В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Иенс'егывность ГЛ. 1 отлично от н)ля, то в этом сл)'гас мы бгудеус гово)сить, гто А(сс;) и В(х) имеют в точке а справа одтсакооьт порядок роспла. Рассусот)ггсхс несколько прнмс ров. 1'. Функции и(:г) = 3х2 + х'г и д(х) = 2х~ являются бесконечно малыми функцияхси одного порядка в точке:с: = О. Дей,'(в) ' З ствительно, при х ф Π—,' = — + -х. Так как 1пп гх = О. то в ,8(х) 2 2 х. го 2 а(г) 3 силу теоремы 4.1 1пп, " = —. Л э со означает, чсо п(х) и сд(х) х.эо д(х) 2 бес конечно мальп, одного порядка. 2'. Фупкпии п(х) = хо — бтсг и )г(х) = ха эквпвалентньгс о(х) бесконечно малые в точке х = О.
В самом дс'лс., ' = 1 — бх. д(х) "1ак как 1пп бх = О, то в силу теоремы 4.1 1гш —.' = 1. Эгсг п сс(х) х-со ' " х эо 6(х) означасс эквивалентность бесконечно малых о(х) и Д(х). 14«; 1 3'. Функции А(х) = " и В(х) = — имекгт одинаковый порядок роста в точке х = О справа п слева. Это следует из А(х) того, что 1гш ' = 1шг(1+х) =1.
-эсг И(х) х-.о ц 3. Понятие непрерывности функции 1. Определение непрерывности функции. Пусть точооласти ~ад~~~~ ф).нкцгги 1(;т) и дзюба~ е-окрестность точки а содсржит отличные от а точки области задания этой функцсли. Определение 1. Ф))сскцсга 1"(х) сгазыаается и. с п р е р ъс, а- и о й а та'ске а. если прсдшсыгое зиазсение зтссй фсдгскцсгсг а пигчкс: а срисесссгарсисс, а )ксана чсгсссгвсг«гсс) зсгаченсггсэ 1(сг). Т~~~~ об)пазом, ).слоггис нс п)гс.)гывпос ти с(гугсксггсгг 1(ссг) е то гксг а символически мо кно выразить сспдуннпим образоьс: !пп с (ссг) = 1(сг). х — « Так как а — 1пн х. то предыдущему равенству мон.но прнх — га д п ь следующую форму; )ггг.
У(а,) = У ())ггг *) х — с« се — с« Следовательно. для непрерывнойс функции символ «1йп» предельного перехода н сихсвол «1» характерпстцки функции хюжно менять местамн. Исполгтгуя опредсглепне 1 гг1гедсгльного знасс;ния с(гуггксггсгг )'(х) в точке а (см. и, 1 '2' 2 настоящей главы). мы можехс следующим образом псгрс'фрггзгсровать опредсгпние 1 непре)гывности функции в точкс' и. 1!ОН51ТИИ НЕНРИ!'!>1ННООТИ ФУНКЦИИ 111 Определение 1*. Фут!кцт(я «((х) называстнся н е п р с р ь(, в- и о й в точи(1 а, если для ли)бой сходяьцсйся к а последоватпсльностпи хт, хз,..., ха,... зт!ачст(т!11 аргулютипа:г соотпвептствуюи(ая послсдоввттельпоси!ь «(хт), «(ха)...., «(хи),... зт(а'!сний этой футтциа сходится к числу «(а) Заметим, по, по сравнению с опр('делением 1 пз и.
1 8 2 пр(делы!Ого зная(тнит! «(;х) В точке а. мы в О!г)(!делении 1" (и!устичи требованн(. обя тываюпи е вс( элементы по(си довательности хт, (гя,..., х„„... быть отличнымн от а. Это можно сделать в силу того, что добавление к элементам последовательности («(Хв) ).
СХОДЯП(ЕЙСЯ К «(а). )ПОООГО ЧИСЛа НОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ. РаВ- ных «(а), щ) нару).!Нит сходна(ости полу(акнц(1!ся тц)и этом ио(дедовательности к «(а). Предположим, что множество (х), на котором задана функция «(х). содержит точку а, и для любого в ) 0 имеется хотя бы один элемент этого множества, лежащий на интервале (а, а, + в) (па интервале (а, — е, а)). Определение 2. Функция «(:и) !(азь(ва(инея и с и р е р ьт в- и, о тХ с т! р а в а (с,л с в а) в в(очк(( а„если т!равос (левое) предельное зна"!стене зп!Ой.
фцпкцнн в нючкс а суьцссн(вцсп! и равно частит(ол(у зтш:(гнию «(а). Сик!Волн 1()сити Обозна птпия 1«!прерывности справа ((ьптва): 1пп «(х) = «(а) или «(а,+О) = «(а) к-тл-1-0 ( !)и! «(х) = «(в) или «(а — О) = «((5)). х — тп — О 3 а м е ч а н и е. Если, функцтгя «(х) непрсрывпа в !ночке а а алсва 11, ст)1я)ва, 'пто внв, нет)1)срт(виа в ек(ио(1, и!Очке. В самом деле. в силу замечания п.
1 8 2 этой главы в этом случае суще( тв)РО предельное знач( ниР функции В точк(1 а, равнОР частно11 у значению этОЙ функ!и!и В т'ОчкР в. Рас(су(отриь! приз!еры. 1 . СтРНРпна51 функцня «(11') = х с цРлочислРиным НОложите,зьных! Ноказател( и 11 и('пр( рыв!(а В ка)кдоЙ то !ке б('скоп("щоЙ прямой. Д(й(5гвптсльпо, в и.
2 8' 2 мы дои),)али. что пр(дгльпос 'п1ачениР э'1'Ой функции В л!Обой тОчке'. ОРскО1п'чной 10)ямой равно 1а(тному значен)НО а"'. 2'. Так как многочлены и несократимые алгебраические дроби имеют в каждой точке области задания предельн(ит значение, равное частному значению (см. и, 2 8 2). то они являются непрерывными функциями Точки, в которых функпия не обладает свойством непрерывности.
называются тпочказии разрьюа функции ). Нт!принтер. ') В 8 8 мы дадим классификацию точек разрыва. 112 понятии функции. Нн)н нгынцооть ГЛ. 1 с[)ункция )'(гх) = вкпгх имеет ра)рыв в точке х =- О (в и. 1 ~ 2 мы доказали, )то правое' и лс вас прс-'дельные знак'ния этой функции в то !ке х =- О существуют, но не равны друг другу, и ги)этс)- му пе существует преде.льное зна)ение функции в этой точке).
Функция Дирихле разрывна в каждой точке бесконс чной прямой. поскольку она нс имеет предельного значения ни в од«ой точке этой прямой (см. п. 1 ~ 2). Мы будем говорить. что функция ['(ге) неву)с)рыа)га на м)саин)ееащсс (х), если Она нс)прерывна В каждои точкс' )э'!'Ого мнс)жества. Егли функция нс-'прерывна в каждой точке интервала, то говорят.
что она непрерывна на интервале. Если функция непрерывна в каждой внутрс иней точке сегмента [а,, Ь[ и, кроме того, непрерывна справа в точке а, и слева в то !ке !), то говорят, что Она нс)прерывиа на сс.г),н)птс [а, г)). 2. Арифметические операции над непрерывными функциями. Убедимся, что арифметические операпии над нсщ)срыв)п )х«1 с[)ункциями приводят к ис'прс)рывнь)м с[)ункцням.
Докажем следующую оснатгую теорему. Теорема а.и. Пуггль аадансгые на, г)днам и 'том а)се мнс)агсетиае функции 1(х) й Ь (гг) 1)епрерьюны а а!очке и. Тогда, фунтцгли 1(х)+~(х), 1(х) — д(ге), )(х) ~(гг) о )юпрерыа>гы е тачке а д(х) ('светлое прил условии д (а) у= О). Доказательство. Так как непрерывныевточкеи функции Г(т) и е(х) имеют в этой точке предельные значения 1(и) и е (а), то в силу теоремы 4.1 предельпьн значения функций 1(х)+й(х), 1(х) — й(х), )(гх) е(х) и ' существукп и равны Т(х) с оотвс"тственно ) (11) + Д (и), 1 (г)) — е'(а). ) (О) . Д'(г)), . Но эти Т(а) И(с)) величины как раз н равны частным значениям пере пнленных функций в точке а. Теорема доказана.
3. Сложная функция и ее непрерывность. Функции. образованные в ре)улыате супер«о;)иц)ш (т.е. последовательного «рих«)пения) двух и„!и )и)скольких с[)1«кцнй, будс)хг нк)ыгать слаагснылги. До!тато ьпо О«1к)делить с:)ожнук) функци)о, Образ«ванну)о в 1н'зультатс' суперпо:)иции дгух с))1 нкций. Пусть функция:г, = сг)(!) задана на некотором мно)кеся не (1), и пусть (х) -. Кгножество значений этой функции. Прс)дполо)ким дал!и.
*)то па 1!ск)ан)сом множеств! (х) Определена другая с[)ункция у = ) (гх). Тогда ! ОВОрят, что на мнолсестве (1) задана сложная функция у = )(ге), где х = с))(с,), или ! а иекО!'О!'ые сВОйстВА мО1готО1и!ых Функции 113 Спр>!Ветс>п>ва с тедующая ОГ>>яии!я тео1)Р)га,. Теорема 4'.3. Егхаи фсункс!2>я, х = гр(!) непрерыв>!а и >почке г>„ и функция у = ! (х) иепрсрывсса в соогпветствунлцей, пн>чке у = = ср(в), гии слоаю>шя функция у = /[у)(!)] = Г(!) пепргрьюг!и и точке а.
Д О К а 3 Й Т С Л Ь С' Т В О ПУСТЬ (!и) ''' П1)ОИЗВОЛЬНЙЯ ПОС'ЛСДО ватсльность значений аргумента сложной функции, сходя!паяся к а. Так кйк с])ункцня х = у)(!) Непрерь!Внй в то>ке а, ТО (В силу определения 1" из и. 1) соо.светгтвующая пос;ндовательность:!начепий этой функции х„= у)(! ) сходитс:я к частному значению этой функции в точке аи т. е. к числу б =,р(а). Далее, поскольку функция у = 7(х) непрерь!вна в точке )> = гр(а) и для НРС! УКК>ЙННЙЯ ПОСЬП>ДОВЙТЕЛЬНОС*ТЬ (Хн), СХОДЯЩЙЯСЯ К б = СР(Г>.). являепя последовательностью значений аргумента, то (в силу ТОГО жс Опрсделсния !" из и.
1) соотВс"Гс:тВбю!Пйя поглРдова- ТСЛ! Нс)СТЬ ЗНЙЧС!НИП ФУНКЦИИ > (Хн) = > [У>(!г>)] = Г (!») СХОДИГГЯ к числу 7((>) = ) [ср(г>)) = Г(г!) Итак. мы получаем. что для л>обой последовательности (!>>) значений аргухн нта сложной функции„сходящейся к а, гоответств;ющая пос.н.довательность знап)ний самой сх>ожной функции ( > [гр(Х» )] ) — ( Р (!7> ) ) с ходи ! с я к числ» [ср(а)] Е(г>) являклцемуся частным значсннехс сложной функции в точ- КР а. В силу того >ке Опрс.гзглсния 1" из и. 1 это Означсх г. что сложная функция ! [Ср(!)] = Р'(1) непрерывна в точке а,.
Теорема доказана. ~ 4. Некоторые свойства монотонных функции 1. Определение и примеры монотонных функций. Определение. функция у = Г" (гг) >сагыг>ается н с у 6 ы в глющей (невограстаю щей) на мноаюес>иве (х), ессии для лн>быг х! и хя иг эп!С>- го м>>оиюества. удоалггп!ворян>щпх условии> х! <:>я, справедли!>о нерюенство У(х ) < У(хя) 'ах ) > У(х )) Нс> ~ б>.>вак>щис> и ис)возрастающ>н" функции обьсднняются обп!им наимено- ВЮ1ИР)1 МОНО>ИО>исн!Е фУ>>К>Г>ис>,. Если для лк)бых х ! и;га из мпожес:тва (ГГ), УДОВЛЕ!ВОРЯЮП!ПХ 1СЛОВИЮ Х! < >1!ь с;праВС)длиВО нс)раВС'.нгтвО > (гг>1) < > (ха) (7 (сг>) ) ! (хя)), то функция у: г (гг>) нйзываетгя вограстан>щей сгубываюсцей) на хщо>ксгс>тве (х). Возр>!с тй>оп!Ис и убывающие с[>ункпии называютгя также стро- Рвс. 4.7 го могсвпюнньгми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
