В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 28
Текст из файла (страница 28)
В депо.шенин к гл. 8 приводят<я алгоритмы вы си<"и;>пся зна'1<>ннн простейших Элементарных <1>ункций. 1. Рациональные степени положительных чисел. Возведение.побого вещс-гтвенного п>ела х в целун> аолоок"исаельну>о степень и определяется как и-кратное умножение >ис>а х самого на себя. Следовательно, при целом и, мы ма>кем с ппать определенной степенную функцик> у = т," для всех естественных значений х.
11екоторые свойства этой функции будут нами использованы для апре;1еления рапиональных степеней положительных 1иссд!. Докажем сшедукпцую лемму. Лемма х. Степенная функция у = х" при х > О и целом полооссительном и возрас>>пасси и непрерывна. Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем возрастание этой функции. Пусть О ~ х! ( ха. Так как х2 — х!' — — (х2 — х!)х х(х!2> + +Х" — 2Г +. +Хп — !) Хп — !+Хп — 22 +, аа< — ! > О, тО Хс>' ) Хп. 1>2 1'1 ''' 1 >2 12 11 ''' '! ' >2 '1' Непрерывность эгой функции была нами установлена ранее (см. пример 1 и.
1 э' 3). Следствие. Рассмотрим степеннусо функп>по р = х" на с<тменте ~О, 1'>с), >де Х вЂ” лк>бое по.южнтельное *шпю, Так как эта функция непрерывна и возрастает на указанном сегменте, то она имеет в силу г седствия из леммы 1 этой главы на сегмент<'. ~О,Х ) возрастаю!пук> и непрсрывпу>о обратнсю <)>ункцпк>, которук> мы обозначим через у~~"'. Поскольку 1>Г можно выбрать как угодно большим, то и 1>сс< также будет сколь угодно большим. Следовательно, функция :г. = у с" определена для всех неотрицательных зпа и;ний у. У1<>- няя для этой функции обозначение аргумента у на х, а осюзначение функции х на у. мы получим сычи>иную функцпк> у = х>с", опрс'д<'псиную для всех неотрицательных значений х.
Опрс'делим а с" как чисто )>, равное значению функции у = = х'1" в точке а. >1ы можем теперь определить лк>бук> рацио- П1 ОСткй(ШИЕ ИДЕМЕИТЛРИЫЕ ЕЬ ИКЦИИ нальнуго стог(ень 'г ПОложительн010 *1исгв о. Им('.нно, ((ели г = 7717771, Гд('. 77(, и 71 — целыЙ. положит(н!ьны(7 '(ис (а, 'ГО мы пОложим ла,'а ( 1,лг1 )га Договоримся, кроме того. что и =1. и =11,7(л) .
Нетрудно убледнться в спрвведлпвостн следую(НИХ свойств рациональной степ(гнп положит(.'льных 'п1(((л: 7(17')' = Пг ', ' . (7" = (П . 6)7', (Л| . (,ь = Ог Ьа. (К) Докажел( сначала справедливость первого свойства 1*). Заметим. что при целом положительном р равенство (а"" ")я = а"' " ", в котором под и( и и пОнимаютСя люоые целыс положительные чиела, Заведомо справедливо.
ибо как левая. гак и правая части это(-о равенства равны произведению числа а Р' сак(ого на себя гн р раз. (а( гиг Полагая г = —, а = —, докажел( равенство 1а')' = а"' в ситуации и( п2 любых положительных рациональных г и а. Положим с( = ) а "л ) "', сг = = а ч "л . Если бы сл было отлично от с, то из возрастания степенной функции р = х"с следовало бы, что и с",е ~ с,,"-', а последнее соотношение, в силу уже доказанной справедливости равенства (а И )г = а л при целом р, означало бы, что (а "ч' "л )"'э ~ а'*ч'"мЛ"'.
Полученное соотношение противоречит уже докаЗанному нами для целых положительных тл, пл и пы равенсзву (а лин)"'с = а"""'Л"'. Тем самым, с( = сл и первое равенство (7) доказано для любых положительных рациональных г и я. 1'ас~ространение этого равенства на неположительные г и а не представляет труда в силу нашей договоренности о том,что а =1, а = — при 7ьО. Второе равенство (*) также достаточно доказать для п о л о ж и т е л ьн о г о рациональн(по г. Полю ая это г равным т)п, где гв и и, целые положительные числа, заметим, что нам достаточно доказать равенство а Н'. Ь'Л" = Ьа 6)'Л", ибо перемножением т таких равенст(7 буде( доказано общее соотношение а' Ь' = (а 6)'.
Для доказательства равенства а'7" Ь'7" = (а 6) П" заметим, что в силу свойств взаимно обратных функций у = х'Л" и х = 17" можно утверждать, что (77'Л" )" = Ь, (аы")" = а, 1(а 6)И') = а Ь. Пошлому, положив с( = =- а(7"' Ь(Л", сл = (а Ь) Р' и предполагая, что сл ~ сл, мы получили бы, что с,' ф сл, что противоречит равенству а Ь = аЬ. Докажем таперь по(моднее свойство 17), учитывая, что первые два уже доказаны, Пусть г = т(,лпм а = п(77(717, тогда г = т(плл"(гцил), в = п(7 .
777,((пл пл). и мы приходим к гто;луюшему равенству: '=(-'--) (---) =(- -) Последнее равенство справедливо, так как пн . па и тл пл — целые чиста. 120 ПОНЯТ!ЛЕ ФУНКЦИИ. НЕН1'Е!'ЫВНОС'!'Ь Гл. л Таким образом, 1 г что и требовалось. Докажем. что при а > 1 и рациональном т > О справедливо не1«авенство а ) 1. В самом деле, пусть г = г«1111 н а = ав'гв < 1. Перемнолсая почленно и указанных неравенств, гизлу гим а,'а < 1. Посщедпее неравенство противоречит неравенству ага > 1, полученному по тленным перемножением т, неравенств вида, а ) 1.
Откнгтпм, никон«гц, гто «".«лн 1«ациональная дробь г = гп/гг, имеет нечетный знаменатель и, то опредсснгнис рациональной степени можно распространить и на отрицательны«'. числа, полагая ( — а) = а,, «'.ели гп *нзтно«х ( — а)' = — а'г если т -- нечетное. 2. Показательная функция. Из рассуждений предыдущего пункта вытекает. что ец гп а — — положительное число, то функция у = о,' определена для всех рациональных х.
Легко убедгпься в том. что функцгля у = а", а > 1, определенная на множестве (х) всех рациональных чисел, монотонно возрастает на этом множестве. В самом деле, пусть хг и хв — .«нгбые два рациональных числа, удовлетворяющие условинг хз ) хг. Тогда а'г — а'г = а'г !««тг-тг — 1). Так как хя — хг > О н а > 1, то а" *' > 1. т.
е. правая гасть пос !еды!го равенства положглтельна, и поэтому а" >о, '. Возрастание функции о,' на множестве рациональных чисел доказано. П«зреходпм и оп1««щ«гл«.нггнз «)гункцпи ав гса лггго«ис«зс:пгосг осах оег«Леспгсзенньгх "«аггел. «риис!!русы произвольное осзг««ест««с!иное число х и рассмотрим всевозможные рациональные числа о и ««3, удовлетворянзщие неравенствам о < х < 11.
14. 2) Определим а прн а > 1 как вещественное число у, удовлетворянлцее неравенствам ао<д<а:. с ) Ниже мы докажем, что такое пныо у суиЛесгпоуег«Ь и притом только сгдг«сг. Мы докажем также, что определенная нами функция у = — а" обладает следуницнми важными свсплствамп: 1) оовр«гесс««гсггп иа, осей бссь«гиечио«1 прямой, 2) ггег«Л«««ръ «гг«с«в ли«бог«' точке х эт«гй прямой. п1'Осу!'еИ1шие элементАРные Функиии 121 1'.
Прежде всего докажем, что для любш.о фик< ированного х н любых рациональных чисел о и сй удовлетворяющих неравенствам (4.2), сущес<поуосп оеисешпое<тое число у. удоолс<поорл<ои<се псрпоепсгсшал< (4.3). Фиксируем произвольное рациональное числ<<7,8, удовлетворяюшое правому неравенсгву (4.2), и рассмотрим всевозлзожные рациональные числа и, удовлетворяющие левому неравенству (4.2).
Так как о < й и показательная функция, опро;<еленная на множоство рациоцал ных чисел. возрастает, то а" < асз. Таким образом, множество (а ограничено сверху и число а' является одной из верхних граней этого множества. Стало быть, это множество имеет гочну<о верхнюю грань, которую мы обозначил< через у. Остается доказать, что у удовлетворяет неравенствам (4.3). Из определения точной верхней грани вытекает справедливость левого неравенства (4.3), а справедливость правого неравенства (4.3) вьпокает нз того, по ос — одна из верхних граней, а у — точная верхняя грань множества (а 2'. Установим теперь, что существует только одно оещес<постож число у, удовлетоорл<оизее неравенствах< (4.3).
Достаточно доказать.что для любого е > О найдутся такие рациональные числа а и 3, удовлетворяю<дне неравенствам (4.2)„для которых а<— о — а" < е. В самом деле, тогда любые два чишза у< и уз, Удовлетворяющие неравенствам (4.3), обязаны совпадать. ибо разность между ними по моду.лю меньше любого наперед взятого положительного числа е. Фиксируем произвольное в > О и некоторое рациональное .Зо, удовлетворяющее правому неравенству (4.2). Тогда, так как а < адо, получим а' — а = а" (а< '* — 1) < а' о(а " — 1). Неравенство а'з — а < е буде< доказано, если мы установим возможность выбора таких о и,д, что аз< " — 1 <:, а<<о Нз гл.
2 вытекает, что для любого нагурального и можно выбрать рациональпыо числа о и д, удовлетворяющие нгравеш:таам (4.2), тяк что разнос гь,,'3 — а будет меныпе 17772. Таким образом, достаточно доказать су- ществование такого натурального и, для которо< о а — 1< —, 2/ е (4А) а з' Убедимся в возможности выбора такого натурального и. Пусть о И" = 1 Ч- <)„.
Так как а'7" > 1, то 6„7<ос<ожнгельно. Используя формулу бинома Нью- тона, будем иметь и .=. (а' ") .= (1+ б„)" = 1-Р ид„-Р (положительные а — 1 члены)> 1 -Р иб„. Ото<ода о, — 1 > ид„и О < 3„< . Стало быть, а — 1 ац" — 1 = б„< —. Неравенство (4А) будет справедливо, если мы выи а — 1 (а — 1)аоо берем и, удовлетворяющим требованию <, или 72 > п аоа Доказательство однозначной определенности числа у. удовлетворякзщего неравенствам (4.3), завершено.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
