В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Те)гда она «71)аьитче:на (В силу теоремы 3.8) и имеет единственную предельную точку (в силу леммы 3 и. 2). Таким образом, х = х. 2) Достаточность. Следствие 2 из теоремы 3.16 УтВЕРЕКДаЕГ, Чта ДЛЯ ЛЮбОГО Е ) 0 ИитЕРВагт (Т, — Е, Х+ Е) СО- держит все элементы последовательности (хп), начиная с некоторого ноьюре). Так как х = и = х, то указанный инте)реал совпадае)т с е-Ок)х)е:тностью точки:с, т. е. '1иег10 х яВ.1яе',тся !ц)е)деьт1е)ьт последовательности (хи) (см. замечание 1 п.
1 8 2). Ъте)тановиьт теперь важное свойство фундазюнтальной последовательности, непосредственно вьпеканпцее из ее определиния. Дгтя любава 71«аглаи)717аемтьн«его 'чтгеьгте) е,молитво т/титэшаь гав; кой элемтппп, ти фйндаментальтит теое;геетдоееатгетьеег)стгт, о е-г)кт)ггеттитеоетг)71 но)вороти) ттаходтиася ен:е. эле.мелипы последов«; ') 0) юстон Луи Коши — фре)иттуэеткий иепеиьтии (1789 — 1857). 1 й ОВОЙО'ГВА пРОизВОльных ИООледОВйтельиООтей 89 т))ттльт(остт)7)п нанн!а)Я т) 7(ом(Ра ()т. От(ыл(и слоним!), тпн.
7(нпп!)- (алли (хк — с, хтс + е) нлхадптпся не более чем н()Вечное чллсло нлементон последонаптельноспи), ). В самом деле, из определения фундаментальной послсдоватсльносттл (ледует: для л!обого е > О можно указать такой номер Ж, что для всех натуральных р (р = 1) 2.3,... ) вьшолня(т(я н(равшптво /хат)р — ха-/ ( е. которо() и означтит, (то В е-окрестности элемента хк находятся все элементы по(шедователы(ости, начиная с номера ((7 Отхт(', п)нное СВойс!Во позВО,,1яет ус1аноВи!1 оц)янине!шос!ь фундаментальной по(шедовательностн, В самом деле, пусть е— пекоторос фиксированное ппаожителып)е число и х,.~, - эл(мент, В е-окр(естности которого находятся Вс('.
элем()нты по(;н)доВН- тельности, начиная с номера ((т. Тогда вне этой с-ок!)Нстностн могут пнходиться только элементы хт,х«,...,х)у !. Положим А = Птах«( Х! !, / ХЗ(,..., / Хта ! /, / Х)у — Е1 / Уьп + Е!) ). ТОГДа На сегменте ( — А,+А) находятся чн(тла хт, хя, ..., хм (, х)з — е, ты+с, а (лсдовательно, и все точки е-окрестности элемента хх. Отсюда вытекает, что все эл(менты фундаментальной по(шедовательности находя(ся на (егменге ( — А, +А), что и означает ее ограннченность. Переходим к доказательству основного утверждения этого пункта. Теорема 3.«9 (при!нет)ий Хотин сходимости последовательности). Длл тоно чтобы аоследонатемтниттпь (хп) бь(ла сходящетйся, необходилло и достатаочно. чтобы она бь(ла («)т!Ндал((:нтт)альт(от!. Доказательство.
1) 1! е об ходи мость. Пусть по(.ледовательность (тп) сходится и х -- ее предел. Требуется доказать, 'тто эта последовательность является фупда,ментальной. Возьмем любое поло)кительное число с. Из определения сходни((з(н:я по( л(здоВат()льности Вытеки(ет, !то для па 1ожительного числа е)72 найдется номер ()т такой, что при и > )"77 выполняется Нсранспе(ВО /Хп — «)/ ( Ет)2. Гсти р л(обое натуральное чигло, то при и > )(' выполняется также и неравенс!во 1тп, „— «:( ( ет)2.
Так как модуль (ухт аы двух величин пе больше (уммы пх модулей, то из по(лгдних двух неравенств получим, что при и > ~ )(Хт и д.!я Всех натуральных чисел р ~:~п-~р — (гп ~ = ~((гп-,-р — х) + (х —:гп) ! (~ (ттп р —:с/ + /хт) — «! ( Е ) Отметим, что указанное свойство эквивалентно апре.(елен!но фунт(а- ментальной поспелова)ельносзи. 2) ) Геометрически зто означает, что й равно максимальному из расстояний от начала отсчета О .(о точек х(, хм..., хп — ), хь — е,хп + рн кдкл послкдовйткльности гл.
з Т<<м самым ф1ндаментальпость посл<донат<'льности (х„) усга- НОВ<1еНа. 2) Д о с т а т о ч н о с т ь . Пусть (ха) фундах<егггааьная по<лсдогательно< ть. Требуетгя доказать, что эта последователь- ность сходится. Согласно теореме 3.18 для этого достаточно доказать ограниченность последователыпк:ти (ха) и равенство ее верхнего и нин<н<шо пред<шов х н х.
Ограни'<енность фунда- ментальной по<шедовательно<ти уже установлена нами вылив. Для доказательства равенства верхнего и нижнего преде.,юв х и х воспользуехпя доказанным вылив свойством фундамен- тальной последовательности: для любого поло1кительно<о чис- ла г можно указать элемент ха такой. что вне интервала (хк— — г!:гк + г) находится не более чем конечное число элементов по<шедовательности. Па основании следствия 1 из теоремы 3.16 ИвтЕРВаЛ (Хгс — г, Х<У + Г) СОДЕРжнт ИитЕРВаЛ (Х,Х), И ПОЭТОМУ х — х < 2г! откуда, в силу произвольности г! х = х. Тем са- х1ыы сходиыость посл<!доват<а<1ьностп 1ч:тановлена.
Т<'Оремн пол- ностью доказана. П р и м с р . Применим критерий Коши для установления схолимости < зеД1 ю<П<гй по< НДова1е<<ьнон<и (ха): Хп =а<ФПЯ+ ° ° +па ° где аь (/с = 1,2,3,... ) — произвольные ве<цественные числа, удовлетворяющие условию )аь! < д, а <1 некоторое число из ь интервала О < д < 1. Пусть и - - любой номер, р. любое натуральное чп<шо.
Тогда. очевидно, (Л<г! р — Хп~ = (<1г! —,-1+ Па г+ + ап4 < ~ап —,1~ + ~<1 тг~ + ь ' ! -<-<-!-г ,1 пэ.1 а-'-2 и-<.р << << ...+~от„,р~ «1 -Рд '+...+й = < —. << 1 — д 1 — и УЧИтЫВая, ЧтО ПО<ШЕдОВатЕЛЬНОСтЬ ~<1н1 яВ<жстея бЕСКОНЕЧНО масн<й (см.
пРимеР 1 из п. 3 3 1)! мы можем УтвеРжг<атгь что дх<л любого г > О найдется номер <У такой, что <1 ' < г(1 — <1) (при и > Ж). Стало быть, при и > 1<г н для любого натурального р -<- ! !Хп Ер — Хп,~ < — < Е, < — и т. е. по<шеДовательность (хп) Яв.,жетса фдн<1<<ыснгг<нльио<1 и схо- дится согласно теореме 3.19. 6. Некоторые свойства произвольных числовых множеств.
В этна< пункте мы рассмотрим некоторые свойства произвольных числовых: ь<ноа<сссп!а. Часть из згнх свойств аналогична снпйсгааы числовых после- довагельносгей. 1 б ОВОЙО1ВА!11'ОИЗВОЛЬНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 91 В п. 5 '3' 1 гл. 2 мы ввели понятие мпожешпва, ограниченного сверху (сшюу) Договоримся теперь называть множество (х) ограниченным с обеих сторон или просто огран>шенным, если это множество ограничено и сверху н снизу, т. о.
если найдутся гакие два вещественных числа т н ЛХ, что каждьш элемент х множес:тва (х) удовлетворяет неравенствам п ( з> ( Ы. Мс>ожег>тво (х) будем называть коыечным или бескопе">мым в зависимости от того. является ли число элементов, входяпсих в состав этоса множества, конечным илн бесконечным. Точку х бесконечной прямой назовем предельной >почкой мш>жества (х). если в любои" е-окрестности то >ки,с содержи>пся бевконем>*о много злемен>пов етого множешпва. Точку х (точку х) назовем верхней (нижней) предельной точкой множества (з), если зта точка является пре.сельной точкой множесгва (х), но ни одна точка, болыпая гб (меньшая х). не является предельной точкой этого множества.
Дословно повторяя доказательство тес>ремы 3.16 с: заменой термина ютогледовательность (х„) > на «множегтво (г)сч мы придем к следу>ошему утвер.кдению: у всякого ограниченного бесконечного мпошсешпва существуе>п .с>огня, бы, одна предельная >по'шп. Дословно повторяя рассуждения закэечания 1 к теореме 3.16, мы получим. что всякое оеую,пиченное бесконечное.
множес>пво с>мает версенк>ю и нижнюю предельные п>о'ки. Следствием указанных утверждений является следующий факт: >и олементпоо всякого ограниченного бескоие">ного множества можно выдели>пь сходящуюсл последовательность. Наряду с понятием множества часто полег>уютен понятием подлгиожег>пва. й!иожество (х') назьшзется подмнолсеством множества (х).
если все элементы множес сна (х') вхо:ск> в состав множества (х). Например, множесгво вес>х четных 1[елых чисел яглхегся подыножсс>вом множества всех Пелых чисел. Два множес:тва (х) и (у) называют эквивалентными, если между элементами этих множеств можно установить взаимно однозначное соответствие >. Заметим, что два конечных множегтва эквивалентны тогда и толь- 1> ко тогда, когда число элементов у:>тих множеств одинаковое. Приведем пример двгх эквивалентных бесконе*шых множеств. Легко вилвтгч что множество (х), элементамн которспо служат че>ньи' положительные числа 2. 4.
6...., 2п, ..., эквивалентно множеству (у). элемен сами которого служат натуральные числа 1, 2. 3...., и.... В самом деле, мы установим взаимно однозначное соответсгвие между элементами еппх >шожеств, поставив в соответствие элементу 2п множества (х) элемент и множества (у). Обратпм внимание на то. что рассмотренное нзсш множество (х) является подмножеством множества (у). Таким ооразом. бес:копс шое множество (у) оказывается эквивалентным своему подмножеству (х) г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
