доказательства непрерывности функции у = в!пх в .тюбой то <ке х б»<конечной прямой восполь<у»ук;я и и и ° с х -<- х' .
х — х' формулой в!!тх — вшх = 2сов' ' вш' . которая может 2 2 быть получена из формул (4.5). Пусть (х„) произвольная сходящаяся к х последовательность значений аргумента. Полагая в последней формуле х =;гп и х = х, получим 1ш! (вгахп — вшх) = 2 1пп <'ов" ' вш ' ' = О. !»ю в »со 2 2 Справедливость этого заключения вытекает из того, что последовательность )сов ™ + ~~ ограниченная ), а последователь- 2 х„— х) ность (в<п ' " " ~, в силу дока<явного в<,нне, оесконечно мат!ая. 2 Непрерывность усунн<1!»и, у = <ов»г устанавливается с помощью аналоги шых рассужлоннй и ! формулы и,, ! . хи Л-т( .
х" —;гУ совх — совх = — 2в)н", " вш 2 2 Неву!<<рь<вносп!ь осп<плы<ых, тров«помету»гчеснпх функ<1<<»!. ((й х, с(й х, вес х. <овес:г) в каждой точке области их <адания следует из теоремы 4.2. ) Например. ревев<тиса Мп( — х) = — 8»п т,, сои( — х) = соа т. ) Ити неравенства получаются из перавепств (4.7) путем замены х па — г и учета формулы ата( —,г) — — — а!<с х. а) Из третьей формулы (4.6) следует, что ~ сов х~ < 1 и ~ ып и( < 1. Отсюда х„-~-х! очевилпа ограпичеипость последовательности (с'оа 2 132 НОНЯТ!ЛЕ ФУНКЦИИ. НЕН1'Е1'ЫВНОСТЬ Гл.
л Об.)асгь задания каждоЙ тригонометрическОЙ (])ункцни разделяется на участки монотонности этой функции'). Функция и р = в1пх) возрастает на каждом сегменте [2!сл — —,2кл+ — '] ) 2' 2] и убывает на каждом сегмент» '[121+ 1)л — —,121+ 1)л + — ]. 2 21 Функция у = сов х возрастает па каждом сегуи нте [12й — 1) я, 2йя] и убывает на каждом с(гсм("пте [2/сл,12к + 1))г]. Функция р = = 1," х веерастает на каждом интервале к)г — —, кл + — .
Функция у = с!о х убывает на каждом интервале ![1) — 1)л, 1(л). Для функций у =- вес х и () = совес т читатель без труда установит области возрастания и убывания. На рисунках 4.22 4.27 изображены графики тригонометрических функций. 7. Обратные тригонометрические функции. Функция р = агсейпх онреде)гнется (щедующим образом. Рассмогриы на сегменте [ — л((2. л,(2] функцию () = вщх. В предыдущем пункте мы Отметили, что на этом сегменте (])ункция Р = 81п:1' воз!ми:тает.
н( прерывна и иь(еет в качестве множества значений песьи)н) [ — 1, 1]. В силу следствия из леммы 1 для функции р =- вшх на с(тменте [ — 1,1] существует непрерывная возрастающая обрат- у=агсвш х у=агссов х Рис. 4,29 Рис. 4.28 1) ) Моцотоппость функции Мп т, и сов х па соответствующих сегментах легко устанОвить из формул х -~-т . х — х л гбпт. — мп,г = 2 сов в(в 2 2 и и ~ . ту -(-,г' .
т — х' сов.ту — сов х = — 2ьш ьш 2 2 ") Здесь под )( мм попимасм любое целое число. с в пгкдкльнык знлчкння ннкотогых и нкпий 133 ная с))ункция. Эту <[)ункцию мы будс и обозна !ать т = ан:впеу, сМеняя для этой функции обозначение аргумс нта у на х и обозначение т. для функции на у, мы получим функцшо у =- асса)пх. ЕЕа рис. 4.28 и:сображен график этой функции. Совершенно аналогично ог!редетяется функция у = агссов х. Об, са<:тыо ес задания с тужит сс)гмс)нт [ — 1, 11.
а ме|о-кеством значений с<юмент [О, к). Указанная функция убывает и непрерывна на сегменте [ — 1, Ц. На рис. 4.29 изображен график функции у = = агссоа:г. Функции у = сггс1Ь'х и у = агсс16 х определяются как обратнь|е для тане<Енса и котангснса. Эти фуе1кции Определены. МОнотонны и непрерывны на бесконе шой прямой. На рис. 4.30 и 4.31 изображены графики этих функций. у=агсгя х у=агсгя х Рис.
4.31 Рис. 4.30 й 6. Предельные значения некоторых функций 1. Предварительные замечания. В гл. 1 было указано, что для вычи<сления производных функпий у = вш т, и у = !ойа;г нужно доказать существование предельных значений (или пре- сс|с(лх)2) / гх |х)пх делов) функции ' ' при лх — ) О и функции ( 1 + — ) хххссй х при Ьх — ) О и фиксированном:г ) О. Этому вопросу и посвя|цен настоящий параграф.
Нам понадобится предложение о предельнох| зна*н'.нин с))уе1кции, 311кс1ю ис)нн011 мс)жду двумя функциями, имею|цими Обще<. пред<)льнос гна |спи<) в данной ~О~~~. Эго предложешп представляет собой функциона,еьный ана|ог теоремы 3.11. Лемма 3. Пс)сть в некоторой б-окрестнос)пис точки и (за исключением, бьсть лсозсс)веег, самой точки а) заданьс с«)ус<к|1<с<с «(ссс), )х(сг) и )г(х), прп сем с«)ункцсссс, «(х) сс ~(х) имеют в тв скв и од|и<оковав предсльнсю значение, рос<нос 1).
Йсллсл в укссзоюной окргспгностсс точки а, (за искхгю есссселс, быпсь мос)<вессс. салсой то суси, а) вьсссолвлюсегся неравенсп>вв, «(х) < Ь,(х) < 8'(х), то прг; дель!сов значение с«)с)ескцсссс )с,(сс!) в |почке и сусссестссует и, рлв|со 1). Д о к а 3 а т с- л ь с т в о. Пусть (згсс) -- произвольная сходящаяся к а посек дователы|ос:ть значений аргумента х, э.:и менты ха которой лежат в указанной б-окрс)ствос|ти точки а и нс 133 ПОПЯтин ЕГ2ЫКЦИИ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
